-00 "CNJ -00 Lf) -CD .00 INTRODUCTION A LA TIIÉOHIË DES NOMBRES ET A L'ALGÈBRE SUrÉUIEUllË T-T^t INTRODUCTION A L'KTITDE iti: \.\ THÉORIE DES NOMimES ET DE L'ALGËBRE SUPÉRIEURE EMILE BOREL et Jules DRACH D'après des CONFÉRENCES FAITES A L'ÉCOLE NORMALE SUPÉRIEURE M. JULES TANNERY SOUS-DIRECTElli DES ÉTUDES SCIENTIFIQUES PARIS LIBRAIRIE NONY âc G'^ 17, nUE DES itCOLES, il 1893 (Tous droits réservés) QR 44 PRÉFACE l\^ii(lant raiinéc scolaire 18î)l-lS!)2. j"ai fait aux rlrves de lidisii-me année de lEeole Normale (|uelqiies eoiilerences sur rArilliniétiquc et l'Algèbre. Je n'avais nnllement linleiilion d exposer d'une manière dogmatique des pai'lies de la science qui, sans doute, m'ont toujours vivement intéressé, mais que je n'ai point étudiées d'une façon particulière ; je voulais seule- ment diriger la curiosité de mes auditeurs vers des problèmes qui sont parmi les plus beaux de ceux que posent lesmathéma- ques et des méthodes qui ont été trouvées ou perfectionnées par des hommes d'un génie singulièrement rare et pénétrant. Les progrès incessants de l'Analyse etdc la Géométrie ne doiventfaire oublier ni ces problèmes, ni ces méthodes. On sait assez, d'ail- leurs, que les diverses branches des INIathématiques ne sont pas indépendantes et que ces propi'iélés du nombre entier, qui sont l'objet propre de l'Arithmétique et de l'Algèbre, intervien- nent dans bien des questions posées par l'Analyse. Il faut se l'appeler enfin que l'enseigiiemeni des parties les plus élémen- taires de l'Arithmétique et de l'Algèbre, de ces parties que l'on enseigne dans les lycées, suppose chez le professeur, s'il veut réellement dominer son sujet, au moins quelques vues sur les parties plus élevées de la science. Mon intention était simple- ment d'engager mes auditeurs à regarder de ce côté-là. II PREFACE Dans les rares conférences que Ion peut dérober à la prépa- ration des examens, il est très agréable d'enseigner ainsi, sans appareil logique, sans plan bien systématique, et dans une sorte de conversation. Les auditeurs s'y prêtent volontiers, et l'on sent assez qu'il n'est pas nécessaire de tout dire, de ib've- lopper à tout propos ; on peut supprimer ici et là, ici, parce que c'est trop facile, là, parce qu'on serait entraîné trop loin, dans des régions même que le maître, qui n'a nulle raison pour s'en cacher, connaît mal et où il risquerait de s'égarer. En Arithmétique, je me suis borné à expliquer sommaire- ment la théorie des restes quadratiques et à ébaucher la divi- sion du cercle ; en Algèbre, je n'ai guère parlé que des équa- tions abélicnnes. en donnant parfois quelques indications sur d'autres sujets. Il y avait celle année-là, à l'Ecole, deux élèves qui sont cer- tainement parmi les plus distingués de ceux que j'ai eu l'hon- neur et la joie d'y rencontrer ; ils étaient venus des deux extré- mités de la France, aussi différents qu'il est possible par la race el le tempérament ; ils s'y sont liés d'une amitié qui durera sans doute toute leur vie. M. Bore! est déjà connu par de rares succès scolaires, par une thèse remarquable, qu'il vient de sou- tenir, et par quelques autres travaux. Sa place est assurément marquée parmi les mathématiciens qui feront honneur à notre pays. Je crois bien que M. Drach ne tardera pas. lui aussi, à prendre une pareille place. Il a déjà acquis de nombreuse? connaissances, dans des domaines variés ; il est de ceux cjui se préoccupent avant tout du fond des choses, qui restent mé- contents et inquiets tant qu'ils n'ont pas atteint le roc. Cette tendance philosophique de l'esprit est un danger quand elle tra- vaille à vide, qu'elle n'est pas accompagnée de la connaissance des faits, et qu'elle engemlre le mépris des vérités particulières, malériaux essentiels de la science ; c'est elle seule, malgré tout. (|ui préside à l'arrangement de ces malériaux. phkfacp: III (Jiidi t|ii'il cil soil. iiK's convcM'salions sur I AiitliuK-liiiuc l't 1 AliTi^'liro inU'Tcssrn'ul M. IJorcl o\ M. I)r;i(li. cl (|ncl(|ues autri's aussi, j'ose 1 espérer ; mais je lus (juchpie [)cu élonni'' lorsque ees deux jeunes j^ens vinreiil nie pro[)oser de les rédiger el de les publier ; j eus beau leur représenter tout ce qu'elles avaient (rinc()ini)lel cl de décousu : ils s'ollVirenl si ol>lip;eamnienl à les compléter et à les recoudre, ils insistèrent d'une fa(;on si tlatteusc et si aU'ectueuse, que je me résolus, sans y rétléciiir davautaji-e, à les laisser faire. Ils se mirent donc à la beso{;ne. travaillaut ensemble, s'aidant et se critiquant lun l'autre: .M. Bore) se chargea plus particulièrement derArilh- métique et M. Drach de rAlgèbre. J'avais entièrement atteint mon bu! (jiii était, non d'ensei- ger, mais de t'aii'e apprendre. 11 était très naturel que, dans ces conditions, ce que j'avais enseigné disparût quelque peu : c'est ce(|ui est arrivé, beaucoup plus que n'ont voulu se l'avouer, tout d'abord, les auteursdece Livre. Sansdoute, j'ai, depuis, suivi leur travail, je l'ai parfois critiqué, et j'ai, par mes objections, contribué à cclaircir les idées de mes jeunes camarades. Mais j'étais engagé dans d'autres publications, et je n'ai pu consacrer à celle-ci tout le temps que j'aurais voulu : il vaut mieux qu'il en ait été ainsi : ce Livre en aura plus d'unité, et, qu'on me permette de le dire, i)lus do hardiesse. M. Borel me reprocherait assurément de ne pas dire que, en parlant ainsi, c'est à M. Drach que je pense : c'est ce dernier qui avait assumé la plus lourde tâche, c'est lui surtout qui a fait œuvre personnelle. C'est à peine si, dans mes conférences, j'avais sou- levé la question de la nature i\e?> nombres algébri(jties^ tQ^i-h- dire des racines d'une équation algébrique entière à coefticients entiers, c'est à peine si j'avais indiqué comment, par l'emploi des congruences et des systèmes de modules, Kronecker avait pu fonder l'exposition de l'Algèbre sur une base purement arith- métique, et comment, à un point de vue tout autre, on pouvait regarder l'Algèbre, non comme un prolongement do l'Arithmé- tique, mais comme une partie de l'Analyse, le nombre algé- IV PREFACE brique n'éianl (jii'im cas particulier, ncllomcnl drlini (r.iillciiis, de rirralionuollc générale. Mais il suffisait desquisser le j»ro- blème pour que M. Drach s'y attachât, et le dernier point de vue, si parfaitement légitime qu'il soit, ne pouvait manquer de choquer un esprit aussi jdiilosophique que le sien, par la façou dont on y fait aj)pel ù des éléments transcendants, bien éloignés de ce nombre entier, dont il semble que la considéra- tion doive suffire à la construction de l'Arithmétique et de l'Al- gèbre. Le mode d'exposition auquel il a été amené par le désir de réduire à ce qui est indispensable la construction de l'Arithmé- tique et de l'Algèbre consiste essentiellement à regarder les nombres algébriques, aussi bien que les nombres entiers posi- tifs ou négatifs et les nombres rationnels, comme des signes ou symboles, entièrement définis^diV un petit nombre de propriétés posées a priori relativement à deux de leurs modes de compo- sition. On part ainsi d'hypothèses bi(Mi déterminées qui n'inipli(|uent point de contradiction, comme le montre l'étude de leurs consé- quences. Cette étude conduit à quelques-uns des résultats que l'on doit à Kronecker, résultats que l'on peut résumer en disant que le calcul dans lequel interviennent des nombres algébriques est identique à un calcul de jtolynomes à une variable, à coeffi- cients entiers, dans lequel on néglige les multiples d'un polg- nome déterminé. L'établissement de cette proposition, en par- lant des éléments, fait l'objet du chapitre 111 ; la nécessité de donner des règles pratiques pour etl'ectuer le calcul dans un domaine algébrique amène, dans le chapitre IV, à i^xposerd'une manière nouvelle la théorie célèbre créée par tùilois. C'est dans celte théorie que l'on doit d'ailleurs chercher le véritable fondement de l'Algèbre, telle que l'auteur l'a comprise, et la justification du mttde de construction ([u'il a adopté. Il est à peine utile d ajoutei- que ce mode de construction est purement logique, c'est-à-dire indépendant de toute notion cxpérimenlale et en particulier de la notion di> grandeur. Les rUKFACK V rt''siill;its ;i('([uis [)n''st'iil('iil luMniiioiii--. an |Hiiiil de \iir [)rali([iio. un ccrtaiii iiiti'i'i'-l : ('(inimi' ri'\pli(|ii(' M. Di-acli. ■< il exislo, (>n ellet, des Olémeiits ^ronirti'icjucs, niécuiiiquos ou pliysiquos tels que Ton puisse élaMir uue correspondauce univo([ue cl réci- proque entre ces élémeuts et les symboles cousidérés ou une partie d'entre eux. ces i'IiMneiils se composant d'ailleurs avec eux-mêmes de la même manière ipie les svnihohvs eon^^spon- dants ». Loi'S(|ue M. Ih'acli nr(''eri\ it pour la pi'cmière fois sur les sujets qui pl'6c^dent. au commencement de Tan dernier, j'(>us lout d'alxiid. je lavoue, (juelque crainte à le voii- jon<.;ler ainsi avec des symboles qui me semblaient vides de tout contenu ; je me suis persuadé, en y rétlécbissant, qu'il y avait surtout, dans celte crainte, des habitudes d'esprit dont je ne parvenais pas à me d«''faire_, et que, en réalité, elle était peu fondée. Ce qui précède sullira, je lespèrc, à convaincre le lecteur que si ce livre a quelque valeur, c'est à M. Borel et à M. Dracb qu'il faut en reporterie mérite : c'est malgré eux que je le dis, mais je dois au lecteur la vérité. Si dailleui's, comme ils le croient, j'ai réellement contribué à leur insjjirer le goût de la science, cela me sul'lit amplement. Paris, le l(i juillet t8n) 22 Cii\piTUF. Il : Des congruences de module premier. I. — DivisiliiiiLé suivant un niudule pioniit^T. . ..... 30 11. — Polynômes irréductibles 36 III. — Théorie des congruences au poiiil de vue de (ialois ... 42 Cii.\i>iTRE III : Des congruences binômes. 1. — lîacines |»riniitive.^ et indices 51 II. — Extension aux imaginaires de Galois . . a8 III. — Applications. Modules composés 63 CiiAPiritE IV : Résidus quadratiques. — Loi de réciprocité. I. — Congruences du second degré 70 II. — Résidus quadratiques 76 III. — ('aractt''res quadratiques. — Symbole de Legendre. ... 81 IV. — Loi de réciprocité — Applications 93 VIII TAHLE bKS MATIERES C'iiai'ukk \ : Décomposition des nombres en carrés. — Applications. 1. — l''ormes en général. — Sommes de carrés 103 11. — Nombres complexée^ de (iauss 112 111. — Formes quadratiques 116 deuxièml: partie ALGÈBRE SUPÉRIEURE CiiAi'iTUE l'UKMiKu : L'algèbre élémentaire. I. — Nombres entiers posilils 123 II. — Nombres entiers négatifs . . 128 III. — Nombres fractionnaires ^X^ j|[bis, — Polynômes à une variable 140 IV. — Divisibilité des polynômes 146 \. — Polynômes à plusieurs variables 133 Cii.\i»iTRE H : Les nombres algébriques. 1. — Délinilion lo" 11. — Fonctions algébriques 168 III. — Le théorème de d'Alembcrt 171 IV. — Les fonctions symétriques 174 \'. — Propriétés générales des nombres algébriques 180 \L — lléductibilité dans le domaine algébri(|ue J 187 CiiAi'iTiii III : Les systèmes d'équations. 1. — Les é(|uations linéaires 102 II. — llésullant de deux polynômes. — Discriminant . . . . 196 III. — Systèmes d'équations en .'• et en // 205 l\'. — Systénu's d'équations : Cas général 218 CiiAi'irut: l\ : Le calcul des entiers algébriques. I. — Formation d'un domaine ulgébri([ue 227 II. — Désolvante de Galois 237 111. — lùjuations spéciales, leur groupe 240 CiiAi'iTHi; \'. — Les groupes de substitutions. I. — Structure des substitutions 2(32 II. — Fonctions rationnelles de n éléments 26o III. — Propriétés générales des groupes 269 IV. — Théorèmes de Lagrange 278 l'AULK DKS MATIKKKS IX (.iiM'iiHK \ I : Les groupes résolubles. I. — L;i résolulioti algéliriiiuo (les (''i|u;ilions. 286 II. — Di'composilioii d'un groupe 294 III. — (Iroupcs parliculiers 301 (.iiAi'iiiu; \ II. — Applications. — Conclusion. I. — É(|uations normales 3l',i II. — Lquations abéllennes . . 324 C0>CLLSI0N 332 N 0 T E S >'0TE I. — Sur le théorème de Fermât 339 Note 11. — Sur les Imaginaires du Galois 343 La rédaction do la première partie {Théorie des nombres) est due à M. Borel; celle de la seconde {Al(/èbre supérieure), à M. Drach. THÉORIE DES NOMBRES PREMIEllE PARTIE THÉORIE DES NOMBRES CHAPITRE PREMIER PROPRIÉTÉS GÉNÉRALES DES CONGRUENCES I. — Définitions et propriétés élémentaires. 1. On dit que deux nombres entiers, positifs ou négatifs, a et b sont congrus suivant le module positif m, lorsque la diflerencc a — 0 est divisible par 7/1 ; c'est-à-dire lorsque Ton a a = ù ~\-mq, g étant un nombre entier (positif ou négatif). Si a et 6 étaient positifs et b inférieur à m, cette égalité exprimerait que b est le reste de la division de a par m. Nous conviendrons de dire, dans tous les cas, que a et 6 sont restes ou résidus l'un de l'autre par rapport au module 711. D'après cette définition, un nombre a a une infinité de résidus, compris dans la formule générale a-+-mq, oii g désigne un entier quelconque, positif, nul ou négatif. Parmi ces résidus, il y en a toujours un et un seul qui est positif ou nul et inférieur à m; on l'appelle ré5i(fw minimum; dans le cas où a est positif, c'est le reste arithmétique de la division de a par m. Il y a quelquefois avantage à considérer une autre espèce de résidus 4 THEORIE DES NOMBRES ... ... ni m miiuma : il y a toujours un résidu compris entre — — et h- — ' pouvant atteindre celle limite supérieure dans le cas où m est pair ; on l'appelle le résidu minimum absolu ; c'est celui dont la valeur absolue est la plus petite. Pour que deux nombres soient congrus, il est évidemment néces- saire et suffisant que leurs résidus minima soient égaux. Or il est clair que le résidu minimum peut avoir seulement m valeurs distinctes: 0, 1, 2, 3, ..., m — l. Considérons m nombres: a,, Oï, . . . , a„, tels que deux quelconques d'entre eux soient incongrus, c'esl-à-dirc non congrus, suivant b; module m ; leurs résidus minima seront tous différents ; ce seront donc nécessairement, abstraction faite de l'ordre, tous les nombres 0, \, 2, . ., m — 1. On en conclut qu'un nombre quelconque x est congru à l'un des nombres r/,, (u, . . ., «,„• L'ensemble de ces m nombres constitue ce que l'on appelle un système complet de restes incongrus suivant le module m ou, plus briè- vement, w/t système complet de restes (mod. m). Le système complet de restes le plus simple est formé précisément des m nombres 0, 1, 2, ..., m — I. Nous verrons plus tard l'intérêt qu'il peut y avoir à considérer d'autres systèmes complets de restes jouissant de propriétés particulières. Ces notions très élémentaires ont néanmoins leur importance dans bien des questions de Matbémaliciues. Considérons par exemple l'expression tg — ; nous savons que sa valeur ne change pas lorsqu'on augmente ou diminue l'entier /.• d'un multiple de tn. Si l'on donne à /.• toutes les valeurs entières, cette expression prendra donc seulement m valeurs distinctes ; on obtiendra toutes ces valeurs en prenant pour k successivement m nombres formant un système complet de restes (mod. m). h'- /.- Si h désigne aussi un nombre entier, lu' est égal a tir — m VI lorsque lir est congru à /.• suivant le module /«, et dans ce cas seu- lement. Nous aurions pu, au lieu de tg — , considérer l'expression m 2/,-n 2/.-r cos h l sin > qui joue un uraïul rôle en analvse. Elle /// m donnerait lieu à des reniaiiiues analogues. I proprif;tes générales des congruences r; On voit par ces exemples, qu'on pourrait mnlliiilitr. l'importance ([uo peut avoir rt'ludi^ systématiiiiio des rapports ([iii existent entre des nombres congrus ou incongrus suivant un module déterminé. C'est l'étude de ces rapports qui constitue la théorie des congruences dont nous allons exposer les éléments. 2. 11 importe tout d'abord d'adoptor ime notation abrégée pour écrire que deux nombres a et 6 sont congrus par rappori à un module m. Nous adopterons la convention indicpiée par (lauss et consacrée par l'usage et nous écrirons a ^ b (mod. w). Cette relation s'appellera une congruence. La notation choisie a l'avantage de mettre en évidence les analogies très grandes qu'il y a entre les congruences .et les égalités ordinaires. On peut en eflet soumettre les congruences de même module à presque toutes les opérations qui sont légitimes avec les égalités. Nous nous borne- rons à énoncer ici ces propriétés ; elles se démontrent immédiate- ment en remplaçant chaque congruence telle que a^b (mod. w), par l'égalité correspondante a — 6 + mq. Il est clair, tout d'abord, que si l'on a a^b (mod. m), b^c (mod. ?/?), il en résulte a^ c (mod. m). Si l'on désigne par X, X', X" des nombres entiers et si l'on a a ^b a' ^ b' (mod. w), a" = b" on a aussi la + l'a' -+- XV' = Ib 4- l'b' + Yb" (mod. m). En particulier on peut ajouter ou retrancher membre à membre deux congruences de même module ; on peut aussi faire passer un terme d'une congruence d'un membre dans l'autre, par la même règle que pour les égalités. Il est également permis de multiplier membre à membre deux ou 6 THEORIE DES NOMBRES plusieurs congruences de même module ; des congruences écrites plus haut, par exemple, on déduit aa'd' ^ bb'h" (mod. m), et plus généralement aJ'a'^'a"" = h''h"''h""" (mod. w), n, n', n" étant des exposants entiers et positifs. En combinant ces diverses propositions, on voit qu'elles se résu- ment dans la suivante, dont elles ne sont que dos cas particuliers : Si /"(a?, î/, 2, ...) est un polynôme entier à coefficients entiers par rapport aux lettres x, y, z, . . , si de plus on a a ^ oi b = ^ c ^ Y (mod. m), il en résulte fio, b, c, ...) = f{x, p, Y, • • ) Cniod. m). Mais, à Tinvorse de ce qui a lieu pour les égalités, il n'est pas en général permis de diviser par un même nombre les deux membres d'une congruence, même dans le cas où ils sont exactement divisi- bles (s'ils ne l'étaient pas, cette opération n'aurait pour le moment au- cun sens). Par exemple, on a 18 = 6 (mod. 12) et on n'a pas 9 = 3 par rapport au même module. Un examen attentif de cet exemple particulier suffit à indiquer comment on doit traiter le cas général. Si l'on a a ^ b (mod. ?«), a — b cela signifie quo est un nombre entier; on ne peut pas en m I « — /' général conclure de là (lu il en est de même de , a étant un ° mq diviseur commun de a et b. Cette conclusion n'est légitime que si ?« et q sont premiers entre eux ; car, dans ce cas, a — // étant divisible par deux nombres premiers entre eux, est divisible par leur produit. On a donc le droit de diviser les deux membres d'une congruence par tout nombre premier avec le module et qui les divise exactement. (Nous PROPRIETES GENERALES DES CONGRUENCES 7 verrons plus loin comment on ptuil lever cette dernière res- triction, en faisant une conventiim spéciale). En particulier, si le viodule est un nombre premier, les nombri'S qui ne sont pas premiers avec le module sont comirus à zéro par rapport au module, ou, plus brièvement, nuls suivant ce module et on a cet énoncé, tout à fait pareil à celui auquel on est habitué en arithmétique cl en algèbre : La division par zéro seule n^est pas permise. Dans le cas où m n'est pas premier, on voit très facilement que, si l'on désigne par o le plus grand commun diviseur de m et de 7, la congruence a ^ h (mod. m) entraîne a _ b I m\ — = - mod. — . 7 ? V 0,/ Si, en particulier, un nombre g divise a, b, m. on a 0 = ç et a b ■/ . m\ - ^ - mod. — . 9 <ï \ 9 ' 3. Nous nous sommes appuyés sur ce qu'un nombre divisible par plusieurs autres premiers entre eux deux à deux est divisible par leur produit. La démonstration que l'on donne habituellement de cette propo- sition repose comme on sait sur le théorème : un nombre qui divise un produit de deux facteurs et qui est premier avec l'un d'eux divise l'autre. Cette dernière proposition se déduit de la théorie du plus grand commun diviseur. Il ne sera pas sans intérêt d'<'n donner ici une démonstration directe, qui est due à Poinsot (*\ et qui nous conduira naturellement à d'autres propriétés très importantes. Considérons la suite des multiples d'un nombre entier positif a, 0, a, 2a, . . , 7na,... et divisons les termes de cette suite par un nombre entier positif 7n. Il est clair que ces restes se reproduiront périodiquement do m en m, mais la période peut être plus courte. Soit h le plus petit nombre tel que ha soit divisible par m, ha sera le plus petit commun mul- tiple de a et de m ; h termes consécutifs seront toujours incongrus (*) Dans un livre récent sur les éléments de la théorie des nombres. M. Baelimann a appelé l'attention sur la signification de la démonstration de Poinsot. 8 THÉORIE DES NOMBRES (mod. m) : on offot, si ka cA k'a ('étaient congrus (mod. m), leur diffé- ronco (/c — k')a serait divisible par m, ce qui, j)ar hypothèse, ne pont avoir lieu lorsque /. — // est plus petit que h. Cette différence, au coniraire, est évidemment divisible par m lorsque k — k' est divisible par h ; les restes se reproduiront donc de h en It et la période de h restes sera composée de nombres tous différents, enfin h restes consécutifs sont toujours différents. Une première conséquence de cette remarque est la suivante : les seuls termes de la suite qui soient divisibles par m s'obtiennent en multipliant a par un multiple de h; anlramenl, tous les multiples communs à m cl à a sont des multiples du plus petit commun mul- tiple ha de ces deux nombres. En parliculier m doit être un rnulli[)le de /<, puisque ma est un multiple de m et de a. Soit m^ kd, soit aussi ha = mq \ on en déduit ha — Arfy, d'où a =: dq : d est donc un diviseur commun de a et de m, nous allons voir que c'est le plus grand. 1° Supposons d'abord que a et m soient premiers entre eux ; d ne pourra être égal qu'il l'unité, donc, dans ce cas h = m, ce qui s'énonce : le plus petit commun multiple de deux nombres premiers entre eux est leur produit. Tout multiple de ces deux nombres est donc un multiple de leur produit, d'où il résulte que si un nombre divise un produit de deux facteurs et est premier avec l'uri d'eux., il divise l'autre. Dans ce cas, la p(';riode des restes se compose de m termes dis- tincts qui ne peuvent être que les nombres 0, 1, 2, . . ., m — 1, rangés dans un certain ordre : on en conclut que si dans l'ex- pression a.T, ou dans l'expression ax -+- b, où b est un nombre entier (iu<'lcon({ue, on substitue à la place de x, m nombres en- tiers consécutifs, ou plus généralement un système complet de nom- bres incongrus (mod. m), on obtiendra un système complet de nombres incongrus (mod. m) ; en substituant dans ax les nombres entiers 1, 2, . . ., w — 1 à la place de x, on obtient comme restes ces mêmes noml)res pris dans un certain ordre ; plus généralement en substituant, à la place de a-, m — 1 numbres incongrus (mod. m) et dont aucun n'est nul (mod. m) on obliiMil encore m— 1 iiDUibres incongrus (mod. 7?i), dont aucun n'est nul (mod. ?»). 2" Supposons maintenant que a et m ne soient pas premiers entre eux ; soit o leur plus grand commun diviseur ; les nombres PROPRIKTKS GKNKRALKS DKS CONGRUENCRR 9 n m -1 — sont promids ciilic eux, d Ion riljscrvoia on passant quo 0 0 cette projxisilion s'établit diroclcmonl, sans passer par lal^-'oiitlinif' du plus grand commun diviseur. m Los restes minima que l'on obtient en divisant par - les termes de la suite a ^ a a 0, -, 2-, .•}-, .... 0 «j 0 sont les quotients par o des restes que l'on obtient en divisant par m les termes de la suite 0, a, 2a, 3a, ... ; la périodicité est la même ; d'après ce qu'on vient de dire, la pé- riode pour la première suite contient — restes, qui sont les nom- bres 0, 1, 2, . , — — 1, rangés dans un certain ordre; celte fn période, pour la seconde suite contiendra aussi — restes qui se- m ront 0, 0, 2o, ...,m — o. KiiOn puisque Ton doitavoir — = ^'i il 0 faut que h soit égal ;i rf, et Ton retrouve en passanlle théorème sur la composition du plus petit commun multiple de deux nombres, qui s'obtient en divisant le produit des deux nombres par leur plus grand commun diviseur. On reconnaît aussi, dans ce cas, que si dans l'expression ax-{-l), on remplace x par un système complet de nombres incongrus (mod. m), on n'obtient plus un système complet de nombres m mcongrus, mais seulement — restes incongrus. 0 L'application de ces divers théorèmes aux polygones réguliers étoiles est bien connue. 4. Dans le cas oîi m est un nombre premier />, chaque nombre non divisible par p est premier à ce nombre : si donc dans l'expres- sion ax où a n'est pas divisible par p on substitue p — 1 nom- bres cci, a:^, ..., Xjj_i incongrus entre eux et à 0 (mod. /)), on obtiendra p — 1 nombres congrus à ces mêmes nombres ar,, »2, . . . , Xj,_i rangés dans un autre ordre ; le produit des nombres aa?,, aXi, ,,., axj,_y est donc congru (mod. p) au produit XiXi Xp_x, et comme le dernier produit est premier à p. 10 THEORIE DES NOMBRES on en conclut a''-» — 1 = 0 ^mod. p). C'est le célèbre théorème de Fermât, qui joue, dans la théorie des nombres, un rôle essentiel et dont nous rencontrerons incidemment d'autres démonstrations; observons qu'on en déduit immédiatement la proposition suivante: quel que soit le nombre entier a elle nombre premier p, on a a>' — a^O (mod. p]. II. — Racines des congruences. 5. Nous n'avons considéré, jusqu'ici, que des congruences ne renfermant pas d'indéterminée, des congruences purement arithmé- tiques, si l'on peut s'exprimer ainsi ; elles correspondent à ce que l'on appelle proprement des égalités ; nous allons parler maintenant de celles qui correspondent aux identités et aux équations. On n'a pas jugé qu'il lût nécessaire de créer des mots distincts pour dési- gner ces diverses congruences, mais il importe de ne pas les confondre. On dit que deux polynômes f{x) et g{x) entiers par rapport à une variable x (sauf avis contraire, nous sous-entendrons toujours que les coefficients des polynômes sont entiers), sont identiquement congrus ou plus simplement congrus suivant un module m s'il existe un poly- nôme entier en x, "]>(x), tel que l'on ail, quel que soit l'entier r, f{x) = g[x)^m'!^{x). On écrit alors d'une manière abrégée f(x)^g{x) l'mod. i7i). Les coefficients des mêmes puissances de x, dans / et dans g, SQiit évidemment congrus suivant le module m. D'après cette définition, on a f{xj ^ 0 (mod. m) dans le cas et dans le cas seulement où tons les coefTicients do f{x) sont divisibles par m. S'il n'en est pas ainsi, on n'aura pas en général, pour toute valeur entière a de .t, f{a) ^ 0 (mod. m). PROPRIETES GENERALES DES CONGRUENCES 11 S'il existe un numbro ontior a tel quo cotlo congruenco soit vérifiée, ce nombre a est dit une racine do la congruence f{x) ^ 0 (mod. m). Une congruenco peut n'être pas identique et cependant avoir pour racines tous les nombres entiers; si p désigne un nombre premier, c'est ce qui a lieu d'après ce que nous avons vu pour la congruence x>' — X ^0 (mod. /;). Nous verrons i)lus tard comment on peut reconnaître, dans le cas d'un module quelconque, si une congruence donnée possède ce caractère exceptionnel (*). Revenons à la relation f{a) ^ 0 (mod. m), qui exprime que la congruence donnée admet la racine a. Il est clair que si l'on a h ^ a (mod. ???), on a aussi f{b) = 0 (mod. m), c'est-à-dire que la congruence admet aussi pour racines tous les nombres b congrus au nombre a. Nous ne i^egarderons pas ces racines comme distinctes. Il en résulte (ju'une congruence (mod. m) peut avoir au plus m racines distinctes (et même m — 1 seule- ment si on ne tient pas compte des racines congrues à zéro). On peut donc toujours résoudre une congruence, c'est-à-dire trouver les racines de cette congruence par un nombre limité d'essais succes- sifs. Mais ces essais sont d'autant plus nombreux que le nombre m est plus grand ; d'autre part, on ne connaît pas de méthode gé- nérale simple pour résoudre les congruences dont le degré dé- passe l'unité. Il y a donc intérêt, pour diminuer le nombre des essais, à réduire s'il est possible la valeur du module m. Nous allons montrer que pour résoudre une congruence, il suffit de résoudre un certain nombre d'autres congruences ayant pour modules des facteurs premiers entrant dans jn. II faudra de plus résoudre un problème simple qui ne dépend que de congruences du premier degré, et que nous étudierons en détail. (*) Voir la note à la fin de l'ouvrage. 12 THEORIE DES NOMBRES 6. Montrons, en premier lieu, que si l'on a m := prp\ les nombres />, q, r étant premiers entre eux deux à deux^ on peut ramener la résolution de la congruence (1) f{x) = 0 (mod. m) à celle des congruenccs simultanées : ( f{x) = 0 (mod. p), (2) I f{x) = 0 (mod. q], ( f{x) = 0 (mod. r). En effet, il est clair d'abord que tout nombre x qui satisfait à la congruence (1) satisfait aux trois congruences (2). Réciproquement, si X satisfait aux trois congruences (2), f{x) étant divisible par les trois nombres premiers entre eux deux à deux p, q^ r, est divisible par leur produit m, c'est-à-dire que x satisfait à la congruence (l). Il suffit donc de déterminer les solutions communes aux con- gruences (2). Pour cela, nous supposerons que nous ayons résolu séparément chacune de ces congruences et nous ferons voir qu'à tout groupe formé d'une racine a de la première, d'une racine p de la seconde et d'une racine y de la troisième, correspond une racine x de la congruence (1) ; de sorte que si les congruences (2) ont respectivement p', q', r' racines, la congruence (1) en a p'q'r'. (Si la première des congruences (2) par exemple était identique ou vérifiée quel que soit a?, on aurait p' = p). En effet, il suffit que l'on ait X ^oL (mod. p), ar ^ p (mod. q), a? ^ Y (mod. r). Or on conclut immédiatement de là : qrx ^ qrx (mod. 7n), lyx ^ rpP (mod. m), pqx ^ pq^ (mod. m), et par suite [qr H- rp -h pq) x ^ qrx -{- rp'^ -+- pqy 'mod. //i). Nous verrons plus loin que cette congruence du premier degré en X, dans laquelle le coefficient qr-\-rp-\-pq de x est premier avec le module m = pqr (puisque p, 7, r sont premiers entre PROPRIKTES GENERALES DES GONGRUENCES 13 eux ili'iix ù di'iix; a une racinr uiiinuo et déterminée. Cette racine satisfait d'ailleurs aux conditions exigées ; car un a [uir cxcniple {qr -+- rp -h pqjx =2 rp'x h- rp'^ -1- pqy (mod. p), d'où, en supi)riniant de part et d'autre les multiples de p, qrx ES qry. (mod. p), et enlin, en divisant par qr qui est premier avec le module p, ^ x zz a (mod. p). Nous avons ainsi montré qu'à tout système de solutions :x, Ji, y du système (2) correspond une racine x de la congruence (1). 11 est clair que la réciproque est vraie et de plus que la correspondance est univoque; c'est-à dire que si x et x' sont incongrus suivant le modul(^ pq}\ ils sont incongrus par rapport à l'un au moins des modules p, 7, r et réciproquement. Los propositions énoncées sont donc complètenuMit démontrées. Nous reviendrons d'ailleurs sur la conyru(Mice qui détermine X, après avoir traité des congruences du premier degré, pour montrer comment on peut diriger la solution de manière ({uc la plus grande partie du calcul soit indépendante de x, jB, y, c'est- à-dire puisse servir pour toutes les racines. 7. Les résultats acquis résolvent complètement le problème posé dans le cas où m ne renferme pas de facteurs premiers ligurant avec une puissance supérieure à la première. Dans le cas contraire, la décomposition la plus complète qui se puisse effciituer de m en un produit de nombres premiers entre eux deux a deux, est la décomposition en un produit de puissances de nombres premiers. Il reste donc à montrer comment on peut ramener la résolution d'une congruence dont le module est une puissance d'un nombre premier, à la résolution de congruences de module premier. Soit donc (1) f{x) = 0 (mod. p"-) une congruence dont le module est la puissance d'un nombre pre- mier. Il est clair que toute racine de cette congruence satisfera aussi à la congruence (2) f{x) = 0 (mod. p). Mais la réciproque n'est pas nécessairement exacte. Soit a une ra- 14 THEORIE DES NOMBRES cine de la congruence (2) ; a-hpy sera aussi une racine de (2); nous allons chercher à déterminer Tenlier y de manière que cette quantité soit également racine de (1). Nous avons f{a -h py) = p'(f (y), a étant un nombre au moins égal à 1, o{y) un poljTiome entier dont tous les coefficients ne sont pas divisibles par p. Si l'on a a > À, a^py est racine de la congruence (1) quel que soit l'entier y ; ù la racine a correspondent ainsi />"'•"' racines incongrues de la con- gruence (1). Si l'on a au contraire a •< À, la congruence (1) peut s'écrire, en posant x — a-\- py, f[a + py) = p'o(y) = 0 (mod. f). On en conclut o(y) ^ 0 (mod. p"""^). La détermination des racines de (1) qui sont congrues au nombre a suivant le module p, est ainsi ramenée à la résolution d'une congruence dans laquelle le module a une moins grande valeur. On voit immédiatement qu'en appliquant la même méthode à cette nou- velle congruence on n'aura jamais à résoudre que des congruences (mod. p). On peut vérifier que l'on a ainsi moins d'essais à faire si l'on procède par tâtonnements et do plus, pour ces essais, on opère sur des nombres moins considérables, puisqu'on peut remplacer tous les coefficients d'une congruence (mod. p) par leurs résidus minima absolus, c'ost-à-dire par des nombres inférieurs en valeur p absolue à — . 2 Comme application, considérons la congruence (1) x- = -i (mod. 27). Nous devons d'abord résoudre la congruence a^* ^ 7 (mod. 3) ou a?" ^ 1 i^mod. 3), qui admet évidemment les deux racines incongrues -h 1 et — 1; nous ne considérerons que la racine positive (on obtiendra ensuite en changeant les signes les résultats qui correspondent à la racine négative). Si nous posons x = 1 -+- 3»/, la congruence proposée devient 3(3i/- -f- 2// — 2) = 0 ^nlod. 27^ PROPRIETES GENERALES DES CONORUENCES 15 OU (2) 3y» -+- 2j/ — 2 = 0 (mod. 9). Nous devons d'abord résoudre la congruence 3 J/' -H 2// — 2 = 0 (mod. 3), ([ui donne y ^ i (mod. 3) el nous conduit à poser ij =: l -hSz. La coni;rui'ncc (2) devient alors 3[(l+33)-+2:J = 0 (mod. 9) ou (14-33)^+23=0 (mod. 3) l4-2z = 0 (mod. 3), d'où z = 1 (mod. 3). On a donc .y = 4 el x — 13; la congrueiicc (1) admet les deux racines -+-13 et — 13 ou, si Ton veut, 13 et 14. La cun- gruence proposée est d'ailleurs l'une de celles pour lesquelles il existe des méthodes générales de résolution. 8. Avant de passer à l'étude générale des congruenccs de degré quelconque et particulièrement des congruences démodule premier, étude qui fera l'objet du chapitre suivant, nous allons traiter en dé- tail des congruences du -premier degré. Il est en efl'et nécessaire de les traiter dans le cas d'un module quelconque et de plus leur étude nous conduira à nous occuper de diverses questions intéressantes en elles-mêmes. Considérons d'abord le cas d'un module premier p. La congruence du premier degré a la forme ax ^ b (mod. p). Elle est idcntujite, si a cl 0 sont tous deu.x. congrus à zéro (mod. p), impossible si a est congru à zéro sans que b le soit. Ces résultats qui s'aperçoivent immédiatement sont absolument pareils à ceux que l'on obtient dans l'étude des équations du premier degré. Dans le cas où a n'est pas congru à zéro, il résulte de remarques déjà faites que si l'on donne à x, p valeurs incongrues, le premier membre prendra p valeurs incongrues, dont par conséquent une et une seule sera congrue à b. La congruence a donc une racine et une seule ; le théorème de Fermât permet d'avoir immédiatement 16 THEORIE DES NOMBRES son expression : si Ton multiplie les deux membres de lacongruence par a^'~*, on obtient a''~'^x ^ ba^'-^ (mod. p) ; d'autre part, a étant premier avec p, a^^' ^ 1 (mod. />). On a donc enfin X ^ ba^'~^ (mod. p). Gauss convient de représenter la racine de la congruence du pre- mier degré par - (mod. p), c'est-à-diro d'écrire X ^ - (mod. p). Les expressions telles que — (mod. p) ne sont pas des fractions, a mais des nombres entiers; il esL cependant facile de vérifier qu'elles sont soumises aux mêmes règles de calcul que les fractions ordi- naires. 11 importe seulement de remarquer qu'on doit exclure du calcul, comme n'ayant pas de sens, celles d(^nt le dénominateur est congru à zéro et qu'on ne doit jamais multiplier les deux termes par un nombre congru à zéro. Dès lors il est facile de vérifier, par exemple, ({ue si l'on a a il en résulte ^=ï (mod. p). c (mod. p\ ad H- bc (mod. p). ac '" ^ Td (mod. /)'. X ad (mod. /)). u en supposant, bien entendu, qu'aucun des dénominateurs n'est congru à zéro. Ces égalités sont des égalités entre nombres entiers ; la dernière, par exemple, exprime que x et y étant les racines des (mod. p\ (mod. p\ (mod. p), (mod. p) congruences bx — a — U du — c 1£H0 les congruences y^ — X LZ t) bc\ - -ad ^ U PHOl'RIKTES GENKRALIîS DES CONGRUENCES il sont L'iluivalonlos. C'osI ce qu'il est aisé de vérilier dircctemcnl, b, c, (/ étant supposés incongrus à zéro. Les remarques précédentes nous conduisent naturellement à con- sidérer la racine x de la congruence ax ^ i (mod. /j), c'est-à-dire X ^ — (mod. p). Sa connaissance est manifestement utile dans le calcul des racines des congruences de la forme ax ^^ b (mod. p) ou X ^— (mod. p). a 11 est clair en effet que si l'on a a il en résulte ^-^a'b. a Le nombre a' est dit le nombre associé de a. Il est clair que la cor- respondance entre a et a' est réciproque. D'ailleurs a ne peut être égal à a' que si leur valeur commune est 1 ou p — 1, car si a' = a, on a a^ — 1 =(a— l)(a + l) = 0 (mod. /î), et p étant premier divise « — 1 ou a -i- 1. Les nombres 2, 3, , /) — 2 sont doncassociés deux à deux ; le produit de deux nombres associés étant congru à 1, il en résulte 2.3 (p — 2)=1 (mod.;)), d'où 1.2.3 (p— 2)(/3 — 1) = p — 1 = — 1 (mod. p), ou enfin 1.2. 3 (p — 1)4-1=0 (mod. p). Cette égalité constitue le Ihéorème de Wilson, remarquable par le fait qu'il exprime une propriété caraclérisùque des nombres pre- miers. En ellet, si p n'est pas premier, on voit facilement que le produit 1.2.3 [p — i) est divisible par 77. 9. Indiquons maintenant une métbode de résolution des con- gruences du premier degré de modale compose, méthode qui s'ap- plique d'ailleurs aussi dans le cas d'un module premier. THÉORIE DES (vOMBBES i 18 THEORIE DES NOMBRES Soit ax ^ b (mod. m) une congruence ; on peut, en désignant par y un entier indéter- miné, la remplacer par l'équation ax -+- my = b. On est ainsi ramené à un problème traité dans les éléments sous le nom d'analyse indéterminée du premier degré. On sait que si a et m sont premiers entre eux, toutes les valeurs de X qui satisfont à cette équation sont de la forme X =z X(^ -\- mt, c'esl-k-dire X ^ Xf^ (mod. m). La congruence proposée admet donc dans ce cas une solution a unique ; pour la trouver, on réduit — en fraction continue, et en m a désignant par - Tavant-dernière réduite, on a, la dernière réduite , . , o étant précisément —•> m a\x — m-x = zb 1, et par suite a(±: b\i) — m{± bx) — b. Dans le cas où n et m ont un diviseur commun o, le problème est impossible si o ne divise pas b. Si o divise 6, on est ramené à léquation a m b -X -i--y =-, c'est-à-dire, si l'on veut, à la congruence ^rx = - ( mod •?) On a donc à résoudre le même problème ; cette dernière congruence a une solution unique x^, mais la congruence proposée admet pour solutions distinctes tous les nombres congrus à x^ suivant le mo- dule — et incongrus suivant le module rn; elle a donc o solutions. 0 On voit (juc Ton peut employer pour les modules composés la notation dr (iaiiss ([lU' nous avons indiquée pour b-s nunluU'S pre- miers, mais on doit exclure tous les dénominateurs non premiers PROPRIKTES GENERALES DES CONQRUENCES 10 avec le module. La solution (jue nous venons d'indiquer revient d'ailleurs à chercher d'abord la valeur du symbole - (mod. m), c'est- a ' à-dire à déterminer l'associé a' du nombre a. Dans le calcul fait plus haut un a «' = ± |Ji. Nous pouvons maintenant traiter d'une manière complète le pro- blème qui s'était offert à propos des congruences quelconques de module composé et qu'on peut formuler ainsi : /;, y, r étant des nombre premiers entre eux deux à deux, trouver un nombre .r qui satisfasse aux congruences X ^ % (mod. p), X ^ P (mod. q), a? ^ Y (mod. r). Nous avons trouvé que x est déterminé parla congruence unique {([r 4- rp -\- pg)x ^ qj'rt h- ?"/73 + pq-; (niod. ni = pqi')- Or, d'après les hypothèses faites, qr -\- rp^pq est premier avec wi; déterminons son associé, c'est-à-dire calculons un nombre m' par la congruence m'\qr-^rp + pq)^\. (mod. ??i). On aura X ^ qvxin' -\- rp'^m' -+- pq-nii' (mod. m). On voit que la déterminalion de m est complètement indépendante de a, p. Y, comme nous l'avicns annoncé plus haut. On peut mettre la formule obtenue sous une autre forme. Si nous déterminons en effet p\ q\ r' par les congruences p'{qr + rp -\- pq) = 1 (mod. p), q'iqr -\- rp -\- pq) ^ 1 (mod. q), r'{qr -+- rp H- pq) £S 1 (mod. ?•), qui peuvent s'écrire, plus simplement, p'qr ^ 1 (mod. p), q'rp ^ 1 (mod. q), r'pq ^ 1 (mod. r), on aura m' z= p' + hp, m' =^ ç' -h kq, m' = r' -+- Ir, /«, /.', / étant des entiers inconnus; il en résulte X = qroLp' -+- rp^q H- })q-(v' + j7<ï -h l;'^ + h)V'P' (mod. »()> c = o, (mod. P), c = o, (mod. q), c^ï, (mod. r), (mod. m). 20 THEORIE DKS NOMBRES OU plus simplouioiit X ^ p'r/vx -hf/'i'p/ H- r'p^Y (mod. luj. On oblieut aiséincnl cotte valeur do x en remarquant que si l'on pose ? = a, T) = 0, Ç = 0, r, = p, Ç = 0, r, = 0, on a Or, on trouve ininiédiatemonl ; Ez: //(^î'a (mod. ?«), et de même les valeurs de r^ et ^. Il est à peine utile de faire observer que rien no serait chan^'é ;i la méthode si au Hou de trois n sont les seuls qui possèdent des associés; doux nombres associés sont égaux si en désignant par a leur valeur commune, on a la congruence a^ n:^ i (mod. m). Si cette congruence admet la racine a, elle admet la racine m — '/ et ces deux racines sont distinctes, car si elles ne Tétaient pas leur produit serait congru à 1 ; or on a a{m — a)^—a^^ — 1 (mod. nj) et nous supposons m supérieur à 2. On conclut très facilement de ce qui précède que si l'on désigne par ']>(»i) le nombre des racines de la congruence x^ ^ i (mod. m), et par P le produit do tous les nombres promiiMS avec m et non supérieurs à ?», on a P = (— 1)»'*("') (mod. m\ Cette égalité consliluo \o (//('•orènic de WUson fjrnrralisé. On peut chorcbor (lii-(>ctoniont l'cxprossidu d(^ '\'[m) i^voirà co sujol : Sekui:!". PROPRIETES GENERALES DES CONGRUENCES ^l Algèbr-e siijjérieure, ^^\)2j\ nnu^ (li-ihiirons s;i valeur di' la lliéorio générale dos coiigruoncos binonios (|ui sera laid' plus Idhi. Nous verrons que Ton a a étant le nombre des facteurs premiers impairs dislincls de //;, et r, étant égal à zéro si m n'est pas divisible par 4, à it7i si tn est divisible par 4 et non par 8, à deux si m est divisible par iS. Il en résulte que ron a P ^ — 1 (mod. m) lorsque m est égal à une puissance d'un nombre premier iinpnir, égal au double d'une, {elle puissance ou égal à 4, et aie contraire P ^ 4- 1 'mod. m) dans tous les autres cas. On voit que les nombres inférieurs à m et premiers avec m jouent dans cet énoncé le même rôle que les nombres inférieurs au module, dans le cas du module premier. On peut aller plus loin dans cet ordre d'idées et remaniuer que l'ensemble de ces nombres jouit de certaines propriétés du système complet des restes dans le cas du module premier. Par exemple, si on multiplie tous les nombres de cet ensemble par un nombre a premier avec m (c'est-à-dire appartenant aussi à cet ensemble), on obtient comme produits des nombres tous incongrus et de plus premiers avec m. Ce sont donc, dans un certain ordre, les nombres de l'ensemble considéré. On voit que ces raisonnements sont tout pareils à ceux par lesquels on établit le théorème de Fermât ; en continuant à raisonner d'une manière analogue, on établit sans peine la formule a'^'^'n) = 1 (mod. m), dans laquelle a désigne un nombre quelconque premier avec m et cp(m) le nombre des nombres premiers avec m et non supérieurs à m. La propriété exprimée par cette formule est ce qu'on appelle le théorème de Fermât généralisé. Il est, de même que le théorème de Wilson généralisé, beaucoup moins intéressant et moins important que la proposition simple. Il ne fournit pas, en effet, de congruence qui soit vérifiée pour toute valeur de la variable, sans être une identité, tandis que nous verrons que c'est, au fond, ce qui con- stitue limportance considérable du théorème de Fermât. Celui-ci 2:2 THÉORIE DES NOMBRES est réellement dans la nature des choses et, dans les chapitres qui vont suivre, il s'en présentera, incidemment, plusieurs démonstra- tions nouvelles. III. — La fonction ^(m). 11. Nous avons néanmoins tenu à parler du théorème de Fermât généralisé, qui a d'ailleurs une certaine importance dans la théorie générale des congruences hinomes, car il nous donne le premier exemple de l'intruduction dans une formule d'une fonction arith- métique très importante, la fonction o{m). Lorsque m est plus grand que 1, on peut dire que ^[m) est le nombre des nombres premiers à m et plus petits que lui; c'est pour pouvoir supposer que l'on dit « non supérieurs à m ». La fonction o(m) va nous arrêter quelque temps, et les considé- rations antérieures nous en fourniront les propriétés essentielles. La plus simple est exprimée par l'égalité o[ab) = cp(a) X ?(6), où a, 6 sont deux entiers positifs premiers entre eux, égalité que nous allons établir. Elle est évidente si l'un des nombres n, b est égal à un ; nous supposerons donc les deux nombres plus grands que un. Dès lors si l'on considère un nombre entier positif premier à ab et plus petit que a^, on pourra le mettre sous la forme a.r-j-?/, en dési- gnant par X le (juo tient de sa division par a et par y le reste de ces deux nombres, x est inférieur à b, y est inférieur à a et pre- mier avec a. Inversement, si x est inférieur l\ b oi y inférieur à a et premier avec a, ax -h y est inférieur à ab et premier à a. Le nombre y peut prendre ^{n) valeurs ; considérons l'une d'elles et voyons combien elle fournit pour ax -+- y de valeurs premières à b et par suite à ab ; si on donne dans ax -\-y les valeurs 0, 1, 2, ...,/>< — 1 à 0-, on obtiendra un système complet de nombres incongrus (mod. ^) ; i)armi ces derniers nombres, il y a o^b) nombres premiers à b ; parmi les nombres que l'on déduit de ax -\- y en remplaçant x par 0, 1,2, ..., A — 1, il y aura PROPRIETES GENERALES DES CONGRUENCES ^3 donc aussi 'î(h) nombres prcniii'rs à ti/> ; on vuil qu'il y aura o(a) X ?(^j nnnihros pi'rniicrs ;i a/) d intV'riours à ab ; l'égalité est démontrée. On reconnaît de suite ([ue si m est une puissance p* d'un nombre premier /;, on a o(m) = p'^'^p — 1) = 7/i( 1 I ; il iMi résulte que si l'on sui>p<»s(' m décomposé en ses facteurs pre- miers, m = p^'q^r ,y^n^ on aura m o(p^)o{f)o{V) . . . = m(l _ i)(^l - i) (l _ 1) . . Une autre propriété capitale de la fonction o va résulter encore du même genre de considérations. Si Ton envisage la suite 0, a, "la, . . . , et la suite des restes minima que l'on obtient en en divisant les m termes par //t, la période des restes comprend m termes ou — termes 0 suivant que m est premier à a ou admet avec a le plus grand com- mun diviseur o. Ce nombre de termes est dans tous les cas un divi- seur de m. Inversement, si d est un diviseur de m, il existe des nombres a tels que la période des restes ait d termes ; il faut et il suffit en ?/i effet que le plus grand commun diviseur de a et de m soit o = — , d c'est-à-dire que les quotients de m et de a par — soient premiers . ,• , ad . entre eux, c ost-a-dn^e encore (lue d et — soient premiers entre eux ; m on devra donc, pour cela, prendre a de la forme —A-, k étant premier à d. Prenons successivement pour a les valeurs 0, 1, 2, . . , m — i; la valeur 0 fournira des restes tous nuls, c'est d'ailleurs la seule dans ce cas ; la période des restes ne comprendra qu'un terme. Les nombres qui fourniront une période de d termes seront de la forme m in —k, k étant premier à d et inférieur à (/, afin que —k soit inférieur (v il/ 24 THEORIE DES NOMBRES à 711, il y on aura o{d) ; les nombres qui fourniront une période de m restes seront les nombres inférieurs à m et premiers h m. En résumé, on a m = 1 + o{d) -4- o{d') -h . . . + o(nj), en désignant par d, d', ... les diviseurs de m autres que U7i et m, ou en aup'posant que d représente successivement tous les diviseurs de m, y compris m et un. 12. On n'aurait aucune peine à vérifier cette égalité, au moyen de l'expression connue des diviseurs d d'un nombre m décomposé en ses facteurs premiers et de l'expression trouvée antérieurement pour o(m). Tout au contraire, nous voulons déduire de cette for- mule l'expression de o(m), par une métbode assurément plus longue et plus difficile, mais qui comporte l'établissement d'une formule importante. Nous démontrerons d'abord le lemme suivant. Parmi les diviseurs d'un nombre m plus grand que un, ne considérons que ceux dont les facteurs premiers sont tous différents : le nombre de ceux qui contiennent un nombre impair de facteurs premiers surpasse d'une unité le nombre de ceux qui contiennent un nombre pair de fadeurs premiers. Ceci n'est autre chose que cette propriété bien connue : le nombre des combinaisons formées avec n objets en prenant un nombre impair de ces objets, surpasse d'une unité le nombre des combinaisons formées avec les mêmes objets en en prenant un nombre pair. Si donc on pose ^1 = 1, puis, en supposant que m soit un entier plus grand que 1, Sm = 0 quand le nombre entier positif ?n contient au moins un facteur pre- mier élevé à une puissance plus grande que un. et enfin e», = (-l)" quand m ne conti.Mit que des facteurs premiers (linÏMvnls. en nombre égal à », on aura S^,, = 0, PROPRIÉTÉS GÉNER\M-:S DES CONCiRUENCES 25 la sommation L'ianl t'-tcndui' à Imis li^s divisouis d d'un iKimbrc quelconque plus grand que un, y compris ce nombre el V unité (*j. Observons en passant, avec Ivronecker, que cette égalité contient une démonstration de la formule d'Euler [ nc-^ = 1, où, dans le produit inlini, p doit prendre les valeurs de tous les nombres premiers autres que 1, et où z est un nombre quelconque réel ou imaginaire dont la partie réelle est toutefois plus grande que un, afin que la série elle produit infini soient absolument con- vergents. En effet, en développant le produit infini, on trouve évi- demment et d'ailleurs le produit des deux séries v -L V zi ^^ v ^"' ^ n- -^ tir ^ {miif est égal à un, car si a est un entier quelconque plus grand que un, 1 le terme — y figurera avec un coefficient égal à la somme Se,, éten- a' due à tous les diviseurs du nombre a. 13. Considérons maintenant un nombre entier positif quel- conque m, désignons par f[x) une fonction numérique définie pour toutes les valeurs entières et positives de x^ et définissons la fonc- tion numérique F(m) par la formule (1) Y[m) = ^t{d\ où, dans le second membre, la sommation est étendue à tous les diviseurs d de 7ïi, y compris m et l'unité. Nous allons démontrer que l'on a inversement (') En effet lunité n'intervient pas au noml^ie des diviseurs de m dans le lomme énoncé plus haut, car elle ne roni'erme aucun facteur premier; en con- venant de considérer l'unité comme renfermant zéro facteur premier, c'est-à-dire un nombre pair, on remplacerait dans l'énoncé du lemme : surpasse d'une imité par : est égal à. 26 THEORIE DES NOMBRES (2) f{m) = l^,F^^Jy, si Ton remplace en effet F[-r) par sa définition, dans le second membre, il deviendra m où le second signe il se rapporte à tous les diviseurs d' de — ; si l'on réduit les termes semblables, on voit que f{d') sera multiplié par Izz, où la sommation s'étend à tous les diviseurs o de m tels que m m — soit divisible par d\ ou que — soit divisible par o, c'est-à-dire à 0 d m tous les diviseurs de —r ; on aura donc Itr = 0 si rf' n'est pas d égal à w?, Sî, = £1 = 1 si d' est égal à w. On a donc bien iVS/(rf')] = f{m). Réciproquement, si la fonction numérique /*(m) est définie par l'égalité (2), la fonction F(m) satisfera à l'égalité (1) ; la démons- tration est la même. Si l'on se reporte à la définition du symbole £,„ et si l'on suppose que le nombre m soit décomposé en ses facteurs premiers, m = p^'q^r'^. . . . u", p, q,i\ . . ., u étant différents, on voit que l'égalité F(m) = S/(rf) équivaut à la suivante : oùSFf — j est mis pour la somme f( - | -t- F( - | -h F|— J h- •• . ^P( — ) pour la somme F( — ) H- F( — ) -+- F( — ) h- • -, etc. \pq/ \pql \prj \qrj En particulier légalité m = So(rf) équivaut à celle-ci : . ^ m m m oim) = m — 2l h ï h ••• /' pq P9'' et 1 on voit (juc légalité m = ^ o [d) définit entièrement la fonction nnmêriqno o[r»). PROPRIÉTÉS GÉNÉRALES DKS CONGRUENCES 27 Obsorvons cncoro, rolaliv(Mii<'iit à la formule o(m) — m — S — i-l 1 h •••' P P9 P9^' qu'ollo exprime simplement ce fait évident que, si l'on supprime des nombres 1, 2, ..., m les nombres qui ont un diviseur commun avec 711, il ne restera que les nombres premiers à m. Imaginons en elTet les nombres 1, 2, . . ., m écrits dans un ta- bleau (1) -î- l,H-2, ...,-hw et tous alVeclés du signe h- ; adjoignons à ce tableau celui des nombres (2) dont cha(iue ligne est obtenue en plaçant le signe — devant un des multiples de l'un des nombres /?, 7, r, . . qui sont au plus égaux à m ; adjoignons-y encore le tableau )n + pq, -^^pq, -^''ipg, , H pg, (3) ^"^ -hpr, -i-'^pr, -h3»r, ...., -\ pr, pr -P^ -2/>, -3/j, .. m — ?, -27, — 37, .. m dont chaque ligne est obtenue en mettant le signe + devant un multiple de l'un des produits difTérents obtenus en prenant deux des nombres p, 7, r, . . . , multiple qui doit être au plus égal à m ; adjoignons-y encore le tableau — pfp\ — 2pqr, — Spqr, . . . . , pqr, (4) ''^'' — pqs, — "Ipqs, — Spqs , pqs, et ainsi de suite, en alternant les signes à chaque tableau, jusqu'à ce qu'on ait épuisé toutes les combinaisons une à une, deux à deux, ..., n à n des n lettres p, 7, ?% ..., u. Dans le tableau final (T) les nombres premiers à w ne figureront qu'une fois, dans (1), avec le signe + ; considérons maintenant un nombre A non premier avec 28 THÉORIE DES NOMBRES m, et non supérionr à m, qui ait avec m exactement k facteurs premiers distincts communs, savoir p, g, r^ . . ., t : A figurera une l'ois dans (1) avec le signe -h; il figurera dans les p lignes de (2), à savoir les lignes qui contiennent les multiples de p, de 7, . . . , ou de t; A figurera C| fois dans (3), à savoir dans les lignes qui con- tiennent les multiples du produit de deux des nombres /?, 9, ...,<; etc. . . En résumé, si dans le tableau final, on réduisait les termes semblables comme dans une addition, A figurerait avec le coeffi- cient 1 - Ci + CI - a + . . . = 0. Il suffit maintenant d'observer que les tableaux partiels (1), (2), (3), ... contiennent respectivement m, y)—' ^ ~ ' • • • fermes pour obtenir l'expression développée de o (m). 14. Cette démonstration nous a appris quoique chose do nou- veau, en nous montrant comment on peut constituer l'ensemble des nombres 1,2,.. , m qui ont un diviseur commun avec m ; nous allons l'appliquer immédiatement, ainsi que le théorème du para- graphe précédent, à l'équation binôme a;'" — 1 = 0, en conservant les mêmes notations pour le nombre m supposé dé- composé en ses facteurs premiers. En posant — Xh = e"\ on a k=:m X"' — l = JJ(a; — o-A-); A-=l et en observant que l'on a, par exemple, I' m Jl{x-Xkp) = x^—\, k — i la démonstration précédente montre clairement que Texpression IrU''^ — 1/llU/^ — 1 ^ •• 0,„{x) = (a-"' - 1 Tï( - ]n( X'"''' n j-iH l'HuPlUCTÉS GÉNÉRALES DES CONGRUENCES 29 ni '^ ] ^ "J. \x'' — 1/ ostloprodiiit dos facteurs x'' — i, a-' — 1, ..-, où ll\.r'"/ — 1/ l'sl 1(' piiiiluil lies faili'urs x'"' — 1 , x'"' — 1,..., etc., n'est autre chose que le produit des facteurs x — x/,- pour lesquels /» est premier à m. Si l'onpcjse maintenant F(m) = log(j;"' — 1), f{m) = log 0{x), on aura nt A-) = !;..■•, la sommation étant étendue à tous les diviseurs de d et li' symbole 1,1 ayant le sens déjà défini; on en conclut et par suite X'" — l = JJo,,(a?), chacun des facteurs Oj(.r) no contenant plus ([ue les facteurs premiers relatifs aux racines primitives de l'équation x'' — 1. On a par exemple 0,00 _ I ^ 0,,„ 0,„ 0,/J,^Ji,., 0,„ 0, fL 0, O3 6, 0. ; en posant 0,„ = x""' -+- x'' — a-'" — .x-« — .r« + X- 4- 1 , Ojn = X^ -]- x'' — X^ — 0.-'' — A'^ + X 4- 1, Ojo = x^ — x'' H- x^ — .X- -H 1, 0,.. = .r^ — x'' -\- x'"^ — x^ -i-x* — a; + 1 , 0,2 = .r* — .T^H- 1, 0,„ = a;* — x^ + X- — X + 1 , 0,. = x- — a.- + I , 0.. = .r^ + x^ + a,-- H- a- + 1 , 0, = x'^-hi, O3 = x- + a--t- 1, 0, = a?+ 1, 0. = a: - 1. CHAPITRE 11 DES CONGRUENCES DE MODULE PREMIER I. — Divisibilité suivant un module premier. 15. ÎSous allons aborder maintenant la théorie générale des con- gruences, en insistant tout particulièrement sur le cas du module premier. Nous avons vu en effet qu'on pouvait, en pratique, ramener tous les cas à celui-là ; ce n'est d'ailleurs pas une raison suffisante pour écarter complètement l'étude théorique du cas général, car, lorsqu'on résout un problème en le décomposant en d'autres pro- blèmes plus aisés à aborder, la vraie nature de la solution échappe souvent. Mais, on fait, dans ce qu'on peut appeler la théorie générale des congruences, par analogie avec ce qu'on nomme théorie générale des équations, l'étude des modules premiers est de beaucoup la plus intéressante, précisément parce que l'analogie avec la théorie des équations y est très grande. Un exemple fort simple le fera bien comprendre et en même temps fera pressentir les difficultés qu'on rencontrerait dans une étude du cas des modules composés. Considérons la congruence (x — l)(a; — 3) = 0 (mod. 7). D'après une remarque déjà faite, le produit {x — i){x — 3) ne peut être nul (mod. 7) que si l'un de ses facteurs est nM/(mod.7) i^nous disons, pour abréger le langage et surtout pour lo rendre plus expressif : nul (mod. 7), au lieu de : congru à zéro suivant le module 7 ou divisible par 7]. La congruence proposée a donc seulement deux racines, qui sont X ^ i (mod. 7), X ^3 (mod. 1\ Considérons maintenant la congruence (x — l)(a: — 3) = 0 ^mod. 12 . CO^'GRUE^CES DE MODULE PREMIER 31 On vérifie sans peine qu'elle admet les quatre racines X ^ l X ^ 3 (mod. 12j. X ^ 1 x = 9 De même, la congruence (ar— i)(ar— 4) = 0 (mod. 9) admet les trois racines X ^ l X ^ A (mod. 9). x = l On voit que, dans le cas du module premier, Tanalogie de la congruence considérée avec une équation du second degré ayanl ses deux racines réelles, est aussi parfaite que possible ; il en est tout autrement dans le cas du module composé. Aussi, allons-nous iwus occuper exclusivement des modules premiers. 16. L'exemple que nous venons de donner, et aussi l'analogie pressentie et cherchée avec la théorie des équations, conduisent à penser que la théorie générale des congruences a pour base une théorie de la divisibilité analogue à celle qui est faite en Algèbre pour les polynômes. C'est en effet d'une étude de la divisibilité, faite au point de vue spécial des congruences, que nous allons nous occuper tout d'abord ; c'est ce que nous appellerons la théorie de la divisibilité suivant un module premier. Si Ton voulait faire une théorie de la divisibilité des nombres entiers par rapport à un module premier p, elle serait tout de suite terminée : tout d'abord, si l'on traite les nombres congrus (mod. p) comme égaux, il n'y a plus qu'un nombre fini de nombres distincts, à savoir les nombres 0, 1, 2, ..., p — 1. Le théorème : un produit de deux facteurs ne peut être nul (mod. p), c'est-à-dire divisible par p, que si l'un des facteurs est nul (mod. p) subsiste, ainsi que ses conséquences ; mais tout nombre doit être regardé comme divisible (mod. p) par un nombre quelconque non nul (mod. p), puisque si a n'est pas nul (mod. p), la congruence ax ^ b (mod. p) 32 THEORIE DES NOMBRES admet une solution, en sorte qu"il n'y a rien de pareil aux nombres premiers. Les nombres distincts et différents de 0 fmod. p), c'est-à- dire les nombres 1, 2, .... p — 1 forment un groupe fini, c'est-à-dire que le produit de deux quelconques d'entre eux est congru à un de ces nombres (mod. p), et c'est à cette proposition jointe à ce fait qu'un produit de deux facteurs ne peut être nul que si l'un des facteurs est nul, que se rattache la démonstration du théorème de Fermât. Au contraire la théorie de la divisibilité des polynômes par rapport à un module premier p va nous fournir les analogues des théories du plus grand commun diviseur, des nombres premiers, etc. . . Rappelons que, sauf indication expresse du contraire, tous les polynômes considérés sont à coefficients entiers. Comme nous l'avons déjà expliqué, nous dirons qu'un polynôme f{x) est identi- quement nul (mod. p) lorsque tous ses coefficients sont divisibles par p; et qu'un polynôme f(x) admet la racine x ^ ol (mod. p) si /"(a) est nul (mod. /'), c'est-à-dire est divisible par p. La proposition fondamentale qu'un produit de deux nombres ne peut être nul (mod. p) que si un dos facteurs est nul s'étend sans peine aux polynômes : Le produit de deux polynômes f{x) et g{x) ne peut être identiquement nul (mod. p) que si un des facteurs est identi- quement nul (mod. p). En effet, si / et ^ ne sont pas identiquement nuls (mod. p), or- donnons-les par rapport aux puissances décroissantes de x et désignons par F et G les premiers coefficients qui ne soient pas nuls (mod. p) ; le terme du degré le plus élevé dans le produit, après suppression des termes à coeflicient nul (mod. p), aura un coeffi- cient congru à FG (mod. /)) et par suite non nul (mod. p\ Le pro- duit n'est donc pas identiquement nul (mod. p). Si nous convenons, comme il est naturel, de ne pas tenir compte, en évaluant le degré d'un polynôme, des termes dont les coeflicicnls S(jnl nuls I mud. p j, nous voyons que si l'on a f[x) g {x) ^ o {^) (mod. p). le degré de o{x) est égal à la somme des degrés de f et de g. Nous dirons que o{x) est divisible par f{x) (mod. p): g{x) est le quotient (mod. p) de o{x) par f{x). Comme dans la suite dr' ce chapitre il sera [Jr^squr-exclusivenuMit CONGRUENCKS DE MODULE PREMIER 33 question de polynômes nuls (mud. p) uu divisibles l'un [lar l'autre (mod. p), etc., nous sous-eutetidrons souvent Cindicalion « (mod. p) ». Les détails dans lesquels nous sommes entrés jusqu'ici rendront sans doute toute confusion impossible. Ainsi lorsque nous dirons simplement que f{x) est divisible par o(x), il faudra sous-entendre : (mod. p)\ lorsijue nous voudrons dire que f[x) est divisible par o(j). au sens ordinaire de raltièbrc, nous emploierons l'expression : « algébriquement divisible >•> . Cela posé, nous allons montrer tout d'abord que, étant donnés deux polynômes f{x) et o{x), et le degré de o étant inférieur au degré de /, on peut toujours déterminer des polynômes (^{x) et ]\.[x) tels que l'on ait f[x) = o{x)Q{x)-^^{x), le degré de R(a?) étant inférieur à celui de o[x). On suppose, bien entendu, que o[x) n'est pas identiquement nul. Il est clair que si le coeflicient du terme de degré le plus élevé dans cp(x) est égal à l'unité, il suffit d'effectuer la division a/^'é^riç-ue de f{x) par o[x) pour obtenir un résultat de cette forme. En effet, d'après la règle de la division, on n'aura jamais à écrire que des nombres entiers. Il est facile de ramener à ce cas particulier celui où le premier coefficient de o[x) a une valeur ([uelconque a [non nulle). Soit a' l'associé de a; a'o{x) sera congru à uu polynôme m{x) dans le- quel le premier coeflicient sera égal à l'unité. Divisons f{x) par m{x); nous aurons f{x) = w{x)S{x)-hT{x), d'où f{x) = o{x).a'?>{x)^T{x). On peut d'ailleurs procéder différemment ; il suffit de multiplier f{x) ou chaque dividende partiel par un nombre tel que la division soit possible sans introduire de fraction ; on obtient ainsi une égalité de la forme Af{x) = o{x).^{x)-^T{x), et si nous désignons par A' l'associé de A, nous aurons f{x) = o{x).^■?>{x)-{-^'^{x). Enfin, il est clair qu'on peut également effectuer la division algé- briquement, sans s'inquiéter des nombres fractionnaires, et dans le résultat final, considérer ces nombres fractionnaires comme des THEORIE DES NOMnOES. 34 THEORIE DES NOMBRES symboles et les remplacer par les nombres entiers équivalents, ainsi que nous l'avons expliqué dans la théorie des congruences du premier degré. Ce procédé serait surtout avantageux si l'on avait a effectuer une même division suivant plusieurs modules différents. Par exemple, on a algébriquemenl Donc en remarquant que Ion a 9/9 3 - = 0 (mod. 3), 2 ;mod. 3), 1=9 2 ~ on en conclut 4x3 _^ 1 = (2a? - i )f2.r-2 4- j: -4- 2) (mod. 3). De même, en tenant compte des congruences 3 ^ 5 (mod. 7), ^ 4 fmod. 7), on aurait 9 4x^-1- 1 ^ (2ar — 'l)(2.r^-h xH-4) -f-5 (mod. 17. Le théorème fondamental sur lequel repose, comme en algèbre, toute la théorie du plus grand commun diviseur est le sui- vant : Lorsqu'on a mis, comme il vient d'être expliqué^ f[x) sous la forme f{x) = o{x)Q{x) + R{x), les diviseurs cominuns à f et à o sont les mêmes que les diviseurs com- muns à o et k 11. La démonstration s'appuie de même qu'en algèbre sur des théo- rèmes élémentaires qu'on peut résumer ainsi : le polynôme o {x) divisant f[x) et g[x) divise aussi Af-^Bg, \ et B étant deux nom- bres ou polynômes quelconques. l\ semble inutile de s'attarder plus longiiemeni sur ces élémcnls; conlenlons-nous d'i''noncor les pro- positions essontii'Ues, en indi(iuanl soulenuMit les différences des démonslralions avec celles que l'on donne en algèbre. Il résulte clairement du théorème rondameulal que pour que f{X) soit divisible par Ç'(j), il faut et il sullit que B^x) soil identitjue- CONGRUKNCKS DK MODULK PREMIER 35 luriil mil ; car U x; (^sl tlo do'^vé iiilÏTii'iir à celui de o. [{}n aiiiail pu aussi déduire ce résultat do la théorie algébri([ue de la division). Un voit égalemeni qu'il existe ici un algorithme du plus grand commun diviseur, en tous points semblable à celui qui est connu en algèbre et en arithmétique élémentaire. Les diviseurs communs à deux polynômes sont aussi tous les diviseurs de leur plus grand commun diviseur. Knlin il résulte également de la suite même des opérations qu'on exécute ([ue si des polynômes f et g de degrés vi el « oui un [ilus grand commun diviseur D de degré [x, il existe des polynômes ^ et <7i, dont les degrés respectifs sont in/erieu)'s à m — ;jl et n — ^i et tels que Ton ait En particulier si D est une C(jnstante, c'est-à-dire si les polynômes sont premiers entre eux, il existe des polynômes ^ et g^ de degrés au plus égaux à m — 1 et n — \ et tels (jue l'un ait fgy-\-gf,= {, comme on le voit en multipliant les deux membres de la congruence précédente par l'associé de 1). Les propriétés du plus grand commun diviseur permettent de démontrer comme en arithméticiue ou en algèbre toutes les propo- sitions relatives à la divisibilité ; par exemple : on ne change pas le plus grand commun diviseur de deux polynômes, en multipliant l'un d'eux par u)i polynôme premier avec l'autre, et en particulier : si tin polynôme dioise un produit de deux facteurs et est premier avec l'un d'eux, il divise l'autre. Signalons encore ce théorème très important: si un polynôme est divisible par plusieurs autres premiers entre eux deux à deux, il est divisible par leur produit. Pour compléter l'analogie de cette théorie avec celle de la divisi- bilité des nombres entiers, il nous reste à introduire la notion qui correspond à celle de nombre premier, c'est-à-dire de nombre n'ad- mettant pas d'autres diviseurs que lui-même et l'unité. Nous appel- lerons polynôme irréductible'* un polynôme qui n'admet que des divi- seurs d'un degré égal au sien o)i de degré zéro, c'est-;i-(lir(> qui ne (') Il s'agit, bien entendu, de Virrcduclihililc suivant !e module p par rappurt auquel on considère les conjimenccs ; nous supprimons les mots (inod. p), comme on Ta expliqué au S K'- 36 THÉORIE DES NOMBRES peut pas être décomposé en un produitde deux facteurs polynômes. Il est sûr que les polynômes du pi'emier degré satisfont à cette défi- nition; mais il est facile de constater qu'ils ne sont pas les seuls. Considérons par exemple le polynôme x^ — 2 fmod. 7). Il est clair que, si ce polynôme n'est pas irréductible, il admet au moins un diviseur du premier degré. Or, si Ton avait x'^ — 2 ^[ax -h b){oLx^ -f- px H- 7), on pourrait poser, a n'étant certainement pas nul (mod. 7), Xq^ (mod. /), a et il en résulterait xl — 2 = 0 l'mod. 7). Or on voit aisément que xl — 2 ne peut pas être divisible par 7, quelque valeur entière que l'on donne à x^,. Il suflit pour s'en con- vaincre, de chercber, par la méthode de tâtonnements dont il a été déjà question, les racines de la congruence x^ — 2^0 (mod. 1). On constate qu'e//e /l'en a pas. Le polynôme donné est donc irré- ductible (mod. 7). II. — Polynômes irréductibles. 18. La propriété caractéristique des polynômes irréductibles est la même que celle des nombres premiers : Si f est un polynôme irréductible et F un iiohjnome quelconque, ou f divise F, ou f (\'GRUENCES Dp] MODIM-K PKKMIKR 39 sislo. si on ivni[ilaco les dt'iivi'.^s d'ordro k par leur (luulienl pur /.■/ fHx) il siillil, en effet, do remarquer que '—j-j- est par définition le coef- licienl de h'^ dans le développement de /" m- + h) suivant les puis- sances croissantes de h (*). Considérons donc un polynôme f{x) n'ayant que des facteurs simples du premier degré; il est clair que le produit de ces facteurs est le plus grand commun diviseur du polynôme proposé et du polynôme o(a-) — ^•(.x+l)(a-+2) ... (x + p— J). Si nous posons et par suite, «{.+l)=:r..+ fr'-+. . .+ Mp-1)...(/»-*+1)^„.._^ ^ P ^._^, 1 h . 1 + A,x''-'+. . .+A,-^^ '-— >xt'-'<+ +A.^-a:+A, [k—i]! 1 + A^_, a'+A;,_, , nous aurons, en écrivant l'identité xo[x+ i) = (.X- + p)o (ar), les relations 12 A3 .- , A, = A, + qi:- A. + 'i^m^ A, + "'^ - ',' 'r^', pA^^, — A^,_, + A^_, + . . . + Ao + A, + 1 , (*) Une petite difficulté se présente dans la mélliode des racines égales lorsque, les exposants de tous les termes d'un polynôme f{x) étant des multiples de p. I'{x) est identiquement nul (mod. jj). On voit facilement que dans ce cas. on doit supprimer les facteurs p introduits par la dérivation ; si tous les exposants 1 dans f(x) sont divisibles par /j^, on considérera — f'{x) au lieu de f'{x). 40 TIIEORII-: DKS NOMRRES qui pormollraient de calculer de proche en proche les coefficients A. Au lieu de faire ce calcul, nous remarquerons que l'expression p(p — iip — 'i) ... (p — /t 4- 1) F! ' qui, comme on le sait, est un nomhre entier, est divisible par p lorsque p est un nombre premier; en effet, k étant inférieur à ;», le facteur premier p entre une fois en facteur au numérateur et n'entre pas au dénominateur. Il résulte alors de nos équations A, = 0 A, = 0, (mod. p\ A^, = U, \ A;,_i ^ 1, et par suite o(.r) ^ .r'' — X (mod. p). Nous aurions pu facilement prévoir ce résultat; en effet, d'après lo théorème de Fermât, la congruence x>' — x=0 admet les p racines distinctes 0, 1 , 2 p — 1, ou 0, — 1, — 2, . • . , — p H- 1 ; on a donc .T'' — X = {x-{- p— ï)(x-h p — 2) . . . {x-h'2)(x-\- {)x. Ce calcul constitue d'ailleurs une nouvelle démonstration du théo- rème de Fermât, ayant pour base la formule du binôme et la re- marque faite sur ses coefficients. Il existe une démonstration plus simple fondée sur le même principe ; on a {a ^ b)P = a^" -h bf (mod. p), d'où {a -h b)J' — {a -h b) = a^ — a -\- />!■ — h (mod. p). Le théorème de Fermât est donc vrai pour la somme de deux nom- bres, lorsqu'il est vrai pour ces deux nombres ; comme il est vrai pour l'unité, il est toujours vrai. La formule identique (x-h 1) ... (ar-i-p — 1) = J'^' — 1 ^mod. pi conduit également àplusieurs autres conséquences intéressanlo? ; en CONGRUENCES DE MODULE PREMIER -41 rgalaiil los; termes coiistanls dans les dmix niemI)ros on dliticnt 1.2 ..(p — 1)ee — 1 (mod. /J), c'est-à-dire le théorème do Wilson. Eu égalant les coellicients des diverses puissances de x on voit ({uo les autres fonctions symé- triques élémentaires (sommes des produits h h h ; h ) une congruence dont nous supposons le premier membre irréductible (mod. /))• Nous supposons donc qu'il n'existe aucune identité de la forme l\x) = P{x) Q{x) -+- pR{x) où les polynômes P, Q, R sont à coefficients entiers. Il n'existe aucun entier qui, mis à la place de x, vérilio la con- gruence. Galois a été conduit par là h introduii'o dans lo calcul do nouveaux symboles, suivant les mémos règles de calcul que les en- tiers ordinaires, et vérifiant chacun une congruence de cette nature. Nous développerons dans une Note la conception de Galois d'une manière précise et systématique ; pour le moment, nous observons que le calcul d'un symbole i pour lequel on a, par définition, f{i) = 0 (m..d.;)) est au fond identique avec celui d'un entier indélenninc i, si l'un convient de négliger les multiples de f{i) : en d'autres termes, c'est l'étude dos polynômes entiers en x et i à coefficients entiers, en négligeant à la fois les multiples de p et de f{i). On est amené ainsi à un point de vue auquel Kroneckor s'est constamment placé, en lui donnani d'ailleurs une grande extension; voici comment, de ce point de vue, se présente la théorie des imafjinaires de Galois. Etant donnés un nombre entier p et un polynôme /"(s), on dira que doux polynômes o{z), '\>{z) sont congrus suivant le si/stème de viodules p, /' {z), et l'on écrira {i) si le polynôme F[ç>(t)] est nu/ [modd. p, f{i)] ; dans ce sens il est clair que la congruence f{x) = 0 [modd. p, fil)] admet la solution x — i. La congruence fix) ^ 0 est dite fon- damentale. D'après les hypothèses faites sur le symbole î, nous pourrons à l'aide de l'équation f{i) = 0 (mod. p) 44 THÉORIE DES NOMBRES rfimenor toute imaginaire de Galois à la forme g ^ af^-{- n^i-\- a.J^ -\- . . . -h o„_ii"~^ (mod. p), en désignant par w le degrû de f{i) et par o^, Ui^ ...,a„_i des nombres entiers que nous pouvons supposer compris entre 0 et p — 1. 11 n'y a donc qu'un nombre limité d'imaginaires distinctes, à savoir, par exemple, les imaginaires qui se déduisent de l'expression «0 -!-a,i-+- . . +a;,^_iî"-* en donnant à Oq, a^, . . ., a„_i les valeurs 0, 1, 2, . . ., /? — 1, ce qui iouinit p'* imaginaires distinctes [modd. p, f{i)], dont une seule est nulle [modd. p, f{i)]. La propriété que possède un polynôme irréductible, de ne pouvoir diviser un produit de facteurs sans diviser au moins l'un des facteurs devient, avec les conventions de langage que nous avons faites : un produit de facteurs réels ou imaginaires ne peut être nul que si l'un des fadeurs est nul. [Nul signifiant congru à zéro sui- vant le double module p, f{i)]. Il en résulte que si A et B sont doux imaginaires distinctes, dont la première n'est pas nulle [modd. p, /"(i)], et si dans Aa^ + B, on substitue, à la place de x, ;/' imaginaires distinctes, on aura p" imaginaires distinctes ; il y a donc une imaginaire et une seule qui satisfait à la congruence Ax + B=0 [modd. p, /"(î)], c'est-à-dire que, suivant le système de modules p, f{i), une imagi- naire quelconque est divisible par une imaginaire quelconque non nulle. L'ensemble des imaginaires distinctes et non nulles constitue un groupe limité, en ce sons que le produit de deux éléments du groupe est un élément du groupe. En particulier si dans l'expression Ao^, où A n'est pas nul, on met à la place do x tous les éléments de ce groupe, on retrouve tous les éléments du groupe ; et on obtient, comme dans la théorie des nombres entiers, le théorème qu'exprime la congruence Aî'"-i — 1=0 [modd. p, f{i)]; il en résulte que l'on a, quelle que soi( l'imaginaire de Galois A, A^'" — A :^ 0 [modd. p, f[x)], CONGRUENCES DE MODULE PREMIER .'lo ce qui revient à iliri> (luc, ([Ui'l ([w suil le polynôme 0(x), le puly- nome Oi'"(a:) — 0(.r) est divisible (niod. p) par f{x) pourvu que le pulyuome de degré n f{x) soit irréductible (mod.p). A chaque imaginaire A correspond aussi une imaginaire asso- ciée A' telle que l'on ait AA' = 1 [modd. p, /(i)], et cette remarque conduit aisément à une généralisation du théo- rème de Wilson. 21. Ceci posé, conservons toujours le même sens à p et à f{i). Si o (a?) est un polynôme entier en x et i , on dira que Tirnaginaire 6(î) est une racine de la congruence ?(a?)=0 [modd. pj{i)], si en remplaçant dans ta (x), x- par 6(i), la congruence est vérifiée. Un polynôme o{x) est identiquement nul [modd. p, f[i)\ si tous ses coefficients sont nuls [modd. jo, f{i)] ; deux, polynômes entiers en X et i sont congrus [niûdd, jo, f{ï)\ si leur différence est iden- tiquement nulle [modd. p, f{i)]. Le produit de deux polynômes, [x) , entier en x et i, s'il existe un polynôme '/ [x) entier en x et i tel que l'on ait cp(.T) = '\{x) X [x] [modd. p, f{i)]. Cela est impossible quand o[x) est de degré inférieur à '^{x), à moins que o[x) ne soit identiquement nul [modd. p, f{i)]. Si o {x) est de degré supérieur à '\'{x), on peut mettre -^{x) sous la forme 46 THÉORIE DES NOMBRES o (.r) = ■> (x) Q (a?) 4- R(ar) [(mod(I.;>, /-(^j^ Q f.x) ot R(.r) étant, comme of.r) et 'lix), des polynômes entiers en X et i et R(.a?) étant de degré inférieur à 'H-^^)- On a maintenant tous les éléments pour faire une théorie de la di- visibilité (les polynômes entiers en x et /, suivant le système de mo- dules p, f{i), toute pareille à celle que Ton a indiquée, pour les poly- nômes entiers en x, par rapport au mtjdule p. On aura le même algorithme pour lo plus grand commun diviseur [modd. p, f{i)]^\es mêmes conséquences, la notion do polynôme en x, i irréductible [modd. p, /"(i)], la décomposition unique en facteurs irréductibles [modd. p, f{ï)] et les mêmes conséquences relatives à la divisibi- lité. Mais outre qu'une confusion serait à craindre, par une attri- bution de deux sens au mot irréductible, Tétude complète et appro- fondie de la divisibilité des polynômes à coefficients imaginaires nous (entraînerait tro[) loin. Aussi allons-nous considérer seulement les fadeurs imaginaires du premier degré, de la forme x — ■ g cl con- server au mol irréductible son sens primitif. On démontre aisément, comme lors({u'il s'agit des facteurs réels , que si une congruence admet les racines distinctes gi, gi, . ■ ■■> g^, son premier membre est divisiblo par le produit [x — gi){x — gi) ... {x — gg) et on en conclut qu'une congruence ne peut pas avoir plus de racines qu'il n'y a d'unités dans son degré. Le nombre des racines ainsi définies est égal au nombre des facteurs du premier degré. Tout cela se conclut très facilement du fait que le produit de deux imaginaires ne peut être nul que si un des facteurs est nul. Il convient de faire ici une remarque importante : les racines communes à deux polynômes (ù coefficients réels) appartiennent îi l(!ur [)lus grand conmiun diviseur (nuxl. p); en cflet, si D désigne le plus grand connnun diviseur de F et Ci, on prut trouver des poly- nômes fi (!t gi tels que F^i -+- Ci/', z^ D (modd. p^\ on a donc a fortiori F.7, -t-G/i ~ n [modd. p, f[ij\, ce (jui démontre la proposition énoncée. En particulier, si V[x) dé- signe un i)olyiiome irréductible et si la congruence 'I» [x] ^ 0 ^niodd. p, f[i CONGRUKNCKS 1)K MoDll.K l'KKMlKU 47 .idiufi mil' lucino (imaginairoj do la congrueiice F(j) = 0 [mn.1,1. /y, /•(/)], * (x) est divisible par F (x) suivant le module p. En particulier deux polynômes irréductibles ne peuvent pas avoir de racine commune et un polynôme irréductible ne peut pas avoir de racine multiple, puis(iu'il est premier avec sa dérivée. 22. Piiur (•bleuir sans làtonnemenls les facteurs du premier degré d'une congruence donnée, ou du moins leur produil, il sullira dn cliercher le plus grand commun diviseur du premier membre de la congruence proposée avec le produit de tous les facteurs distincts du premier degré. Ce produit nous est fourni par la généralisation du Ibéori'me de Fermât ; nous avons vu, en olfel, que la congruence x^'" — X znO [modd. p, f{i)] avait pour racines les p" valeurs distinctes de l'imaginaire y; 't' produit des p" facteurs tels que x — ^ est donc congru à x''" — x. En particulier si la congruence proposée est irréductible, pour qu'elle admette une racin(\ il faut qu'elle ait une racine commune avec x^'" — x, il f;iuL tlonc que son premier membre divise x^" — X. D'ailleurs il est clair que tout diviseur de x''" — x a autant de racines qu'il y a" d'unités dans son degré. Donc, au point de vue où nous nous plaçons, une congruence irréductible ou n'a pas de racines, ou a autant de racines qu il y a d'unités dans so7i deijré ; ce dernier cas se présente lorsque le premier membre de la con- gruence proposée est un diviseur de x''" — x. En particulier, la congruence f{x) = Q [modd. r, AO] admet la racine X ^ i\ donc elle admet n racines et f{x) divise x^'" — x. Or f[x) est un polynôme quelconque irréductible de degré n. Donc tout polynôme irréductible de degré n divise x''" — x et par suite admet n ra- cines imaginaires. Il est clair que si r est un diviseur de n, tout polynomo irréductible do degré r divise x>''' — x el ])ar suite X'' — x (car x''" '1 esl alors divisibbî algébriquement par x'''^^ — \, puisque /y" — 1 est divisible par p'' — 1). \)iM\c toute congruence irréductible dont le degré est égala n ou à wi diviseur de n a autant de racines quil y a d'unités dans son degré. 48 THEORIE DES NOMBRES Nous allons montrer maintenant qu'une congruence de degré jn n'a pas de racines, lorsque m n'est pas un diviseur de n. 11 suffit de montrer que a:''" — x ne peut pas être divisible par un polynôme irréductible dont le degré n'est pas un diviseur de n. Pour cela une remarque préliminaire est nécessaire. Nous avons vu que l'on a identiquement (a -+- by = a^' ■+- bi' (mod. p). Il en résulte ridenlilé {a-\-bx 4- cx^-\- ... H- hx")''^Eiai' -+- b^'x'' + c'' x^i'-]- ...-h h^'x"^ (mod. /'); or on a ai' ^ a (mod. p), b^' ^ b (mod. /î), h^' ^ h (mod. p), d'après le théorème de Fermât. Donc on a [a-\-bx-\-cx^ -\- ... -\-hx")'' ^ n-hb x''-{-c x~''-h ... -\~hx">\m.od. // , c'est-à-dire que, o{x) désignant un polynôme quelconque, on a [o{x)Y = o{xJ') (mod. p). En remplaçant x par x>', on a o{xi'') = [.{x^y = [[o{x)Y]" ^ [o{xy/ (mod. p), et généralement [o{x)y = o{xi''') (mod. p). Nous pouvons maintenant démontrer qu'un polynôme irréductible f{x) de degré m ne peut pas diviser x''' — x si r est inférieur à in. Il s'agit on ofTet de prouver qu'on ne peut pas avoir i'''" ^ i [modd. p, f{i)]. Or si cette égalité avait lieu, en désignant p«/- o[i) une imaginaire quelconque on aurait cp(<>'') = o(i) [modd. p, f{i)]. Or nous venons de voir (jne o(^V'") = [o{i)Y (mod. ;iv on aurait donc [o{i)Y=o{i) [modd. p f{iy, c'est-à-diie ([uc la congruence X''' ^E 07 [moild. />, /"i^jn CONURUENCES I>K MdDri.K l'l{i;.MIi:i! 49 aurai I pour racines foules 1rs iininjlnaircs c'est-à-dire p'" lacines, ce qui est impossible puisquCUi' est do. degré p''. Il est facile de voir que, plus généralement, f(x) ne peut diviser x''" — X que si n est un multiple de 7n ; sinon posons »? =7nq~{-r, r étant inférieur à m ; l'expression x^' — X est divisible par f{x) , suivant une remarque déjà faite ; si j.p'"'!-^'' — rj, l'était aussi, il en serait de mémo de leur dilTércnce Or on a „»i(/-)-r .ttin / (• \,,»>îî' ••• = 0 - (mod. n), n étant un nombre quelconque et p un nombre premier. Lejeune Dirichlet a démontré que a et n étant premiers entre eux, il y a une infinité de nombres premiers p vérifiant la congruence a^p (mod. n). Si on admet cette proposition de Lejeune Dirichlet, il en résulte que, a étant un nombre quelconque premier avec n, on a n n n a'' — la'i+^a'i'i' — la^i''J"-\ =0 (mod. n). Si on suppose que n est un nombre premier, cette congruence exprime le théorème de Fermât ; on peut donc la regarder, dans le cas d'un module quelconque, comme une généralisation de ce théo- rème. Cette généralisation coïncide avec la proposition connue sous le nom de théorème de Fermât généralisé, dans le cas seulement où n est une puissance d'un nombre premier. (') En se servant do la fonnulo //'" = p^"'^'' = ^ ^^^}^^ ^-ti^^tl ^ _ . . on trouve (iiroUe est éyale à CHAPITRE III DES CONGRUENCES BINOMES I. — Racines primitives et indices. 24. Revenant maintenant à un sujet beaucoup })lus élémentaire, nous allons étudier une classe intéressante de congrucuces : les congruences binômes. Nous pourrions, comme nous l'avons déjà montré sur un (>xemplc dans le chapitre précédent (§ 19) appliquer, sans les modilicr, les méthodes générales à ces congruences par- ticulières ; mais il est préférable d'étudier la question directement. Soit a un nombre entier non divisible par le nombre premier p ; considérons la série des puissances de a : (A) a° = 1, rt, n^^ a^,... et prenons leurs résidus minima par rapp(jrtà;?. Le nombre des résidus minima étant limité et la suite (A) indéfinie, il y a nécessai- rement dans cette suite des termes ayant même résidu minimum, c'est-à-dire congrus entre eux. Soit a*" le premier des termes de la suite qui soit congru à l'un des précédents a^. Je dis que Ton a nécessairement a =r:0; sinon de la congruence a'' ^ a^ (mod. p), on déduirait, en divisant par «, qui n'est pas nul (mod. jo), c'est-à-dire que a'" ne serait pas le premier des termes congrus à l'un des précédents. On a donc a''^a''^i (mod./)) et r est le plus petit nombre pour lequel cette congruence ail lieu. On exprime ce fait en disant que le nombre a appartient à l'exposant r (relativement au nombre premier p). Il est clair que l'on a gêné- 32 THEORIE DES NOMBRES ralcnient a"' ^ 1 (mod. ji). Réciproquement, puur que l'on ait a'" ^ 1 (mod. j)), il faut que m soit un multiple de r; en effet, si l'on avait m — nv-\-q, q étant inférieur à r, on en conclurait a'i ^ 1 (mod. p), ce qui est impossible. Il en résulte que la suite des résidus minima des puissances suc- cessives de a est périodique; les restes se reproduisent de r en r. Dans ce qui précède, nous n'avons pas admis le théorème de Fermât; cela n'aurait guère simplifié d'ailleurs. Mais ce théorème nous montrerait immédiatement, d'après une remarque qui vient d'être faite, que p — 1 est un multiple de r, ou mieux que : l'ex- posant r auquel appartient un nombre quelconque a est un diviseur de p — 1. Mais nous préférons démontrer directement cette proposition importante parce que le mode de raisonnement que nous allons employer est d'un usage assez fréquent et qu'il est intéressant de le connaître. Nous pourrons ensuite en déduire comme corollaire le théorème de Fermât. Nous avons dit que les r nombres (I) 1, a, a\ . . , a'--' sont incongrus (mod. p)\ comme aucun d'eux n'est congru à zéro, leur nombre est au i)lus égal à p — 1. Il peut donc se faire que l'on ait p — 1 ^ r. Supposons, au contraire, p - 1 > r, et désignons par a un nombre quelconque incongru à zéro et à tous les nombres de la suite (I). Considérons les r nombres (II) a', n'a, «'«-, ..., a'a''~^. Ils sont incongrus entre eux ; car si on avait a'a^ ^ a'a'^ (mod. p), on en conclurail a^ iTE a^ (mod. p\ oc qui est contraire à l'hypothèse. i)i> ^dus un nombre ipielconque de la suite (II) est incongru à un nombre (juelconque de la suite yl). GONGRUENCES BINOMES 53 car si on avait aV ^ a^ imod. p), on en déduirait a' = 0»-+-'-% ce qui est également contraire à l'hypothèse. Les 27* nomhres formant les suites (I) et (II) étant incongrus, 2r ne peut surpasser p — l; il peut se faire que Ton ail p-l -2r; si nous supposons /) — 1 > 2r, nous pourrons choisir un nombre a" différent (mod. p) de zéro et des 2r nombres des suites (I) et (II) et nous formerons la suite (III) n\ a"a, a"a\ ..., rtV^'. Nous démontrerons facilement que les nombres de cette suite sont incongrus entre eux et incongrus aussi à tous les nombres des suites (I) et (II); il en résulte que l'on a, ou bien p - 1 = 3/-, ou bien p — 1 > 3r. On voit qu'en continuant ce raisonnement on arrive nécessairement à la conclusion que p — \ est un multiple de r ; il en résulte a''-' ^ 1 (mod. p), c'est-à-dire précisément le théorème de Fermât. 25. On peut se demander si, étant donné un diviseur arbitraire de p — 1 il y a des nombres qui lui appartiennent et combien parmi eux sont incongrus; si nous désignons par •l{d) le nombre des entiers incongrus qui appartiennent au diviseur ûf de p — 1, il est clair que l'on a ^^^{d) = p-i puisque chacun des p — 1 nombres 1, 2, 3, ..., p-\ appartient à un diviseur d àe p — 1 et à un seul. D'après une remarque que nous avons faite (§ 13) on est amené à en conclure l'égalité ^(rf) = o(rf), en désignant par o[d) le nombre des entiers premiers avec d et non 54 THEORIE DES NOMBRES supérieurs à d. La conclusion, quoique vraie, n'est pas rigoureuse, parce que l'égalité '^'\{d) = m, où la sommation est étendue à tous les diviseurs de m, n'est pas démontrée quel que soit m ; en étudiant de plus près la démonstration du § 11, on peut rendre la conclusion rigoureuse ; mais nous préférons reproduire le raisonne- ment remarquable par lequel Gauss a établi cette importante propo- sition. Supposons qu'il y ait un nombre a (jui appartienne à l'exposant d\ cherchons s'il y a d'autres nombres appartenant à l'exposant d\ s'il en existe effectivement, ils seront racines de la congruence a.-'' -1^0 (mod. p). Or cette congruence a visiblement pour racines les nombres 1, «, a^, . . . , a''~* et comme ces nombres sont incongrus, ce sont là toutes ses racines {x'' — 1 divisant a'^* — 1, on savait a p7'/or« que cette congruence avait d racines incongrues). Cherchons à quel exposant appartient une racine quelconque a^ ; soit r le plus petit nombre tel que Ton ait (a^')'' = a'"' ^ 1 (mod. p) ; a appartenant à l'exposant d ; ar doit être divisible par d ; si o est le plus grand commun diviseur entre a et d, la plus petite valeur d de r telle que ar soit divisible par d est manifestement ^ ' la ra- cine a"" appartient donc à l'exposant — • Pour que a^" appartienne à l'exposant o?, il faut et il suffît que S = 1, c'est-à-dire que a soit premier avec d ; donc s'il existe un nombre a appartenant à l'exposant rf, il y en a o{d), cp(rf) ayant la signification rappelée plus haut. En désignant par '\>{d) le nombre des racines appartenant à un exposant quelconque d, on a, par suite, ou bien <^{d) = U, ou bien ^[d) = o{d). Mais IXrf) ^ p — i = io{d). On a donc toujours jf — 1 il y a précisément o(r) nombres qui appartiennent à l'exposant r. En particulier, il y a cp(p"— 1) nombres qui appartiennent à l'exposant />" — 1 ; on peut les appe- ler racines 'primitives pour le module p et la fonction irréductible m- Cette notion va nous permettre d'approfondir un peu plus que nous ne l'avions fait l'étude dos racines imaginaires des congruences irréductibles et aussi d'étudier les rapports entre les imaginaires de Galois qui correspondent à des congruences fondamenta/es différentes. Soit j une imaginaire de Galois : j ^ a„ -h a,i-i- . . -t- a„_, i"^i 'modd. p, f(iy; nous savons que j est racine d'une certaine congruence irréduc- tible : 9{x) = () [modd. p, f{i)] dont le degré est égal à n ou à un diviseur de n. Il est facile de déterminer ce degré connaissant l'exposant a auquel appartient j. En effet, nous savons que a divise p" — 1 ; si nous désignons par r le plus petit nombre tel que p' — 1 soit divisible par a, nous aurons J>'' =j [modd. p, /"(i)], et r sera le plus petit nombre tel que cette congruence ait lieu. Il en résulte que g{x) est de degré r. (On voit que r est un diviseur de n; il serait facile de le montrer directement.) On convient de dire, l()rs(iuo r esl le plus polit nombro 1(^1 (\uo p' — i soit divisi- ble par ot, que a est un divismu" propre de p' — •. Les racines d'une congruence irrôducliblo quelconque g{x) de degré r appar- D")Nr.HfKNCF:s lUNOMKS 59 tiennent donc à un mrmo exposant a, diviseur propre de p' — 1 et x^ — l est divisible par g{x) (niod. p]\ on peut dire ([ue la cougntetice irréductible g(x) appartient à lexposant i. Le nombre des imaginaires qui appartiennent à Tf^xpitsanl a est ç>(a); comme chaque congruence de degré r a r raciiu^s, il v a - — - con- r gruences qui appartiennent à l'exposant a '*). of »" _ \ ) En particulior il y a — congruencos irréductibles de degré n qui appartiennent à lexposant p" — 1 ; elles ont pnur racines les o [p" — I ) racines primitives (**). Si l'on choisit comme congruence fondamentale une de ces congruences que l'on peut appe- ler primitives, i sera une racine primitive et par suite les p" — 1 premières puissances de i constitueront un système complet de nombres incongrus entre eux et à zéro. Il est facile de trouver l'expression de toutes les racines d'une congruence irréductible quelconque en fonction de l'une d'entre elles. Remarquons d'abord que si une imaginaire j» appartient à l'e.x- posant À, diviseur propre do p'' — 1, les r quantités sont distinctes. En effet, si on avait r^=j'' [modd. p, /(e)] et a < ?<,7, on en conclurait, en élevant les deux membres à la puissance p''^^, y/=y/+°- [modd. p,/(i)], ou, à cause de f''=j [modd. p, f{i)l la congruence dans lafiuello on aurait 0') = [FO')]''' [moài\.pJ(i)l il en résulte que si la congruence F(a?) = 0 [modd.p, /"(i)] admet la racine y, elle admet aussi pour racine j'"'' quel que soit ).. Mais nous venons de voir que si F (a;) est de degré r, parmi toutes les quantités j-'''^ il y en a précisément r de distinctes ; ce sont donc toutes les racines do la congruence proposée. 28. Ces préliminaires établis, considérons une congruence irré- ductible de degré n, g{x) = 0 [modd. p, f[i)] (nous supposons toujours que n désigne le degré de fH)). Soit 7 = o(j) = «Q 4- Oii H- ... -i- a„^r4"~' une racine de la congruence proposée ; les n — 1 autres racines sont •il -1,2 •„"— 1 Or on a i''^ = [o(e)r = o(iO [modd. p, /-(OJ. Les n racines de la congruence f{x) = 0 [modd. p, f[i)] sont, d'après ce qui précède, • ^ • n — 1 c, t 5 t , . . . , e. , si on les désigne par i,, io, ..., in et si on désigne également par ju J2, "■ijn les racines de g{x), on voit que Ton a générale- ment (*> On en conclut que si l'on désigne par G{ij) = 0 la transformée algébrique de Véqi\a.lion f{x)=0 par la transformation t/=ç(x), on a G{y) = ^9{y) ^mod. p), A désignant une constante. En d'autres termes, on passe do la con- (*) Il aurait, été très facile do voir directement que toutes les tpiaiitités o(/a) sont rariiios de (i[.r), mais l'analyse luécéileiito est nécessaire pour montrer que ces quantités sont distinctes. CONGRUENCKS BINOMES 61 grucnco foiKlaïui'ulalL' à une autre congruence irréductible de même degré par unr transformation algébrique, et cette translonnation donne précisément l'expression des racines de la seconde congrucnce en fonction de celles de la pnmiière. 11 est clair ([uiui polynôme irréductible (mod. p) est aussi irré- ductible algébriquement (c'est-à-dire ne peut être décomposé en facteurs rationnels). La transformation y = ?W transformant le polynôme irréductible f{x) dans le polynôme irré- dxiclihlc G (y), on sait (\\\"\\ existe une transformation inverse : a? = 4-(î/) qui transforme G(j/) en f{x) et on sait déterminer algébriquement cette transformation. On conclut de ce qui précède que la con- grucnce f{x) = {) [modd. p, i/C/)], où uous désignom par j l'imaginaire de Galois fondamentale, admet la racine Il est maintenant facile de voir ce qui arrive lorsqu'on remplace f{x) par g(x) comme congruence fondamentale. Nous désignerons par _/ l'imaginaire de (îalois qui est relative à g{x) et nous allons voir que le résultat est fort simple. On doit opérer comme on serait naturel- lement amené à le faire, si on admettait a priori, que les racines ima- ginaires des congruences irréductibles ont une existenc'; effective, c'est- à-dire indépendante du choix de la congruence fondamentale. D'une manière plus précise, si la congruence ¥{x) = 0 [modd. p, f{i)] admet la racine /t(i), la congruence F(a^) = 0 [modd. p, g{j)] admet la racine lt['\'{j)]. En effet, F[h{i)] est divisible par f{i) sui- vant le module p ; donc F[h{'\'j)] est divisible par /'(4'i)- Mais d'après la théorie do la transformation, nous savons que f{'\'y) est divisible algébriquement par G(î/); donc f{'\'j) est divisible par g{j) suivant le module p et par suite F[h{'lj)] l'est aussi, c'est-à-dire que h{'\'j) est racine de F (a?) ^ 0 [modd. p, g{j)]. 62 THÉOKIK DES NOMBRES Nous sommes maintenant assurés que l'existence de relations entre les racines de plusieurs congruences irréductibles est indépen- dante du choix de la congruence fondamentale. Ce choix n'a donc pas l'importance excessive qu'on aurait pu lui attribuer tout d'abord ; c'est simplement un moyen pour étudier certaines relations. On a remarqué, dans le chapitre précédent, qu'il est impossible d'exprimer les racines d'une congruence irréductible, de degré r, au moyen de l'imaginaire définie par une congruence fondamentale de degré n, lorsque n n'est pas un multiple de r. Il en résulte que la relation entre les imaginaires de Galois correspondant à deux con- gruences fondamentales de degrés différents n'est simple que si le degré de l'une est un multiple du degré de l'autre. On peut, lorsqu'on a des congruences de degrés différents quel- conques, considérer une congruence irréductible dont le degré est le plus petit multiple commun des degrés des congruences proposées. Mais nous ne voulons pas trop nous étendre sur ce sujet. Bornons- nous à énoncer le résultat suivant, relatif au cas où le degré n de la congruence fondamentale primitive f{i) est un multiple du degré r de la congruence fondamentale nouvelle g[i). Si alors j = o{i) [modd. p, f{i)] est une racine de la congruence 9{x) = 0 [modd. p, /(i)l, la transformée algébrique de l'équation f{x) = 0 par la transfor- mation y = o[x) étant G(y) = 0, on a G{y) = [9{yÏÏ (mod.p), en posant n = i-p. 11 résulte de là que si l'on effectue sur une équation f{x) = 0 dont le premier membre est irréductible (mod. p) une transforma- tion rationnelle quelconque : y = ?(^), le résultat est irréductible (mod. p) ou congru à une puissance d'un polynôme irréductible. On verrait facilement que l'on passerait du cas où la congruence irréductible est g[j) au cas où elle est /'[i] par une simple transfor- mation entière [j = ^(i)], mais la réciproque n'est évidemment pas vraie. CUNGUUENCES BINOMES 63 III. — Applications. Modules composés. 29. .Niius allons mainlonaiil considérer exclusivemcnl les nombres réels, sans indiquer l'extension aux imaginaires de Galoisdes appli- cations que nous allons faire. Les considérations que nous avons développées constituent une étude de la congruence X" ^ 1 (mod. p). Nous savons en ellet résoudre cette congruence ; si o désigne le plus grand commun diviseur de ?i et de p — 1 el g une racine primitive pour le nombre premier /?, ses racines sont visiblement V'-l ;■-! /.-l 1/-1 21 3i ("--•) 9 ' ^ 9 '' , 9 " , , 9 " ; el leur nombre est o. Proposons-nous de résoudre la congruence binôme plus générale (*) X" ^ D (mod. p). D'après les propriétés des indices, nous devons avoir n ind. x ^ ind. D (mod. /; — 1). C'est une congruence du premier degré en ind. x. Si n est premier avec p — 1, cette congruence admettra une solu- tion et une seule et il en sera de même de la congruence proposée. Si n n'est pas premier avec p — 1, désignons par o leur plus grand commun diviseur. La congruence est impossible si o ne divise pas ind. D; si o divise ind. D, elle admet ô solutions incongrues; il en est de même de la congruence proposée. Donc la cond/dion néces- saire el suffisante pour que la congruence a;" ^ D (mod. p) soit possible est que ind. D soit divisible par le plus grand commun diviseur o de n et de p — 1 ; la congruence admet alors o solutions. Il est manifeste que le résultat doit être indépendant do la racine primitive choisie comme base des indices. Il est donc naturel de (*) La congruence ax" ^ h (mod. p) se ramène à celle que nous considérons dans le texte en posant D ^ — (mod. p) a 64 THEORIE DES NOMBRES chercher à mettre la condition de possibilité sous une forme où n'apparaisse plus cette racine primitive. Posons iiid. D:^ d et désignons par g la base des indices ; nous aurons ^'' ^i D mod. p). «—1 Élevons les doux membres à la puissance entière — ^- ; il vient g '^ = D '- . Si 0 divise d, — ^— ;; • sera divisible par p — 1 et le premier 0 membre sera congru à 1 ; il est donc nécessaire que l'on ait I) '- — 1 (mod. p). Cette condition est dailleurs suflisautc, car si elle est vérifiée, on a '-^r- ind. D = 0 (mod. p — 1), c'est-à-dire que ind. D est divisible par 8. Donc la condition nécessaire et suffisante pour que la congrnence x" ^ D ( mod. p) soit possible, est que l'on ait Lzl D '' ^ 1 (mod. p). Reprenons la question dans le cas où n divise p — 1. Soit ;; — 1 = nq. Il est clair que le procédé le plus élémentaire pour résoudre la congruence a^" ^ D (mod. p) consiste à l'ormer successivement les ?('«'"'es puissances de p — 1 nombres incongrus entre eux et à zéro, de prendre les résidus minima de ces puissances et d'examiner si l'un de ces résidus est égal à D (nous supposons D compris entre 0 et p). C'est ce pro- cédé élémentaire qui va nous permeltro l'élude de la ciueslion en ayant soin de prendre pour les p — 1 nombres incongrus dont nous venons de parler, les p — l premières puissances d'une même racine primitive : g, (/-, . ., g'-^, g>-'; CONGRUKNCES BINOMES 65 leurs ;<•>">« puissances sont t'I nous pouvons visiblement les écrire de la manière suivante : 9" O'" 9''" g'^'i-^i)" 9''^'-" g-''" fj-ln-i)q-h[n ((„_i),_|_2„ (,'"1". Si nous remarquons ({ue l'un a l'on voit que les nombres inscrits dans une même colonne ont un même résidu minimum ; il y a donc seulement fj résidus mininia dif- férents, ce sont les résidus des puissances (dont la dernière est congrue à lunité puisque qn est égal à p — 1); ces résidus sont d'ailleurs tous différents et l'on aperçoit immédiatement que ce sont les 7 racines de la congruence X'' ^ 1 (mod. p). Donc, pour que D se trouve parmi ces nombres, il faut que l'on ait D' = D " = 1 (mod. p)\ c'est la condition déjà trouvée. 30. Mais le tableau que nous venons de faire nous permet dapprofondir davantage cette question et de partager en classes les nombres D pour lesquels la congruence x" ^ D (mod. p) n'est pas possible. N'ous avons posé p — 1 = nq ; il est clair qu'en appliquant au nombre q ce que nous venons de dire pour le nombre ?i, c'est-à-dire en élevant à la q'-'"" puissance tous les nombres incongrus entre eux et à zéro suivant le module p (c'est-à- dire les nombres g, g-^ .., g^^), nous obtiendrons seulement 71 résultats incongrus THÉORIE DES ^OMDnES ^ 66 THÉORIE DES NOMBRES OU, en posant g'> ^ f : Donc, f est une racine primitive de la congruence a^ ^ l (mod. p). Cela posé, les p — 1 nombres considérés se partagent naturelle- ment en n classes, la A'^'"' classe comprenant les nombres D pour lesquels on a \yi = f" (mod. p). En particulier, les nombres de la ?i'^""^ classe sont ceux pour lesquels on a h'i = f" = [ (mod. p), c'est-à-dire pour lesquels la congruence a" ^ D est possible ; ils sont dits : résidus de )?'e""'« puissances. 11 est clair que si Ton a D3 = f (mod. p), D'î = 1"' (mod. p), il en résulte (DD')' = /"''-+-''■' (mod. p), et comme /*" est congru ;i l'unité on peut si l'exposant k-i-k' dépasse », le rem[)laccr par h^k' — n. On peut donc dire que le numéro de la classi.' ;i la([uell(' appartient un produit de plusieurs facteurs est congru (mod. n) à la somme des numéros des classes de ces facteurs. C'est cette proposition qui fait l'importance de la division en classes. Cette division en classes a été indiquée pour la première fois par Causs dans le cas de »? = 4 (on a alors p = 4 9 -^ 1). Les nombres D pour lesquels la congruence est possible s'appellent rési- das h I quadratiques du nombre p. L'analyse faite par Gauss, au sujet des résidus bi(juadrati(iues (Werke, Band II) s'étend d'elle-mr-me au cas où n dépasse 4 ; tandis que si l'on étudiait seulement les résidus quadratiques [n — 2) la généralisation des propriétés des classes n'apparaîtrait pas d'une manière aussi évidente. Dans le cas où 11 = 4 {p =4^4-1), on doit désigner i>ar f une racine primitive de la congruence (1) o;^ ^ 1 (mod. p). On a alors /"^ ^ — l ymod. p). CONC.RUKNCKS BINOMES (',•/ car d'aiurs la dùliiiitiuii di' /", un a (r-t- !)(/■' -1) = 0 (mod. p), t'I le second l'acteur ne [)ful [las (Mre nul, sinon /' ne sérail pas racine jjriiiiitirr de la congruencc {i }. On a dune /■' = — ! (mod. p), P = ~f ^mod. /^). On en cunclut (jue si Tun a : 0''= + /" (niud./>) , L) ap[iarlienl à la !'■' classe; D'/ = — 1 » , )> 2-^ » ; D'' = — / » , » 3-^ )) ; D'' = + 1 » , » 4^ » . Les nombres de la quatrième classe sont les résidus biquadrati- p — 1 ques de p. Nous avons posé q = Supposons par exemple p — 13; on a alors q ~ '6 et on peut prendre f = o. (On i)onrrait aussi prendre / = — 5^8 (mod. 13). 11 en résulterait un échange de la première classe avec la troisième, sans importance pour notre but; il en est de mémo dans le cas gé- néral). Nuus avons, en prenant f — o : ^' = H = ~f (mod. 13). Donc 2 est rangé dans la troisième classe ; 8 = 2^ sera rangé dans la classe dont le rang est congru à 3X3 (mod. 4), c'est- à-dire dans la première classe ; 8 est donc un résidu biquadratiquc de 13. .Nous ne nous étendons pas sur cet exemple et nous n'examinons pas ici le cas fort important de n = 2, qui fera l'objet du chapitre suivant. 31. Pour achever l'étude des congruences binômes, il nous res- terait à traiter directement le cas des modules composés. (ï'est ce que nous ferons plus loin pour les congruences du second degré. Ici, nous allons nous borner à énoncer les résultats prnicipaux dans le cas général ; il est facile de les vérifier. Supposons d'abord ({ue le module soit une puissance /^^ d'un nombre premier impair ; on vérifie alors facilement qu'il existe des 68 THEORIE DES NOMBRES racines primitives, c'est-à-dire des nombres g satisfaisant à la con- gruence gfiv'') = 1 (mod. p^) (qui exprime le théorème de Fermât généralisé) et ne satisfaisant à aucune congrucnce de la forme g'' ^n 1 l'mod p* , dans laquelle r est inférieur à ^(/^"). D'ailleurs, lorsqu'on a dé- montré l'existence des racines primitives de proche en proche (c'est-à-dire en supposant leur existence pour le module p*~' afin de la démontrer pour le module /)''), on voit facilement par un rai- sonnement direct que leur nombre est 9[?(p*)]. En élevant une racine primitive aux puissances 1,2,3, . . . , ç- fp''), on obtient un système complet de restes premiers avec p^, suivant le module p^. Nous avons déjà remarqué que l'ensemble des nombres premiers avec le module et inférieurs au module, joue souvent, dans le cas d'un module composé, le même rôle que le système complet de res- tes incongrus à zéro dans le cas du module premier. On obtient toutes les racines primitives en élevant l'une d'elles successivement aux diverses puissances dont l'exposant est premier avec o (p^j. On voit que l'on peut faire correspondre à l'un quelconque x des ç {p"") nombres inférieurs à /j* et premiers avec p^ l'exposant au- quel il faut élever une racine primitive déterminée pour obtenir mi nombre congru à x (mod. p'). Cet exposant est ce qu'on appellera l'indice de x et ces indices ont les mêmes propriétés et par suite les mêmes applications que dans le cas des modules premiers. Les choses se passent d'une manière toute dilférente lorsque le module est une puissance de 2. Le cas du module 2 est sans intérêt ; pour le module 2^ = 4, le nombre 3 joue le rôle de racine primitive; car on a 3-^1 (mod. 4). Examinons le cas du module 2^ = 8. Il est facile de vérifier que le carré de tout nom- bre impair est de la forme 8?i -h I ; il n'y a donc pas de racines primitives pour le module 8; car on a &8 =4 et a étant un nombre quelconque premier avec 8, ^' = 1 (mod. 8). Maison penl riMuarqucr (|ue toul uiunltro est congru mod. 8 à l'une des iiualio valeurs (lue proiui loxpression ( — l)^o^ lorsque CONGRIIRNCES HINOMKS {]{) t ot 3 parcouiciil sépaii'iiitni un système comph'l de restes (moil. 2). Ceci se généralise pour les puissances de 2 supérieures à la troisième ; on a o(2") = 2"~' et a étant un nombre impair quel- conque, a'"-» = 1 (mod. 2"). De plus, il existe effectivement des nombres impairs tels que leur puissance d'exposant 2"~- soit la première qui soit congrue à 1 (mod. 2"); en particnliiT 1(^ nombre 5 jouit de cette propriété, quel (jue soit n. Dès lors tout nombre impair est congru (mod. 2") à l'une des valeurs de l'expression ( — ifV- oîi a et ^ parcourent respecti- vement un système complet de restes, % suivant le module 2 et p suivant le module 2""-. Les nombres a et ^ peuvent être appelés les indices du nombre (— l)*o^ ; ce système de deux indices a des pro- priétés tout à fait analogues aux indices uniques déjà considérés. Prenons enfin un nombre composé quelconque : /.■ = 2"'9"7'"' ; soient r/, g' des racines primitives pour les modules q et q\ et N un nombre quelconque ; on aura : N = (- 1)^3° (mod. 2"'), N =^-f (mod. 7"), N = çj-'' (mod. 7"'), les nombres a, p, y, y' étant complètement déterminés, suivant les modules respectifs 2, 2"~^, 0(7"), ç(9"')- Ces nombres a, p, y, y' seront appelés les indices de N; deux nombres N sont congrus (mod. k) lorsque leurs indices sont respectivement congrus (suivant les modules déjà indiqués). Les indices d'un produit sont égaux (ou congrus) à la somme des indices correspondants des facteurs, etc.. Pour plus de détails sur cette théorie nous renverrons à la théorie des nombres de Lejeune Dirichlet (supplément V). CHAPITRE IV RÉSIDUS QUADRATIQUES. - LOI DE RÉCIPROCITÉ I. — Congruences du second degré. 32. Nous allons nous occuper, dans ce chapitre, dos congruences du second degré et pailiculiùrement de celles qui ont la forme bi- nôme. Cet le étude nous conduira à la notion très impoilante des résidus quadratiques, dont la théorie a pour fondement la lui de réci- procilé découverte par Euler et Lege.ndre. Les théories générales dé- veloppées dans les deux chapitres précédents pourraient trouver une application naturelle dans l'étude que nous allons faire ; mais, à cause de l'importance très grande de cette étude, il nous paraît préférable d'opérer autrement. Nous allons nous attacher à développer la théorie des résidus ([uadrati([ues en elle-même, c'est-à-diro en supposant connues \o moins de choses qu'il sera possible. On apercevra immédiatement que certaines des propositions auxquelles nous parviendrons ainsi ne sont que des cas particuliers de théorèmes plus généraux établis précédemment; mais nous ne supposerons pas connus ces théo- rèmes, de sorte que la lecture de ce qui va suivre peut succéder immédiatement à celle du premier chapitre de cet ouvrage. La congruence générale du second degré ax^ -{- hx-\-c ^0 (mod. m) se ramène immédiatement à la suivante : {1ax-\-bY ^ h- — \ac (mod. ham), que Ton peut écrire î/2 = D (mod. A-), RESIDUS orAltRATlQIl'.S 71 on posant : SoxH-// = i/, 1,1 _ \ac = 1), \aiii = h. l'no discussion facile pciinrl ilc voir dans chaquo cas parliculior si, réciproquemonl, à uno solution di^ cette seconde^ coiifiruence cor- respond une solution de la première. 33. Nous pouvons donc nous borner à étudier la congruence hi- nome, que nous écrirons a;- ^ D ^mod. m). Soit m = 'l^p'^q'^r^ . . . , 2, /9, q, )\. . . ('tant les facteurs premiers distincls de m (nous verrons bientôt pourquoi il y a lieu de distinguer 2 des nombres premiers impairs). Nous savons qu'à tout système de solutions des con- gruenccs a- = D (mod. 2^), x'^ ^ D (mod. p^), x^ ^ D (mod. 9"^), X- ^ D (mod. r^) correspond une solution de la congruence proposée, et récipro(iue- ment. Pour que la congruence proposée soit possible, il est donc nécessaire et suffisant que chacune de ces dernières le soit, et le nombre des solutions de la proposée est alors évidenmient égal au produit des nombres qui expriment combien chacune d'elles a de solutions distinctes. Par exempl(> la congruence x^ ^ 13 (mod. 30) se ramène aux congruences a;^ ^ 13 ^ 1 (mod. 4), x^ = 13 = 4 (mod. D). La première a les solutions distinctes X ^ i (mod. 4); x- = 3 la seconde : ( a? = 2 i .r = 7 (mod. 9), comme on s'en assure aisément. En combinant de toutes les manières possibles une solution de la 72 THEORIE DES NOMBRES première avec une solution de la seconde, on obtient les qtuifre so- lutions distinctes de la proposée : a? = 29 \ / 1 et 2 a? = 2o / \ 1 et 7 ) (mod. 30), correspondant h : <' .x = ll ( ^ ^ ^ 3 et 2 x= 1 : [ 3 et 7. Nous allons voir que la congruence binôme, lorsqiC elle est possible , admet deux solutions distinctes lorsque le module est un nombre premier impair, une seule lorsque le module est égal à 2, deux lors- que le module est égal à 4, quatre lorsque le module est une puis- sance de 2 divisible par 8. Il en résulte que le nombre (l(m) des solutions de la congruence, dans le cas d'un module quelconque m, est donné par la formule '} (m) = 2^+T^ X désignant le nombre des facteurs premiers impairs distincts de m, et Tj étant égal à zéro si m n'est pas divisible par 4, à un si m est divisible par 4 et non par 8 et à deux si m est divisible par 8. Nous avons déjà fait usage de cette formule ; pour qu'elle soit démontrée, il nous reste à faire voir l'exactitude des propositions énoncées dans le cas où le module est une puissance d'un nombre premier. Nous supposons bien entendu que D est premier avec j?i, c'est-à- dire n'est divisible par aucun des facteurs premiers qui entrent dans m; c'est d'ailleurs dans ce cas seulement que nous avons fait usage de la formule précédente. Elle ne serait pas exacte dans le cas général où m ne serait pas premier avec D (*). (*) Si lo plus f^rand commun diviseur de m et de D est de la forme ah-, le nombre o ne renfermant aurun facteur premier élevé à une puissance supérieure à la pre- mière, on constate aisément que x est nécessairement divisible par «/» ; en posant x=^aby, on est ramené à la congruence ah'^an — ^7^;j= 0 (mod m) et par suite, à la congruence rtV— IV = 0 (mod m'\, dans laquoUo D' et w' sont premiers entre eux (l' ^^jj/;? '"' '" — (Tpj- -^ rhaquc solution de cette congruence correspondent b solutions distinctes de la proposée. RÉSIDI'S QUADRATIQUES 73 34. C.onsitU'rons dune le cas où le nuxliil'' i^sl uih' piiissanco (ruii nombrt» prtmiior, 4110 nous supposerons dabuid impair. Pour que la congruence x^ = D (mod. p^) soit possiblt\ il faut d'abord (\n"\\ on soit ainsi do la congruence X- ^ D (mod. p). Lorsquo cette dernière congruence est possible, on dit que D est ré- sidu quadratique de p: nous verrons plus loin comment on le recon- naît; ici nous allons chercbor le nombre des solutions, dans le cas où la congruence est possible. Soit x^ une solution; on a D = xl (mod. p) ol la congruence proposée peut s'écrire a- — a^o ^ ^^ (mod.p) ou (x — a?o) (a; -+- a?^) = 0 (mod. p). Pour que ce produit do facteurs soit divisible par le nombre pre- mier/), il faut et il suftit que l'un des facteurs soit divisible par p, c'est-à-dire que Ton ait : ou bien a? = Xq (mod. p), ou bien x ^ /> — a:,, (mod. p). La congruence admet donc doux solutions, qui sont distinctes car 2.ro ne peut pas être divisible par p, puisque D ne l'est pas et que p est supposé impair; on n'a donc pas Xo=p — x^ (mod. p), c'est-à-dire 2.r„=0 (mod. p). Montrons maintenant que , lorsque D est résidu quadratique de p, la congruence x- = D (mod. p^) admet deux solutions et doux seulement. Nous venons de voir que cette proposition est exacte pour a = 1 ; il suffit donc de faire voir que si elle est vraie pour une valeur de a, elle subsiste lorsqu'on augmente cet exposant d'une unité. Soit y une solution de la consruonce ?/ = D (mod. p^); nous allons montrer qu'on peut en déduire une solution de la con- gruence ar^ = D (mod. p ,a-|-1> 74 THEORIE DES NOMBRES Pour cola posons X = y -{- Ip^. Il vient x^ — î) = y- — D -H T/.yp^ 4- r-p^' = 0 mod. p^^'). Or, par hypothèse, on a 7/2 -D = Mp^ il en résulte donc /y' (M + 2Ày + A^p^) = 0 fmod. ;)^^'), c'est-à-dire M -^ 2X?/ = 0 (mod. p); 2?/ étant premier avec /?, cette congruence détermine )> ; on en tire 1 ^ Xo (mod. p) et par suite X ^ y -hÀoP'' (mod. p^'^'^ On voit ainsi (pi'ii une solution y correspond une solution x et une seule ; il est (tailleurs aisé de voir directement que la congruence X- ^ I) (mod. p"") ne peut avoir que deux solutions lorsque D n'est pas divisible par p. En effet, x^ désignant une solution, x^ n'est pas divisible par p ; or on doit avoir (x — x^){x ^Xq)^0 (mod. /)=';; Sa^Q n'étant pas divisible par p, les deux facteurs ne peuvent pas être divisibles par/;; l'un des deux est donc divisible par p^ et l'on a les deux solutions : X ^ Xg (mod. p^), X ^ — x„ (mod. p*). 35. Passons maintenant au cas où 1(> module est une puissance de 2; nous supposerons, d'après ce qui précède, (|ue 1) est un mim- bre impair; il en résulte que x doit être aussi un noniluf impair. 11 est clair que la congruence X- = I) (mod. 2), où D désigne un nombre impair, admet dans tmis les cas la solution unique X ^ i (mod. 2). Passons <à la congruence x^=D (mod. 4). On vérifie immédiatement que le carré de tout nombre impair est de la forme 4/i + 1 ; cette congruence n'est donc possible que si Ton a 1) = 1 (mod. 4) RESIDUS QUADRATIQUES 75 ei oUo iulnit'l duns ce cas les deux solutions x^ 1 (mod. 4), X ^ 'A (mod. i). Considr-ron? onfin la conpriiioncr' X- zz 1) (mod. H). T, •'«, 1. Donc : 1, "2, i sont résidus (luadraliiiuos de 7 (ou plus simplement résidus) ; 3, 5, 6 seront dits non-résidus. On aperçoit sur cet exemple un fait qui est évidcuuncut général ; les résidus minima étant inscrits en ordre sur une même ligne, les termes équidistants des extrêmes sont égaux ; en d'autres termes les carrés des nombres « et p — a ont même résidu. On a en eflet a^ ^ {p — a)^ (mod. p). Il en résulte que, pour obtenir les résidus de p, il suflit de faire les j) — 1 carrés des nombres 1, 2, 3, ..., — ^^ — Le n(jmbre de ces résidus p — i est donc au plus égal a — - — ; il est facile do voir ({u'il a préci- sément cette valeur. En ellVt, si a et b désignent deux nombres inégaux de la suite 1, 2, 3, ..., ' ^^ , il est cL'ur que a — b ni a -h b ne peuvent êtn' divisibles par p ; on ne ptnit donc pas avoir a^ ^ b^ (mod. p). p — 1 V — 1 Il V a donc résidus et ^—— — non-résidus. 2 2 11 est clair ({ue le produit de deux résidus D et D' est un résidu ; car si Ton a a?2 ^ D (mod. p), x'^ = D' (mod. p), il en résulte {xx'f = DD' (mod. p). Cela posé, considérons un système complet de restes (*) (mod. p)\ p — 1 p — - 1 il comprend ^-—^ — résidus et - — - — non-résidus. Si on mul- tiplie ce système complet de restes par un résidu R, on obtient p — 1 encore un système complet de restes, c est-à-dn^e — - — résidus (*) Ici et dans la suite, lorsqu'il suia qucslioii de système comidet de rcsies, nuiis excluuns le reste zéro. 78 THEORIE DES NOMBRES T) — 1 r> et non-résidus. Mais d'après ce qui précède les — V — 1 résidus proviennent (!<■ la niulliplication par II des — - — • résidus ; « — 1 ... donc les non-résidus proviennent de la multiplication par 73 — 1 R des — non-résidus, c'est-à-dire que : le produit d'un résidu par un non-résidu est un non-résidu. On démontrerait de même, en considérant le système complet de restes qu'on obtient en multi- pliant un système complet par un non-résidu, que : le produit de deux non-résidus est un résidu- Ces diverses propositions vont dailleurs api)araitre bientôt comme évidentes. 37. 11 est assez naturel de considérer la congruence x- ^ D (mod. p) comme un cas particulier de la congruence hilinéaire yz ^ D (mod. p). Nommons, pour un instant, nombres associés, deux nombres ?/ et z qui satisfont simultanément à cette congruence bilinéaire. Il résulte des i)ropriétés des congruences du premier degré que tout nombre a un associé et un seul ; d'ailleurs deux nombres associés ne peu- vent être égaux que si D est résidu ({uadratique de p, et leur valeur commune satisfait à la congruence a.-^ ^ D (mod. p . Celte congruence admettant deux solutions x^ et p — a^, dont le produit est congru à — xl c'est-à-dire à — D, il en résulte que : lorsque I) est résidu de p, il y a deux nombres égaux chacun à son associé ' leur produit est congru à — I). Il résulte de ce qui précède que : 1° Si D est non-résidu de p, les p — 1 nombres 1, 2, 3, ..., p — i sont associés deux à deux; ils forment ^—-^ — groupes, le i)roduit des nombres de chaque groupe étant congru à D ; on a donc 1.^2.3 ... (p— 1) = D => (mod./)); 2° Si D est résidu de ;i, il y a deux de ces p — 1 nombres {Xf, et p - a",,) dont le produit est congru à — D ; les p — 3 misiKl'S olAKKATUjUES 79 autres sont associés deux à di'ux cnnini»' in-écédcmiin'iil ri [lar suile i) — 1 luriiU'Ut — 1 i^Moupi'S ; on ;i dniic i.2 :i ... {p — i) = — D' (mod. ;)). Si nous renKiiquons ([uc le nombre 1 est évidemment résidu qua- dratique, nous leirouvons le thénirmo de Wilson: l.:2. .-{... ip—i, = —l (mod. /}); mais il faut remarquer que cette démonstration ne dillùre pas de celle que nous en avons déjà donnée. En faisant usage de ce théo- rème nous voyons que Ton a mod. p) si D est résidxi ; l'I D - = -1- 1 D 2 ^ 1 (mod. p) si D est non-résidu. Comme tout nombre est nécessairement résidu ou non-résidu et que ces deux congruences sont incompatibles, il en résulte que, ré- ciproquement, loule solution de la congruence X ^ —1^0 (mod. p) est un rcbidu et toute solution de la congruence X ^ 4-1^0 (mod. p) un non-résidu. p — 1 Chacune de ces congruences a donc — - — solutions ; on a d'ailleurs toujours a.-''^' ^ I (mod. /)), ce qui est une démonstration nouvelle du Ihéorùme do Fermât. On pourrait raisonner de môme sur la i,-ongrucnce bilinéaire yz ^ D (mod. ni) dans le cas où le module m n'est pas premier ; mais il faudrait ex- clure complètement les nombres D, y el z qui ne seraient pas pre- miers avec m. On voit alors facilement qu'en désignant par o{ni) le nombre des entiers premiers avec m et non supérieurs à m, et par <]>(w) le nombre des solutions qu'admet la congruence x^ ^D (mod. m) 80 THEORIE DES NOMBRES dans les cas où elle est possible, on a : -a{)ii D- ^ 1 (mod. m) lorsque celle congruence esl possible, el 1 1 D^ =( — 1)2^' (mod. m) lorsqu'elle ne l'est pas. Mais ceci ne constitue un théorème vraiment intéressant que lorsque '^(m) n'est pas divisible par 4, c'esl-à-dire lorsque m est égal à une puissance d'un nombre premier impair, au dou])lc d'une telle puissance, ou égal à 4. Sinon, on a toujours D- ' ^1 (mod. m) el on ne peut disUnguer ainsi si la congruence x^ ^ I) (mod. m) est possible ou non. Aussi nous bornons-nous au cas où. le module est un nombre premier. 38. Nous conviendrons de représenter avec Legendre, par le sym- bole D .P / l'uiiilé précédée du signe -+- ou du signe • — suivant que D est résidu quadratique ou non-résidu ([uadratique du n(unljre premier />. On a ainsi louj(jurs Oiï)-^ cl, d'après ce qui précède, (°)-»' (mod. p). Il résulte inuu(''(lial('nienl de cette congruiMici' régalilè IVuuiauii'n- taie /DD'\ /m.DY \p) - \p)\p) qui exprime des théorèmes déjà éta])lis direct emiMit. Ëtant donné un nombre premier p, le problème de rechercher les nombres qui sont résidus et non-résidus ne présente aucune dilli- KESIDCS (JIADUATigUES 81 cullé ; il suflil, onimne iiuus r.nvuns de'jii dit, de former les carres des w — i termes de la siiid' 1, 2, 3, . ., Le problème suivant est beaucoup plus difficile : étant donné un nombre D, trouver les nombres premiers /j, tels que D soit résidu quadratique de p. Ce problème s'est présenté depuis longtemps sous une forme à peine dillérentc ; il n'a été résolu complètement que par la belle découverte faite par Euler et par Legendre de la loi de réciprocité. Cette loi est ainsi nommée parce qu'elle établit une réciprocité remarquable entre deux nombres premiers quelconques p et q. Si p et q ne sont pas tous deux de la forme \n -+- 3, ou bien cliacun d'eux est résidu quadratique de l'autre, ou bien cbacun d'eux est non-résidu quadratique de l'autre. Si ;> et ç- sont tous les deux de la forme -4/1-1-3, l'un des deux est résidu quadratique de l'au- tre, lequel est non-résidu du premier. Nous reviendrons d'ailleurs sur cet énoncé pour le généraliser et le traduire analytiquement. III. — Caractères quadratiques. Symbole de Legendre. 39. Indiquons maintenant comment le problème qui nous occupe s'était posé à Fermât et, après lui, à Euler et Lafjrange. Ces géomè- tres s'étaient proposé de recberclier si la forme t' - Du^ peut être divisible par un nombre premier p, pour des valeurs en- tières convenables des variables t et u. Le nombre p est alors dit un diviseur de cette forme. Par exemple, le nombre 7 est un divi- seur de la forme car pour ar = 3, j/ = 1, cette forme est divisible par 7. Le problème de trouver les diviseurs de la forme t^ — Du^ est complètement équivalent à celui que nous nous proposons; on sup- pose, bien entendu, que t et u sont premiers entre eux, car tout divi- seur commun à f et M divise la forme. Si p est un diviseur de la forme, il ne peut diviser m; sinon il diviserait t ; on peut alors trou- ver un nombre y tel que uy ^i (mod. p). THÉÛHIE DES NOMBRES. () 82 TUEORIE DES NOMBRES On a alors j/2(/2_Du=') = 0 (mod. p), d'où [tyf = DuY = D imod. p.), c'est-à-dire que D est résidu quadratique de p ; réciproquement si 1) est résidu de p, il existe un nombre x tel que ^■2 _ D = 0 (mod. p), et i^ — hu^ est divisible par p pour t = x, u = i. Le problème que nous nous proposons peut s'énoncer ainsi : D étant un nombre donnée trouver un critérium aussi simple que pos- sible pour trouver, quel que soit p, la valeur du symbole ( — ) . H est clair qu'on peut toujours supprimer dans D les puissances paires des nombres premiers qui y figurent : si l'on a D =: q'D\ il en résulte D' p) \pJ\p}\v P On peut donc supposer que D ne renferme que des facteurs premiers à la première puissance. Nous verrons que lorsque D est un nombre premier, le critérium dont nous venons de parler (qu'on appelle le caractère quadratique de D) dépend uniquement du reste de la divi- sion de p par 4D ; nous démontrerons par exemple que Ion a PJ si le reste de la division de p par 8 est 1 ou 7, et dans ces cas seu- lement. De même, pour que 3 P il est nécessaire et suffisant que le reste de la division de p par 12 soit 1 ou 11. On en conclut (jue le caractère quadratique d'un nom- bre composé se déduit immédiatement de celui de ses facteurs pre- miers. Par exemple, en admettant les résultats qui précèdent, on voit que l'on a 1^) -+- 1 RKSIDUS QUADRATIQUKS 83 si le reste de la ilivision do j) par t\ est 1, î>, 19 ou :*3. Il sullil en ellet de former le tableau suivant : ;, = à: (1) (^) 1 + 1 -4-1 -hl 5 — 1 — 1 -+-1 7 -4-1 — 1 — 1 11 — 1 -hl — 1 13 — 1 -hl — 1 17 -hl — 1 — 1 19 — 1 — 1 -hl 23 -hl -hl -hl Il nous suflit dune de Uailer le problème lorsque D est un nombre premier; comme nous ne supposons pas que D est positif, nous examinerons successivement les cas suivants : 1" D = — 1; 2° D = 2 ; 30 D = un nombre premier impair positif. 40. Le cas où D = — 1 se traite immédiatement. D'après une formule déjà établie, on a 1^ c'est-à-dire (t)- ;.-1 1) P = -hl si p est de la forme 4n -h 1 ; et si p est de la forme 4n-h3. 8-i TIIEORII-: DES NOMBRES La forme l'^ -\- u^ admit donc ■pour diviseurs les nombres fremiers de la forme An -h 1 et ceux-là seulement. Nous reviendrons sur celte proposition qui est Tune des plus importantes de TAritlimé- tique. Elle était connue de Fermât, ainsi d'ailleurs que les résultats que nous allons démontrer pour le nombre 2. Nous allons faire voir que 2 est résidu quadratique des nombres premiers de la forme 8n dz 1 et non-résidu de ceux qui ont la forme 8ndz3. Ces pro- positions seront bientôt établies simultanément par une méthode générale due à Gauss ; mais les démonstrations particulières qui en ont été données sont intéressantes à connaitre. Montrons d'abord que 2 est résidu quadratique des nombres premiers p de la forme 8n -h 1. Nous nous appuierons pour cela sur une proposition éta- blie dans la théorie générale des congruences (Gh. ii) : toute con- gruence {mod. p) dont le premier memOre divise x''~' — 1 a autant de racines qu'il y a d'unités dans son degré. Or p étant de la forme 8n -f- 1, a-^'~' — 1 est divisible par x^ — 1 et par suite, par x'* -h i ; la congruence x'' -\-l^ 0 (mod. p) a donc quatre racines. Si x désigne Tune d'elles, on a (.t2-M)2 — 2a;2 = 0 (mod. p), ce qui montre que p est un diviseur de la forme /- — 2«-, car T^ 4-1 el x sont premiers entre eux; donc 2 est résidu do p. Supposons maintenant que p soit de la forme 8n ± 3 ; il faut montrer que la congruence a-2 — 2 = 0 (mod. p) est impossible. On le vérifie sans peine pour p = 3. Si donc la propositioi} n'était pas vraie, il existerait un nombre premier p de la forme 8n±3, tel que la proposition soit en défaut pour ce nombre, tout en étant vraie pour tous les nombres premiers de même forme inférieurs à p. Il suffit donc de démontrer l'impossibi- lité d'une telle chose. Si le nombre p existait, la congruence x^ — 2^0 (mod. p) p = Sn-h'3 ou 8;j-r-u aurait d(Hix solutions inférieures à p\ l'une d'elles serait un nom- bre impair ; désignons-la par .r. Nous allons faire vi>ir (jue, .r étant impair et inférieur à p, a-^ — 2 ne pourrait être divisible par p sans être divisible par un nombre premier de même forme et infé- rieur il ;). Kn clVet, le carré de tout nombre imi>air étant de la forme RÉSIDTTS QUADRATIijrKS 8") 8n -+- 1, x' — 2 est do la forme Hn — l iH no peut par suilo être égal à p ; on a donc /"étant plus grand que 1. /"est dailiours inférieur à p, puisque x est inférieur à p ; tous les facteurs premiers de f sont donc inférieurs Ji p ; il suffit donc de montrer que l'un au moins de ces facteurs est de la forme 8n+3 ou 8nH-o. Or, si tous ces facteurs étaient de la forme 8n±l (ils sont nécessairement impairs), leur pro- duit f serait de la forme 8» ± 1 et le produit pf ne pourrait être de la forme Sn — 1, ce qui est contraire à ce qu'on vient de voir. Il reste à montrer que 2 est résidu des nombres premiers de la forme 8nH-7; pour ces nombres — 1 est non-résidu ; il suffit donc de montrer que — 2 est non-résidu. Il résulte de ce qui pré- cède que pour les nombres premiers de la forme 8n 4-5, 2 étant non-résidu et — 1 résidu, — 2 est non-résidu. Nous allons faire voir en même temps que 2 est non-résidu 'pour les nombres premiers de l'une des formes 8n + 5 ou 8n-4- 7 (ou si l'on veut 8n — 1 et 87Î — 3). Nous avons déjà vu que cette proposition est vraie pour p r= 5 ; il suffit donc de démontrer la non-existence du plus petit des nombres premiers pour lequel elle ne serait pas vraie. C'est exactement la même marche que nous venons de suivre. Si l'on avait x' -h^ = pf, X étant un nombre impair positif inférieur k p cl p un nombre de la forme 8n — 1 ou 8n — 3, f admettrait au moins un facteur premier inférieur à p et de l'une de ces deux formes. En effet, si tous les facteurs premiers de /"avaient la forme 8n-l-l ou 8n4-3, il en serait de même de /' et le produit pf aurait l'une des formes 8n — 1 ou 8n — 3, ce qui est impossible puisque a;^ -i- 2 est de la forme 8/i-}-3. Les démonstrations précédentes sont dues àLegendre; M. Stieltjes a donné récemment (*) une analyse plus simple que nous allons re- produire. Soit p un nombre premier impair; considérons la suite des (*) Bulletin des scietices mathématiques, 1884. m THEORIE DES NOMBRES p — 1 n()ml)rcs 1, 2, 3, , p-i et supposons que nous écrivions au-dessous do chacun d'eux le si- gne -H ou le signe — suivant qu'il est résidu ou non-résidu qua- dratique de p. Recherchons le nombre des cliangements de signe que présente cette suite de signes (A) ; il y a un changement de signe entre deux nombres k, k-^i dans le cas et seulement dans le cas où le nombre r^., supposé plus petit que p et défini par la rolalion A- -t- 1 ^ kffc (mod. p) est non-résidu quadratique de p. Mais les nombres '•i, r,, r,, , r^,_2 sont visiblement, dans un certain ordre, les nombres 2,3,4, , p — \, car les r sont tous dilï'érents et aucun d'eux n'est égal à un. Il y a P — 1 -•, , P — * donc parmi eux — -— non-rcsidus et par suite - — - — change- ments de signe dans la suite (A). Supposons maintenant p ^ l (mod. A\ Le nombre des change- ments de signe de la suite (A) étant pair et le premier nombre 1 de cette suite étant résidu, il s'ensuit que le dernier p — 1 ou — 1 est aussi résidu. Deux nombres k et p — k sont donc en même temps résidus ou non-résidus ; si donc on forme la suite analogue à (A), (B) 1, 2, 3 , ^\ elle produira un nombre de changements de signe égal à p — 1 4 = n. Si n est pair, c'est-à-dire p ^ 1 (mod. 8), le dernier nombre p — 1 —- — sera résidu et par suite 2 sera résidu. 2 ^ /' — 1 Si n est impair, c'est-à-dire p ^o (mod. 8), —z — et 2 seront non-résidus. Soit en second lieu ;; :^ 3 (mod. 4); le nombre des change- ments de signe dans la suite (B) sera égal à = n, car main- . 4 p — 1 tenant — - — étant nnpair, — 1 est non-résidu. RESIDUS Ql'ADRATFOUES ST Si ;j est pair, c"t'sl-;i-(liro »^3 (mod. 8\ ' sora r(''sidu et partant 2 sera non-rosidu. V — i Si n ost impair, c'csl-à-tlire p :^ 1 (mod. 8), sera non- résidu l'I 2 sera résidu. 41. Nous arrivons niainh-nanl au cas où D est un nonilire promier impair. La solution du problème est alors donnée par la loi de réci- procité de Legendre (*). Il existe plusieurs démonstrations de celle loi, l'une des plus belles propositions de l'Arithmétique ; Gauss seul en a donné six; certaines de ces démonstrations reposent sur des notions très élevées d'analyse mathématique et ne sauraient trouver place ici ; les plus simples reposent sui- un lemme dû à Gauss qui est fort intéressant on lui-même. Il fournit en effet une expression analytique du symbole (—) et de plus donne immédiatement le caractère quadratique du nombre 2. Nous allons donc nous occuper d'abord de ce Icmme. Soit D un nombre ([uelconque non divisible par le nombre pre- mier impair p. Formons les nombres D, 2D, 3D, , ^^^D. Tous les termes de cette suite sont incongrus entre eux, c'est-à-dire que la différence de deux termes ne peut pas être divisible par p; la somme de deux termes ne peut pas non plus être divisible par p. Pour chacun des termes, je cherche le résidu minimum absolu par rapport à p, c'est-à-dire le reste plus petit en valeur absolue p que — • Soit [j. le nombre de ces restes qui sont négatifs. La propo- sition de Gauss consiste dans rétralité Q-^-)'- Pour la démontrer, désignons par (*) On donne à cotte loi le nom de Legendre p.irre que, le premier, il Ta énoncée en indiquant son importance. La démonstration qu'il en a donnée présentait d'ail- leurs une lacune. Euler avait toutefois énoncé cette loi avant Legendre. 88 THÉORIE DES NOMBRES les rostos positifs, et par Cl o o les restes négatifs. La différence ou la somme de deux quelconques w— l de ces X + i-i — restes ne peut pas être divisible par p ; il en résulte que les nombres positifs sont tous incongrus entre eux et sont par suite dans un certain ordre les nombres » — 1 »'^'3, ^. On a donc Mais d'après la définition même des a et des p, on a a,.a2.. a,(- p,)(— i3,)...(- p^)=D.2D.3D... ^^ D fmod. p), c'est-à-dire 79 — 1 ^ (— l)>^.a,.a,...a,.13,.^, . ^^ = 1.2... '—^- . [) ' (mod. /»). Il en résulte D 2 = (_ 1)!^ (mod. p) On peut remarquer que ii désigne le nombre des restes minima po- sitifs des nombres D, 2D, 3D, , '-^^D p qui sont plus grands que ^• L'application au cas où D = 2 est immédiate ; les restes mi- nima de ces nombres sont ces nombres eux-mêmes : et par suite 2, 4, 6 ;' — 1. rc des nombres pairs con ce qui revient au même, au nombre des nombres entiers compris et fx est égal au nombre des nombres pairs compris entre -^ elp, ou, RESIDUS QUADRATIQUES 89 V P V — 1 V — 1 cntie-T «'t — . Si - — ^ — osl pair, ce immbrc est ôgal ;i ; si 4 2 2 4 ;) — 1 /) -^ 1 est impair, ce nombre est égal à — - — ; dans le premier P-L- 1 cas - — '■ — est impair et 1 on peut écrire » -4- 1 |ji ^ -i— ^ — u (mod. 2). p-\-i p -h l p — 1 p"^ — 1 ^'' "2" '■' ~~ ~2 ~ ~~ ~S~ ' Dans le second cas, on a de même p ~ \ p^ — 1 , , ^, ix = ^-j- -^z^f—^ (mod. 2). Donc dans tous les cas, on a 2\ ^ ce qui donne les règles énoncées plus haut. 42. Si nous revenons au cas général, nous voyons que le nombre désigne par (jl est défini lorsque p est un nombre impair, qui n'est pas nécessairement premier. On peut convenir de représenter par (— ) la valeur de ( — 1)"^, dans le cas oi^i p n'est pas premier; mais le symbole ainsi défini n\i de signification quadratique que lorsque p est un nombre premier ; il coïncide dans ce cas avec le symbole de Legendre. M. Schcring et Kroneckor ont montré que le symbole ainsi généralisé a les propriétés du symbole de Legendre. On peut remarquer d'abord que dans le calcul relatif au nombre 2, on n'a jamais supposé que p soit premier ; on a donc toujours /2\ ^ \P/ p étant un nombre impair quelconque. De même si D =: — 1, on voit immédiatement que tous les restes minima absolus sont néga- tifs ; on a donc p — i !^ = — ^ — 90 THEORIE DES NOMBRES nt par siiilo, d'apn-s la définition mémo du symbole généralisé, (^)=(-iy^^(-i)- Pour généraliser les autres propriétés élémentaires du symbole de Legendre, il est commode de se servir d'une expression analytique de (— l)"^, expression ({ui d'ailleurs nous sera utile dans la suite. Nous représenterons par 01 (a?) le reste minimum absolu du nombre x par rapport à p, de sorte que — — est inférieur à P 1 -— en valeur absolue et que l'on a 2 6\,{x)^x (mod. p). Si en adoptant une notation due à Kronecker, nous désignons, d'une manière générale par sgn. a (prononcez : sigyie de a) l'unité précédée du signe 4- ou du signe — suivant ({ue a est positif ou négatif, on a sgn. TJ 0l(aD). Cette égalité a été démontrée lorsque p est un nomlire premier impair et sert de définition au symbole i — \ lorsque p est impair et non premier. Il est clair que l'on a ^{x]= 0{{x') si x^x (mod. p): et %{x)^ — ^\x') si X ^ — X (mod. p). Il en résulte que la congruencc D = D' (mod. p^ entraine (?) - 0- ce qui était évident lorsiiu'on supposait /) premier. RÉSIDT'S QUADRATIQTTES 91 11 nous ro?lo à démontror lï-galilé fondamonlalo Soient a,, a,, . . ., a.,; — ^,, — p., ■ • -, — Pj. los reslos niinima absolus dos nombres V — 1 D, 20, 30 -^r~^- Les nombres a„ X,, ...a,; p„ p^, • • • P, sont égaux, abstraction faite de l'ordre, aux nombres P— 1 12 3 On peut donc, pour calculer ( — ] ' prendre les restes minima ab- solus des nombres Gt.D', a^D', ...a,D'; p,D', ...,?,D'. On peut donc écrire Mais on a 01(PD') = _0l(_pD') et le nombre des p est égal à [jl ; on a donc (-) = sgn. {- i)^^{'^\)')^{- pD') ou bien, en multipliant par (-) ou ( — 1)'^, Mais les a et les — ^ sont respectivement congrus aux nom- P — ■* bres D, ^2D,...^- D; on a donc "-' C. 0- F. D. Donc ^701/7' déterminer le aigne du symljole i — h on peut décom- 92 THEORIE DES NOMBRES poser D en fadeurs premiers et considérer les facteurs premiers qui figurent dans D avec un exposant impair; il suffira de faire le pro- duit des symboles relatifs à chacun de ces facteurs. Indiquons enfin la représentation analytique du symbole / — \ due à Eisenstein\ elle n'introduit pas de symboles à définition arithmé- tique, tels que ^{x) ou sgn. a. Remarquons d'abord que Ton a . 2-01) ^, ^ sgn. sm = sgn. £H.(aD) et par suite c n -j = sgn. I I sin P — 1 Or, a étant inférieur à ^— - — ^ l'on a sgn. sm — = H- 1 ; V donc a=^ . 2-aD 2 sm a—\ sm — P P— 1 Mais en valeur absolue, le produit des ^-— — sinus du numéra- P— 1 tour a la mrmo valeur que le produit dos sinus du dénomi- natour ; on peut donc supprimer le symbole sgn. et écrire a-t=L . 27raD 2 sm -)■■ =n-^ a=\ sm V Dans le cas où D est un nombre impair, on voit facilement que l'on peut écrire aussi T.V 2 sin a=rl sm V l'U i>i-: RECiiMiociTi': 93 Celte expression analyliiiU'' a conduit Eisenslcin ù poser [—1 = 0, lorsque I) n'est pas premier avec p. IV. — Loi de réciprocité. — Applications. - Ù 43. .Nous allons dûmonlrer niainlcnant sur le symbole ( - ) séné- ralisé une proposition qui se réduit à la loi de réciprocité de Le- gendre lorsque D et p sont deux nombres premiers. Cette proposi- tion consiste dans l'égalité ''^^? =(-1)---, (?) dans laquelle p et ç sont deux nombres impairs positifs quel- conques. Si l'on suppose que p et g sotit premiers^ chacun des sym- boles qui figurent dans le premier membre a une signilication qua- dratique et la formule se traduit ainsi en langage ordinaire : 6\' l'un quelconque des nombres p et q est de la forme 4n -i- 1 : 51 p est reste de q, q est reste de p et si p est non-reste de 7, q est non-reste de p. Si, au contraire, p et q sont tous deux de la forme in -h 3 : si p est reste de q, q est non-reste de p et si p est non-reste de r/, q est non-reste de p. C'est la loi de Legendre. Nous allons démontrer la proposition plus générale qui vient d'être énoncée. Pour cela écrivons ;'-' ^^j = sgn. JJ 0{{aq). Pour que 3l(ay) soit négatif, il faut et il suffit qu'il y ait un entier a-, tel que l'on ait simultanément pxt > aq, px, 0, car, si z est plus j)otit que x, les deux facteurs sont positifs; si 3 est j)lus grand que a-, les deux facteurs sont négatifs. Si donc n désigne un entier supérieur ou égal à a?i, on a sgn. ^{aq) = sgn. JJ(f/7 — px)laq — px + |- j • Or on a et Donc et par suite px us avons vu (lue Ton a \ P J ';) = (-"'' P' \i. désignant le nombre des restes minima des nombres V— l 7. 27, -Ml. . . , '-^ V qui sont supérieurs à — • Or le reste minimum duu munbre j-q est .... . . P ■ , • , 2a«7 nnerieur ou supérieur a — suivant (lue la partie entière de — est paire ou impaire. Donc \i. est congru, suivant le module 2, à la somme des parties entières des nombres 27 1^ (Ir/ ()P— 1)<7 p' PP' ' P Mais la iiaili(> entière du nombre — par exemple est égale au p nombre des points d'ordonnée entière situés sur la droite X = A entre l'axe des x et la droite Oïl dont l'équalion est y = - X. P Donc ;jL est congru (mod. 2) au nombre des points (ïabscisse paire et d'ordonnée entière, c'est-à-dire des points rn et a, compris à l'inté- rieur du triangle OPR. Mais le nombre des points a compris à l'intérieur de OPR est égal au nombre des points to compris à l'intérieur de PRQ ; donc ;jl est congru (mod. 2} au nombre des points T3 compris à l'intérieur des triangles OPR et PRQ. Or ces deux triangles ont une partie commune IPR, et les points w compris à l'intérieur de cette partie commune étant comptés deux fois, nous pouvons les supprimer et conclure que jjl est congru (mod. 2) au nombre des points ro compris à l'intérieur des deux triangles OPI, QRI. On verrait de même que l'on a 9 THÉOHIE DES NO-MORES (f) -<-)'■' 98 THEORIE DES NOMBRES Ijl' étant congru (mod. 2) au nombre des points ra compris ù l'inté- rieur des deux triangles OQI, PKI ; donc (_!).+.•, ,u -h ,u' étant congru (mod. 2) au nombre total des points m situés à rintérieur du rectangle OPRQ, c'est-à-dire à ;) — 1 q — 1 2 ' 2 ' ce que 1 un vuulail établir. Celle repa-ésenlation géométrique permet de démontrer une [iro- posilion utilisée comme knnup. dans certaines démonstrations de la loi de réciprocité. 1 1 \ M 1 — R \ X 1 1 y \ 1 \ s 1 ! \ V \ / . ^ \ y \ y l \_ X y y ' a \ N^ — - -- y ^ 1 X y y y N N \ o y N •nr 1 y \ N y 1 y^ \ ! 1 y "s 1 VT- 1 \ 1 __ __ 1 -^^ ^N 0 M Le nombre des points nj compris à l'intérieur des triangles IMT. IM'R, IM'Q, est égal au nombre des points o, i et a situés à l'intérieur de OMI; donc le nombre des points m situés à l'intérieur de OPI et RIQ est égal au nombre des points ni, a, o et i, c'est-à-dire de tous les points de coordonnées entières situés à l'intérieur de OMI. Or en faisant une transformation homolhétique avec un rapport d'homo- Ihétie égal à 2, le pôle étant le point 0, on voit que le nombre des L<»1 DK HKCIl'HtX'.lTK Oî) piiinls (ic Coiililull lires riilirics sitllL'S il rililrririii' de n\|| r>| cmI an iiuiiiliri' (les |Miiiils tic (■■MirildiiiK't's jKiiri's siliiOs ù linir-ricnr di.' (ll'K (*). Dniic ;jL l'sl Congru ;i ce iiumbre; c"t'sl-;i-ilirc (|U(' j. est congru à lu soiuinc di's partins enlirrcx d<'s noinhves C'osl le loininc dont il vient (l"(Hie (|U(^slion. I{éei[)id(iuenicnt, si on admet c».' Irninie, la démonstration de la loi de réciprocité est immé- diate avec noire ligure; [x est congru au noml)rc des points ra situés à l'intérieur de OlMl ; \i.' est congru au nombre des jxiints ra situés à rinliMiriii' de (MJU; donc '^-\-'/ est congru au nombre total de ces points, c'est-à-dire à — - — • — -• 45. .Nous i>ouvons maintenant résoudre d'une manièri; générale la ([ucstion que nous nous étions posée : 1) étant un lunnbre impair donn('\ trouver un critérium aussi sim[)le ({ue possible Taisant connaître le signe de ( — /• Nous supposons simplenienl p ini[)iiir et premier avec D ; si jt» est un nombre premier, le syndxde a une signilication quadratique. On aperçoit immédiatement ({ue Ton a Or la valeur de |— j ne dépend fjue du résidu minimum de p ^ ' y.- I l> 1 (mod. D) ; la valeur de ( — 1) ^ ^ ne dépend que du résidu minimum de p (mod. 4) (et même en est indépendant(; si D est de la forme 4n -h 1). On en conclut (jue, dans tous les cas, la valeur de ( — j ne dépend que du résidu minimum de p (mod. 41)), résultat que nous avi(Mis déjà énoncé sans démonstration ; on voit même que si D est de la forme -iu+i, il sul'lit de consid('rer le résidu minimum de /> (mod. 2 D) (**). (*) Remarquons, en j)assant que la série de transformations faites a pour résultat (le montrer rpie le nomlir," des iioints a situés à l'intérieur dv, OIMJ est pair. i.'"! On ne considère pas le résidu mininuuTi (mod. D) parce que celui-ci ne serait pas nécessairement impair, et la loi de réciprocité ne s'applique qu'aux nombres impairs. iOO THÉORIE DES NOMBRES Soit, par exemple, D = 3, on a 4D = 12 ; les riumbies impairs inférieurs à 12 et premiers avec 3 sont 1, :j, 7, Il ; on trouve facilement ?)-•• (!)-- (t)— • (n) = - Donc: 3 est résidu quadraliiiuo des nombres premiers de Tune des formes 12n + 1 et 12n + il et non-résidu des nombres premiers do Tune dos formes '12n-t-u ot 12n -i- 7. Prenons comme second exemple D = 5 ; D étant ici de la forme in-hl, il suffit de considérer les nombres impairs pre- miers avec D et inférieurs à 21); co sont 1,3. 7,9; on trouve D--' (D--' ©=-'■ i-'- Donc ; o est résidu quadratique des nombres premiers de lune des formes lOn + 1 et lO/i-t-9 et non-résidu des nombres premiers de Tune des formes lO/t-t-3 ot lOn-r-7. 46. La loi do réciprocité permet aussi de déterminer facilement la valeur du symbole (— | lorscjne 1) et p sont de grands nombres. Nous allons nous contenter d'iiidiquor le principe de la mélliode employée, sans entrer dans des détails sur les sini[dillcatiuns que Ton peut y apporter. Supposons par exemple I)<;7; sinon on remplacerait D par son résidu minimum (mod. p). La loi de réciprocité donne mais si nous désignons par p le résitlu niininiuni do p (mod. D). on a iO - ^ On (>st donc ramoné à caloulcr un symliolo analogue, mais dans lequel les doux termes sont resj)oolivomonl inférieurs ;i ceux du symbole proposé; on pourra conliiuior île nn^mo, jusqu'il co (ju'on arrive à des nombres Iros simples. 11 faut romar(iui'r (jne la loi do réciiirocité ne s'appliquo (juaux LOI DR RKCIPROCITE 101 nombros impairs ; par suilf, si p' par rxi'iiiple osl pair, nu devra li' décompitser en un [Udduit tlnii facteur impair ot d'uiit^ puissance do -2. Si l'cxposanl do colle puissance csl impair, ou devra appliquer la rô^le qui donne le caractère quadratique du nombre 2. On peut aussi éviter d'avoir à écrire des nombres pairs, en prenant tantôt le résidu minimum positif, tantôt le résidu minimum négatif; pour un module impair, l'un des deux est toujours impair. Mais on di'vra se servir du caractère (|ua(liali([ue d(! — i, ou bien de la loi de réciprocité généralisée pour les nombres négatifs; si Ton pose par définition &-&^ p étant positif et D positif ou négatif, on constale (|uo la loi de réri- procité s'exprime par la formula 9/ \P t et r, étant rospectivemcnl égaux à 1 ou h zéro suivant (juo p et q sont positifs ou négatifs ; en d'autres termes la loi de réciprocité subsiste, à moins que les deux nombres p et ç ne soient négatifs. Va\ combinant les remarques précédentes, on arrive très simple- ment au résultai. Soit par exemple à trouver la valeur de ( ) • ^ ^ V 875 / On a 480 =-- 2-. 109; donc '43G\ _ / 109\ 875 / "^ \875/ ' D'ailleurs 100 ^ .i.27 -f- 1 ; donc /m\ _ /875\ _ /8.109 + 3\ _ 1 Ji_\ \875/ \109/ \ 109 / VÎ09/' et puisque 109 est di' la forme An -h 1 : /J_\ _ /109\ _ /V Il 097 ~ \ 3 / 1.3- Donc .436\ 875,) = ^^ 102 THEORIE DES NOMBRES Il l'itut ifiiiaKim r que, STo nûlant pas premier, ce symbole ri"a pas de signification quadratique ; on aurait donc pu procéder autrement, en décomposant en leurs facteurs premiers le numérateur et le déno- minateur. On a de cette maniéie .43G\ _ /2M01>\ _ , 1U!)\ / 10!l\ _ / 'A / A\ 877; / ^ \1^KÏ~) ~ \ir / ' \~T) " \?J ' ',7 / 1 CUAl'irUK v DÉCOMPOSITION DES NOMBRES EN CARRÉS. — APPLICATIONS I. — Formes en général. - Sommes de carrés. 47. l'ii tli'S probli'mes los plus iinpoilauls df la théorio des iioni- bit'S esL celui de la représentation des nombres 'par les formes. Nous ne pouvons pas songer ici à parler de tous les travaux auxquels ce problème a donné lieu; nous allons simplement en étudier quelques cas simples, choisis de manière à constituer une application immé- diate des théories précédentes et à conduire à dos notions nouvelles intéressantes. On sait que l'on désigne en Algèbre sous le nom de forme tout polynôme homogène ; on distingue dans une forme deux choses essentielles : le degré de la l'orme et le nombre des variables. Los formes des degrés 1, 2, 3, 4 sont dit(>s linéaires, quadratiques, cubi- ques, biquadr a tiques; les formes à deux, trois, quatre variables sont dites binaires, ternaires, quaternaires. Ainsi ax^ -t- byzt est une forme cubique quaternaire ; a et b sont les coefficients do la forme ; x, y, z, t les variables. Une forme à coefficients réels est dite définie lorsqu ell(> garde toujours le même signe, quelles que soient les valeurs réelles attribuées aux variables ; une forme peut être définie positive (par exemple x- -hy^) ou définie négative (par exemple: — x^ — y^ — z^); une forme non définie est dite indéfinie. Une forme indéfinie peut pour des valeurs réelles des variables prendre une valeur réelle quelconque donnée à l'avance ; 104 THÉORIE DES NOMBRES une forme définie peut prendre toutes les valeurs d'un certain signe et celles-là soulemont. ISous avons rappelé ces définitions parce qu'elles subsistent en Arithmétique ; sfulement, ou suppose essentiellement que les coeffi- cients des formes sont des nombres entiers (positifs ou négatifs) et que les variables prennent seulement des valeurs entières. Dés lors, la valeur numérique de la forme est toujours un nombre entier ; de plus, il est facile de s'assurer, qu en général, cela ne peut pas être un nombre entier quelconque ; par exemple, la forme x^ -i- 27* ne prend jamais la valeur o quelles que soient les valeurs entières de X et de y. Le problème de la représentation des nombres par les formes est dès lors le suivant : étant donnée une forme, trouver les nombres entiers auxquels elle peut devenir égale (pour des valeurs entières des variables, bien entendu) ; on dit que ces nombres peuvent être représentés par la forme. Avant d'étudier des cas particuliers de ce problème, nous allons présenter quelques remarques sur le cas général. 48. On se propose de rechercher quels sont les nombres suscep- tibles frêlro représentés par la forme de degré n '^[x, y, z). Soit Ao l'un de ces nombres : Ao = ?(a'o, î/o, -o)- On aura, /.■ désignant un entier quelconque, A;"Ao = cp(/:Xo, %„, kz^), c'est-à-dire que de la représentation du nombre A^, on déduit une représentation du nombre A"Ao. Cette dernière représentation est dite impropre ; on donne inversement le nom de représentation propre à toute représentation dans laquelle les valeurs des variables sont des nombres premiers entre eux dans leur ensemble. 11 est clair qu'une représentation propre ne peut être déduite d'une autre par le procédé employé tout à riieure; au contraire, toute représentation impropre peut être déduite de celte manière d'une représentation propre et d'une seule. On en conclut qu'il suffit d'étudier les repré- sentations propres. Par exemple pour trouver toutes les représenta- tions possibles du nombre p'"q"\o {p ot q étant des nombres pre- miers l't .\„ nétaul divisible par la luiissance »•'«'""' d'aucun nombre DÉCOMPOSITION DES NOMBRES KN CARRÉS 105 l>iviiiifi ) par la rnnuf d,' dr'j:vv n : 'j [x, y, :;), il suflira de cIkm'cIici' k'S it.'i»rOst.'iilali<»ii> propres des nombres p'"q"\, p"9"A.„ , c, d sont [iiemiers entre eux. Nous i)OUvons remplacer a, b, c, d par leurs résidus minima absolus par rapport à p ; nous désigne- rons pai' a', h\ c\ d' ces résidus inférieurs ou au plus égaux à — J P ils ne peuvent être tous les quatre égaux à — puisqu us sont pre- miers entre eux; on a donc a'2 -4- /r- + c"- -^ d" < 4 ("1 le signe < excluant légalité. yOn suppose p "> 2 ; 2~1--^1- est la somme de deux carrés). Donc on peut poser (1) a'- -+- /y- + c'- + d'- = pp\ p' étant inférieur à p; si p' était égal ;i 1, on aurait mis p sous la l'orme de la somme de quatre carrés ; supposons p' >- 1 et soient a' _ oip', // — y, c' — Tp', d' — Zp' les résidus minima absolus de a', b\ c', d' par rapport à // (ils ne sont pas tous nuls, sinon a, é, c, d ne seraient pas premiers entre eux) ; on a (2) (a' - ap'f + (// - <^p'Y -+- [c' - yp'f + (d' - Zpy = p'p\ }i" étant inférieur à p' et par suite inférieur à p. Kn multiiilianl membre à membre les égalités (1) et (2), on obtient A2 _|_ B'^ -h C- -h I)^ = pp"p" avec \ = a'^-\-b''+c''-i-d''-{a'oL+b''i-}-c'';-hd'c]p'=p'Îp-a'7i-b'3-c'':-d'o , B = (lj'a—a"^—c''(+d'o)p', C = (c'a— r/'Y— rf'P4-A'o)p', 1) = {d'oL—a'ù—b'y+c'^)p\ DÉCOMPOSITION DKS NoMiiUKS KN CARHKS 407 c'»'Sl-à-(liie ilt'S N.ilt'iiis (If la luiiu"' A = a"/}', li =r //'//. C c"p', I) d"p' . On on conclut (:\ a ' • /r-^c" -hd"' = pp", ('•galilo di' la nii-m»^ fol luf qiio (1), mais où p" csl inlVrirur ii />' : ~-i p' n'osl pas «'gai h un, on opérera de mémo, ol on oblicndia une sérit' d'égalités : a'"- -i- h'"^ - r'"- -\- d'"^ = VP' ' fil -^ />;, 4- cf, -t- df, = pp,„ ;/', p\ p", p„ étant des cnliors d(''croissants et lUi pouvant être nuls; il arrivera nécessairement que l'un d'eux sera égal à l'unité, et l'égalité correspondante prouvera que p est la somme de (|ualre carrés. 50. 11 est maintenant facile de démontrer que tout entier est la somme de quatre carrés au plus. Il sufllt pour cela de faire voir que tout nombre premier e9:i la somme de quatre carrés au plus. Nous allons le montrer pour les nombres premiers de la forme An -h 3 ; nous verrons ensuite que tout nombre premier de la forme An -f- 1 est la somme de deux carrés. Enfin on a déjà remarqué que 2 est la somme de deux carrés. Soit p un nombre premier de la forme An -+- 3 ; considérons la série des nombres 1.2.3 ;) — 1 . Le premier, 1, est résidu quadralique de p ; le dernier, ;) — i, est non-résidu ; il y a donc certainement dans la suite nn résidu a suivi d'un non-résidu a h- 1 ; — 1 étant non-résidu île /;, — a — 1 est résidu ; on peut donc trouver des nombres t et u satisfaisant aux congruences t- E^ a (mod. p), w^ ^ — X — 1 (mod. p). On en conclut /- + î<^ H- 1 = 0 (mod./)). Donc p divise la somme de trois carrés premiers entre eux /- -M/2 -h 1 ; donc p est la somme de quatre carrés au plus. Il est bon de remarquer qno p. nombre premier de la forme 108 THÉORIE DES NOMBRES An + 3, ne peut pas être la somme de deux carrés; en effet, si Ton avait p = (■■^ ^ u'-, on en conclurail l^ ^ OL (mod. p), it- :^ — 7 ('mod. p\ et par suite — 1 serait résidu quadi aliquo do /?, ce qui est im- possible. Ceci nous montre que les nombres premiers q de la forme An -+- 1 sont la somme de deux carrés, à V exclusion de tous les autres; en effel, — 1 est résidu quadratique ; donc lacongruence x--\-V ^0 {mod. q) a une racine, c'est-à-diro : q divise la somme do deux carrés pre- miers entre eux. Cette propriété dos nombres premiers q de la l'orme An-\-i est si importante, que nous croyons devoir en donner plusieurs démons- trations, d'ailleurs intéressantes par elles-mêmes. Elles sont toutes fondées sur ce qu'un nombre divisant la somme de deux carrés est lui-mômo la somme de deux carrés ; ce (jui les distingue, c'est la manière dont on obtient la somme de deux carrés divisible par le nombre premier An -i- 1 . Le théorème de Wilson nous en fournil imnié'dialement une. Soit en etfet q — An -\- 1 un nombre premier ; on a 1.2.3 4«-^l =0 (mod. q). Mais 1 ^ — An (mod. q\ 2 = — (4n — 1) (mod. 7), 2n ^ — (2n -h 1) mod. q). Ces congruences étant vn nombre pair, on obtient, en b^s multipliant membre à mtmibre, 1.2 2» =(2»-^l)(2rJH-2) 4» [mod. q). Le lliéoromo de Wilson se trouve dès lors exprimé parla congruence [1.2 (2??— I)2»/-|-1 =0 [mod. q\ qui exprime bien (|uo 7 divise la somme de deux carrés. DECOMPOSITION DES NOMBRES EN CARRÉS 1((',) 51. l'iit' auln- (IfiiKnistiMlioii. iliic ;i .M. Siiiilli, lait a[)pL'l ;i dos considérations toutes diflércnles. Considérons uni' Traction continue limitée, dans la■ 1). Ceci posé, M. Smith a cherché à représenter un nombre quelcon- que P par une fonction F, dans laquelle a, est supérieur à l'unité. Dans mit' fraction continue limitée, on peut toujours supposer a„:^i, ou bien f/„ = li*;; je ferai la première hypothèse. Ceci posé, la fraction continue dans laquelle Ux et a„ sont supérieurs à 1, ne peut provenir que d'une fraction ordinaire ayant pour numérateur p et p(jur dénominateur un nombre q inférieur à -^ et premier avec }). SniL (a,, fl., . . ., u„) f) («2, ...,««) q On aiua (g,,, a„_i, ■ . . r<,) _ ^ (a„_,, . . ., (t\ q' et q' sera i)our la même raison que q, premier avec p et inférieur à -—. On fait ainsi correspondre à chaque fraction— une fraction — ;- - 9 y présentant les mêmes quotients incomplets dans 1 ordre inverse. 11 peut se faire que l'on ait q z= q \ alors, mais seulement alors, les termes équidistants des extrêmes seront égaux ; c'est ce qui arrivera nécessairement si le nombre des nombres inférieurs à — et premiers avec/9 (en excluant l'unité (jui ne donne rien) est impair: car ces nombres se correspondant deux à deux, il y en aura nécessairement un qui se correspondra à lui-même. Tout nombre p satisfaisant à cette condition peut être représenté par une fonction F dans huiuelle les quotients incomplets équidistants des extrêmes (*) l'oiir ci'Iii, liicii l'iilriiilii, il [icui elle iK'-CL'Ssaiiv do rliaiiiiiM" d'imr uiiilc la v:ili'ur ? NOMBRES 114 THEORIE DES NOMBRES , l\2 /1\2 1 égale à (-+(-1=-, et comme la norme d un produit est égale au produit des normes des facteurs, on en conclut que la norme de 'ac-hbd .(bc — ad =[: d- \c^ -i- d — x^i\ ,, , ,,, — y di 1 est au plus égale ù â(^^~^^^)- Il est inutile d'allerplus loin ; nous sommes assurés qu'on pourra transporter ici sans modification l'algorithme du plus grand com- mun diviseur et toutes les conséquences qui s'y rattachent, en par- ticulier la théorie des nombres premiers, définis comme n'admettant pas d'autres diviseurs que les unités et leur quotient par les diverses unités ; par exemple a -+- bi est divisible par : a -h bi, — a — ôi, t, — ai, — b -+- ai. Ces quatre nombres sont dits associés. "Si Ton considère deux nombres associés comme équivalents, on démontre que tout nombre ne peut être décomposé en facteurs premiers que d'une seule manière. 53. Nous pouvons maintenant démontrer le théorème fondamen- tal, qui nous permettra de trouver immédiatement les nombres pre- miers complexes : Pour qu'un entier complexe soit premier, il faut et il sujjil ijuc sa norme soit un nombre premier réel. La condition est suffisante ; car si l'on a a ~\- bi = [r 4- si)[u -+- u/), on en conclut a' + b'- = (r^ -+- s'-) {u^ + u») ; donc a -\- bi ne peut être premier que si a^ -t- b- lest. 11 est à peine utile de remarquer que l'on suppose r^ 4- s^ et u- -+- r' dillerents de l'unité ; sinon r -\- si et u -\- vi seraient di^s unités complexes. Réciproquement, si a -h bi est premier, a — bi l'est aussi ; je dis qu'il en résulte que a* -i- b^ est un nombre premier, au sens ordinaire du mot. lui ell'et, si a- -t- b'^ avait un diviseur, celui-ci serait décomposai)!!' en une somme de deux carrés ; on aurait donc (a + ^/j((/ — bi) ■ ^ [a'^ -+- b^) — {r^ -+- s%u^ -t- u^] = (r -f- si){r — si){u -h vi)[u — vi). DKCU.MI'osnidN l»i:.S N(ao -i- ^y) + n'o, La fiirme f = a'x'^ H- îLb'x'y -^c'y"- s'appelle la forme (ransfor mée de / = ax"^ -^"Ibxy -f- cy^ par la siibslitul'ton {l . ([u'i-in reju'é- DKCOMPOSITION DES NOMBRES KN CARRKS HT sente souvoiil (ruiie niaiiii rf ahiûgL'c par le syniboh^ 3^ S = et on éciil svnil)oli(|Ucnirnl Il est clair que si l'on suppose a, liJ, •/, o enlioi-s et si l'on donne (les valeurs entières à a-', //', il en résulte des valeurs entières pour X, y. Par conséquent, tout nombre qui peut èlre représenté par f peut aussi être représenté par f. Mais la réciproque n'est généralement pas vraie. En efl'et, si l'on ne fait aucune liypothèse particulière avec «, p, y, o, les formules (1) peuvent bien en général être résolues par rapport à ./•', y\ mais les valeurs ainsi obtenues, ox — i y \ a5 — 3-' (-2) ] , a?/ — -{X I y = -z — ^' ao — 3-, ne font pas toujours correspondre à des valeurs entières de x et de y, des valeurs entières de x\ y' . On voit même que pour que a', ?/' soient certainement entiers (|uand X et y le sont, on doit supposer (a8_^v)ï=l. Lorsque cette condition sera véritiée, les deux formes f cl f sciont dites équivalentes. Tout nombre représenté par l'une d'elles peut aussi être représenté par l'autre ; connaissant les valeurs des varia- bles qui correspondent à la première de ces représentations, on pourra, à l'aide des formules (1) ou (2), calculer les valeurs qui correspondent à la seconde. Remarquons que l'on peut avoir, soit soit a5 _ pY — — 1 . Dans le premier cas, les deux formes sont dites proprement équi- valentes; dans le second cas, improprement équivalentes. Les substitutions correspondantes sont respectivement dites pro- pres et impropres. On voit l'intérêt que présente la question de l'équivalence des for- W^ TIIÉORIR DKS NOMBRES mes, an ]»oiiil (lo vuo do la ropréseiilalioii dos iiomljii'S. Il '-si faoili' d'indiquer une condition nécessaire pDiir quo doux formos soiont ôqui- valcntes, il osl moins aisé do frouvor los conditions néccssaiios ol suffisantes. Cotte condition nécessaire nous est fournie par la pro- priété d'invariance bien connue que possède le discriminant d"uno forme quadratique. On appelle déterminant d'une forme ax^ -+- 'ibxy -t- cy^ lo discriminani changé de signe : D = 6^ — ac. On sait (jue si Ton remplace los variables t oI y par d'autres variables a', y' au moyen d'une substitution X = 'j-x' -+- p?/, y = 'ix' + ly\ on n D' = b'^ — a'c' = [b^ — ac)[oi?, - ^7)^, on désignant par a', b\ c' lescoellicienls do la forme en x\ y'. Si, on particulier, elle est équivalente à la forme doniiéo, on a (.8-^7)^ = 1 et par suite //2 — a'c' = //- — ac. Deux formes équivalentes ont des déterminants égaux; il est aisé de s'assurer que la réciproque n'est pas toujours vraie, c'est-à-dire que deux formes peuvent avoir des déterminants égaux sans être équi- valentes. 55. Ce qui donne surtout d(^ rim]iorlanco à la théorie {\r l'éipii- valence, c'est ce fait quo nous allons mctln' en évidence : pour re- chercher si un nombre peut être représenté par une forme, il suffit de savoir reconnaUre si deux formes sont équivalentes ; pour trouver effectivement les nombres qui réalisent la représentation, il suffit de savoir trouver les substitutions qui perm>'ttenl de j^asser irune fn-mc donnée à une autre forme équivalente également do)inéc. Soit en effet m = fli^ -+- 2A?T^ -h cr,^ une représentation propre du nomhn' >n parla forme ax- ~h ilbxy -+- cif- ; DECOMPOSITION DES NOMliRKS KN CARRKS [\\\ ;, T, sont donc siippusi-s picmiois cnlro eux. Il mm;i par comslmjuimiI possible do lr<»uvt'i' dnix nombres ;', r/ vérilianl régalilé ;r, — r,; =1. Cela posé, considérons la substilution (*) KUe transforme visiblement la forme proposée en la l'nrme équiva- lente mx'^ -+- '2,nx']i' + ;)//'-. Si nous désignons par 1) le déterminant h- — ac de la forme pro- posée, on a n- — mp = l). On en conclut n^ ^ D (niod. m). Or n est un nombre enti(M\ donc D doit être résidu quadratique de m ; ou plut(Jt, tout nombre 7h, pouvant (Hre représenté par une forme, doit être tel que le déterminant de la forme soit résidu qua- dratique par rapport à ce nombre. On voit Timporlance du problème que nous avons résolu à la fin du chapitre précédent, à l'aide de la loi de réciprocité ; nous obtenons immédiatement une condition né- cessaire pour la représentation. Cette condition est-elle suffisante ? Supposons-la vérifiée ; nous pourrons déterminer n par la congruence n^ ^ D (mod. m) et ensuite^ p par l'équation n' — D p= , m qui fournira une valeur entière; il faudra alors reconnaître si la forme mx"^ -\- Inxy h- py^ est équivalente à la forme proposée et, dans le cas de l'affirmative, pour avoir s ou r^, trouver la ou les substitutions qui permettent de passer de Tune à l'autre. Nous n'examinerons pas en détail ces problêmes ; nous ne pourrions le faire sans sortir du cadre que nous (*) On peut remarquer que c'est une substitution propre ; on en conclura que Ton peut suljstituerdans l'énoncé précédent et dans ce qui suit : proprement équi- valent à : équirnlenl. 120 THÉORIE DES NOMBRES nous sommes imposé; indirjuons seulemoiil qu'on sait toujours les résoudro au moyen d'un nombre fini d'opérations. Nous laissons au lecteur le soin de démontrer qu'en prenani pour n deux solutions de la congruence n- H^ D imod. m), congrues entre elles (mod. ?«), on n'obtient pas des résultats diflV-- rents ; on obtiendra donc toutes les solutions possibles en prenant puur n les 'Um) solutions incongrues entre elles (mod. m). ALGÈBRE SUPÉRIEURE DEUXIEME PARTIE ALGÈBRE SUPÉRIEURE CHAPITRE PREMIER L'ALGÈBRE ÉLÉMENTAIRE I. — Nombres entiers positifs. 1. Nous nous proposons d'exposer dans les leçons qui suivent la Ihéorie des équations algébriques telle qu'elle a été, à la suite des rechercbes de Gauss et d'Abel, édifiée par Galois ; mais, afin de pouvoir aborder et présenter cette théorie avec toute la netteté dé- sirable, il nous a paru nécessaire de reprendre à ses débuts Taigèbre élémentaire pour préciser autant que possible quelques-unes des notions acquises, et donner aux termes que Ton emploiera dans la suite leur vraie valeur. Nous partirons donc de la définition donnée d'abord pour les nom- bres entiers positifs : on constate qu'avec des objets isolés, qu'on regarde comme identiques, ce qui veut dire qu'on ne porte point l'attention sur les diderences qui existent entre eux, il est possible de former des systèmes ou groupements différents, dans lesquels on regarde tous les objets comme jouant le même rôle. Ces groupe- ments considérés successivement en allant du simple au composé sont dits formés par la réunion de une, deux, trois,... unités, en dési- gnant d'une manière générale par le mot unité l'objet choisi, quelle que soit sa nature. 1-24 AI.r.KRRFi; SUPERIEURE Pour étudier les rapports de ces groupements entre eux, il a été indispensable de désigner chacun d'eux par un nom et de le repré- senter par un signe. Les nombres entiers positifs sont précisément les signes ou les noms qu'on a choisis pour cela. Ce sont donc uniquement des symboles par lesquels on représente les systèmes d'unités dont on vient do parler. Le nombre ze?'o, introduit pour la commodité du langage, est égale- ment un symbole qui représente simplement l'absence de tout objet de l'espèce considérée, c'est-à-dire l'absence de toute unité. Si l'on examine maintenant, au point de vue de leur constitution, les divers systèmes que l'on vient de définir, on s'aperçoit qu'ils ont eiilro eux dos relations très simples. Chacun d'eux, par exemple, peut s'obtenir en réunissant lo jtrécédenl avec le système composé d'une unité, et cette proi)riété est souvent donnée comme un moyen (le construire tous les systèmes, dans l'ordre où nous les avons con- sidérés, en partant d'une unité ; de même le système représenté par le nombre 3 s'obtient en supprimant dans le système représenté par 5 un système représenté par 2, etc., etc. Il existe donc dos modes de composition do ces systèmes, c'est-à- dire des moijens de passer de deux d'entre eux à un troisième. Lo plus simple do ces modes consiste dans la réunion do doux systèmes pour en former un seul ; on Tappollo réunion ou addition des systèmes. Le système qui résulte de la réunion de doux systèmes s'appelle leur somme. Nous allons montrer ici que le calcul des nombres en- tiers positifs, tel qu'on l'entend dans les éléments, n'est qu'un déve- loppement purement logique dos propriétés de l'addition, établies par l'étude directe des srjstèmes d'unités. Ajoutons d'abord, pour dé- finir la manière de parler consacrée par l'usage., que Ion convient d'employer pour los symboles qui représentent les systèmes d'unités, c'est-à-dire pour les entiers positifs, le même langage que pour ces systèmes eux-mêmes. Au lieu de dire : le système représenté par le nombre 7 est la somme des systèmes représentés par les nombres 3 et -4, on dira simitlcnuMil : lo nombre 7 est la somme des nom- bres 3 et 4. Pour éviter même l'emploi d'une phrase, on écrit 7 = (3 + 4), l'expression (3 4-4) représentant la somme des nombres 3 ot \ et le signe = indiquant Videnlité des symboles ([u'il sépare. L ALtiKKKE KI.KMKNTAIHK i'2'6 2. Passons maiiil<'ii;iiit aii\ iirn[irii'ti's r<.ii(laiiii'iilali'S de Taddition (Ifs cnliois posilil's, (luv'/m'lli's on arrive, commit il a été di(, par V élude tlirerle ilfx si/slèiih's d'utuiés (* . 1° Si loii dt'liiiit la summi' di.' trois oiiliers a, b, c par légalité a -h A -h c = (rt 4- />j + c, dans laquollo (a -+-6 indi(iiio la somnn' dos nombios a cl h. (Hi a L'galomont a -I- A 4- c =: a H- (/» H- c), ce quoii énonce on ilisaiil : L'addition des entiers est associatioe. :i° Suionl n, h deux entiers positifs; on a [a-\- b) = \b -\- a)\ en d'autres termes : L'addition des entiers est commuta tive. W" L'addition du si/nibole zéro est une addition d'effet nul, c'est- à-dire que l'on a (a-t-0) = a, la propriété distribulivc de la nuilliiilicali(tn. sans même supposer la conunuta- tivité. L ALUKBRK KLP:MKNTAIRE 1-27 A quelqut' point do vu»,' que l'on se place, on peut donc énoncer la proposition suivanto : le produil d'un fulier ijnelcoiviue far zéro est encore zéro. La définition donnéo du produil {(i-à) nionlro d'ailleurs que ce produit n'est zéro que si n (»u /j sont eux-mêmes zélo. De nif^me ((ue l'on a rcprésenlù par a.l, aM, a. 3, etc. les sommes a, a -h a, a-\- a -}- a, etc., il est commode d'introduin' uiu' nouvelle iiotalinn [lour représenter los produits a, a. a, a.n.n, etc. On écrit ces produits «', a*, a', etc. Si Ton considère le sym- bole a*" ainsi défini, il est clair qu'on peut le regarder comme résul- tant d'un certain mode de composition des nombres a et 6 ; c'est ce mode qu'on appelle élévation aux puissances. On peut d'ailleurs ajouter, comme pour la multiplication, que ce n'est pas ici un mode vraiment nouveau, mais simplement une nouvelle notation. Les lois qui gouvernent le calcul du symbole a'' s'établissent en [taitanl de sa définition, d'une laçon immédiate. On a d'abord les formules a'', a" = a^'^'\ {a''Y = a''-'\ Ajoutons qu'il existe comme dans les modes de cnni[)osition pré- cédents une opération d'eflet nul, Télévation à la puissance 1. 11 résulte d'ailleurs de la définition même de a* que l'on n'a a'' = a''' que si à = b\ d'où l'on conclut qu'il n'y a ([u'unt; seule opération dollVt nul. Enfin si l'on convient d'étendre au cas où l'un des exposants est nul les lois qui gouvernent l'élévation aux puissances, on aura ce qui définit a° comme égal à 1 quel que soit l'entier a. Nous n'insisterons pas ici sur ce sujet, l'élévation aux puissances ne jouant pas, dans ce quon appelle d'habitude VA/gèbrc, un rôle com- parable comme importance aux deux modes de composition précé- demment indiqués. Remarquons cependant, en passant, qu'il serait possible de conti- nuer dans la voie où nous nous sommes engagés et qu'il serait par exemple utile d'introduire une nouvelle notation pour représenter 128 ALGEBRE SF PERIEURE les nombres a'', a'''', a'''' , etc. en mettant en évidence le rôle 'm'y jouent fl, 6 et le nombre m des exposants h superposés. On pourrait continuer ainsi indéfiniment, mais tout cela est du ressort de l'étude des symboles dits transcendants ; nous ne nous en occupons pas dans ces leçons, qui seront pour ainsi dire uniquement consacrées à Fétude des deux premiers modes. II. — Nombres entiers négatifs. 3. En considérant les entiers positifs nous porterons maintenant notre attention uniquement sur ce fait que ce sont des symboles connus, dont on connaît un mode de composition, l'addition, et les lois qui le régissent. En disant que ces symboles sont connus, nous voulons dire que lors- qu'on a donné un nom à chacun d'eux, par exemple en suivant les régies de la numération décimale, on sait quel est le symbole qui est la somme de deux symboles donnés. On connaît également d'après la manière dont on a déduit la délinition du produit a.b de la définition d'une somme, le produit îa.b) lorscju'on connaît les facteurs a et b. En dautres termes, on peut construire une table carrée d'addition et une table carrée de multiplication pour les entiers positifs ; la se- conde lorsqu'on considère seulement un nombre limité de ces entiers est une table de Pythagorc ordinaire. On pourrait également cons- truire une table d'élévation aux puissances à double entrée comme les premières, les exposants étant sur une ligne horizontale et les bases étant sur une ligne verticale, mais comme nous l'avons fait obser- ver, nous considérerons uniquement, en Algèbre, l'élévation aux puissances comme une simple notation et non comme un mode de composition nouveau. La construction de ces tables est nécessaire et suffisante pour eff'ec- tuer le calcul des entiers positifs, en ce sens qu'elle permet de trouver l'entier ([u'on obtient en ellectuanl sur un entier donné un nombre limité des opérations : addition, multiplication, élévation aux puis- sances. Nous verrons plus loin que ces tables p(>rmettent, théorique- menl du moins, de résoudn^ tous les problèmes qu"i>n i)eut poser sur les entiers positifs lorsque ces problèmes admettent pour solutions des entiers positifs. L ALOKBRE KLEMENTAIRK 129 Par exemple, soil proposé de rechorclier l'entier positif, s'il en existe un, qui mis h la place de x satisfait à la relation a-\-x = b, a et 0 étant des entiers positifs donnés. On consultera dans la table d'addition la ligne ([ui donne les sommes de l'entier a avec un nombre positif quelconque ; si l'entier h ligure dans cette ligne, la colonne dans laquelle il se trouve donnera à son origine le nombre entier cherché. Cette opération s'appellera la résolution de l'équation a-hx = b en entiers positifs. Sinon, il n'existe aucun entier positif x tel que a^ x = b. Ainsi, il n'existe aucun entier positif qui mis à la place de x vérifie la relation a H- a; = 0, ([uel ({ue soit l'entier positif a. 4. Nous avons vu précédemment qu'un système de symboles est connu vis-à-vis de cerlains modes de composition de ces symboles^ lors- qu'après avoir donné un nom à chaque symbole du système, on con- naît le nom du symbole résultant de la composition de deux sym- boles donnés jiarl'un des modes spécifiés ci-dessus. Ainsi, dès qu'on a construit une table d'addition, de multiplication et d'élévation aux puissances des entiers positifs, le système de ces entiers est connu vis-à-vis des trois modes précédents. Il résulte de là que si l'on adjoint à un ensemble de symboles connu de nouveaux symboles auxquels on a donné des noms, le nouvel ensemble sera connu relativement aux mêmes modes de composition, dès qu'on coiinaitra les résultats de la composition des nouveaux symboles entre eux ou avec les anciens suivant les modes considérés. C'est cette remarque que nous allons appliquer pour arriver à connaître l'en- semble des entiers positifs et négatifs. Ajoutons que nous appelons ici composition des stjmboles, toute opération qui de deux symboles donnés conduit suivant des règles bien déterminées à un troisième symbole. Nous verrons qu'il est toujours possible de trouver, et d'un grand nombre de manières diffé- rentes, des éléments ^éome^ri^'ues, mécaniques ou physiques qui, consi- dérés à cerlains points de vue, peuvent être représentés par les sym- boles que nous introduirons; la composition des symboles sera alors l'image d'une composition effective de ces éléments entre eux. Nous en avons déjà trouvé un exemple dans la multiplication et THÉORIE DES NOMBRES 9 130 ALGEBRE SUPERIEURE Télévation aux puissances des entiers positifs qui reproduisent des modes de composition des systèmes d'unités faciles à donner. Nous présenterons d'abord la théorie des entiers négatifs à un point de vue -purement logique, en mettant en évidence les hypo- thèses essentielles de cette théorie ; nous justifierons ensuite l'in- troduction de ces symboles dans les mathématiques, en donnant des exemples d'éléments (ou d'opérations portant sur des éléments convenablement choisis) pour lesquels on peut : 1° Etablir une correspondance univoque et réciproque entre les éléments et les entiers positifs et négatifs ; '2" Définir les modes de composition de ces éléments qui suivent les mêmes lois que les modes de composition des entiers positifs et négatifs entre eux. Tout ceci sera d'ailleurs précisé bientôt. Considérons la relation 1 -}- a; = 0, qui n'est satisfaite pour aucun des symboles connus (entiers positifs) mis à la place de x. Nous ajouterons à l'ensemble des entiers positifs un nouveau sym- bole qui, par dé/inilion, vérifiera cette relation ; nous supposerons d'abord que dans la relation l-h^c = 0 le signe -h indique un mode de composition cie/er/njné des symboles 1 et a?, mais quelconque, c'est-à-dire qui n'est pas nécessairement identique à l'addition déjà définie des entiers positifs. Il est toujours légitime de continuer à appeler addition cette composition, tout en spécifiant que l'addition des entiers positifs doit être distinguée de celle-là. Il est clair que si l'on ne dit rien sur le mode de composition de 1 et X représenté ici par le signe -t-, on ne peut également rien dire sur le calcul du symbole x. Les expressions a + x et a. a-, où a est un nombre entier positif, ne sont, par exemple, aucunement définies, et il en est de même de a;. ar. De l'égalité (i-i-a;) = 0 on ne peut en efîet déduire que les égalités a-\-{l -\- x) = a, a étant un entier quelconque, et (1 H- a:), a = 0, qui montrent que le symbole (1 -+- x) se comporte absolument comme le symbole zéro vis-à-vis des entiers positifs ; c'est d'ailleurs la définition qu'on en a donnée. Nous supposerons que le symbole x se compose avec le sym- bole 1 pour donner zéro, en suivant les lois fondamentales de l'ad- L AI.CiKHHli ELEMENTAIRE 131 dition des nomhros entiers /lusitifs. Je tli< ([ue celle liypulhèse per- mcllra le c.ilciil tlii symbole x, calcul qirou pnuria dès lors considérer comme connu vis-à-vis de l'addition. D'abord la propriété do l'addition énoncée en quatrième lieu montre que le symbole x défini par (1 -t-x) = 0 est unique. La commutativité prouve qu'on peut écrire ( 1 4- a-) =r i^x = {x-hi) ^0. Enlln on a, puisque l'addition est associative, aH-(l4-x) = (a-i- 1) + j; = «, c'est-à-dire que l'addition d'un entier positif quclconcjuc a+ 1 et du symbole x est délinie, la somme obtenue étant a. Les égalités donnent d'ailleurs (a -\-l)-+-x = a, {b-+-l)-+'X = b, (a-t-6H-2) H-x-l-a; = a-h ô, etc., ce qui définit le c«/c?rx + X, etc., on sait ce que représente x.a, a étant un entier positif quelconque. On peut remarquer que ce symbole x.a vérifie l'équation a -\- x.a = 0. Si l'on veut maintenant définir de la manière la plus simple les expressions a.x et x.x, on sera amené ici à supposer qu'il existe entre le nouveau symbole x et les anciens ou ce symbole x lui-même, un mode de composition qui possède les cinq propriétés fondamentales de la multiplication des entiers positifs. i32 ALGÈBRE SUPERIEURE Lacommulalivité do la inulli[>licatioii donnera a.x = x.a. Enfin, pour obtenir x.x il suffira de multiplier par x les deux membres de l'équation de définition 1 h-x = 0. On aura, à cause de la dislribulivité par rapport à Taddition, x.{i-h x) = x-\-x.x =0 ou, en ajoutant le nombre 1 aux deux membres : x.x = i. On continuerait de même pour obtenir les expressions x"\ où m est un entier positif. Remarquons ici que si l'on voulait introduire dans le calcul les expressions a'" et o;^, il faudrait donner un sens à ces symboles qui n'en ont pas jusqu'à présent. On supposerait alors l'existence d"un troisième mode de composition de a et a? ou de x avec lui-môme possédant les propriétés de l'élévation aux puissances. C'est ce qu'on fait effectivement en Analyse, mais, comme nous l'avons déjà dit, dès que l'exposant b de la puissance n'est pas un entier positif, l'étude du symbole a'' ne fait pas partie do l'Algèbre. En résumé, en faisant sur le symbole x, qu'on introduit, l'hypo- thèse qu'il se combine avec les entiers positifs et avec lui-même suivant deux modes différents : l'un possédant les quatre propriétés fondamentales de l'addition, l'autre les cinq propriétés fondamen- tales de la multiplication, on peut affirmer que la relation l-hx = U suffit à définir le calcul de x d'une manière unique et bien détermi- née relativement aux deux modes de composition : addition et mul- tiplication. On peut remarquer qu'avec le symbole x sont introduits tous les symboles de la forme a.x, et la relation x.a? = 1 permet d'affirmer que ce sont les seuls qu'on introduira ainsi. On donne aux symboles a.x ou x.a le nom de nombres entiers négatifs et on représente le symbole x, défini comme nous l'avons dit, à l'aide de l+x=:0, par le signe ( — 1), qu'on énonce : jnoins un. Les symboles x.a sont alors représentés par le signe ( — l).a. Pour simplifier les écritures, il est commode d'écrire simplement (—a) au lieu de (—!).« ou môme —a; cela ne peut prêter à aucune ambiguïté, le signe — n'ayant pas de sens pour nous jusqu'à présent. L ALOKBRE P:LÉMENTAIRE 433 5. Ilt'st possible de présenter les opérations qui prccèdenl d'une laçon [)lus nette encore. Lorsque des ohjeis bien définis fonnenl un ensemble possédant les propriétés suivantes : 1" De deux objets de Censemble on peut déduire d'une manière bien déterminée un troisième objet du même ensemble ; 2" La composition des objets considérée est associative; 3° Un même objet associé à des objets différents conduit par cette composition à des objets différents ; on dit que les objets constituent rin groupe. Le groupe est dit limité ou illimité suivant qu'il est possible on non d'épuiser l'ensemble en prenant successivement et dans un certain ordre tous les objets différents qui en font partie. La définition précédente étant donnée, on remarque immédiate- ment que tous les entiers positifs (y compris zéro) constituent un groupe illimité lorsqu'on envisage leur composition par addition. Si Ton exclut le symbole zéro, qui joue un rôle singulier dans la multiplication, on peut également dire que les nombres 1, 2, 3, ... forment un groupe illimité, la composition des éléments étant la multiplication. Ces deux groupes ont une constitution très simple : Tous les éléments du premier sauf zéro dérivent en effet de l'élément désigné par 1 par addition répétée de cet élément avec lui-même. Tous les éléments du second dérivent uniquement des éléments dits nombres premiers, c'est-à-dire s'obtiennent en multipliant entre eux les nombres premiers; c'est ce qu'a établi du moins la théorie de la divisibilité. Nous dirons qu'un groupe est connu lorsque, deux éléments du groupe étant donnés, il est possible de donner l'élément qui en résulte par la composition correspondante. On peut, lorsqu'un groupe est connu, former une table de composition de ses éléments, table nécessairement à double entrée, qu'on appelle table de struc- ture du groupe, et il est clair que, si l'on a construit cette table de structure, le groupe est connu. Dans le cas des entiers positifs, ces tables de structure sont les tables d'addition et de multiplication dont nous avons parlé; en les étudiant on retrouverait aisément les proprié- tés fondamentales de la composition qui ont servi à les construire. 134 ALPtÈBRE SUPERIEURE Etant donné un groupe dobjets, vis-à-vis dun cr-rtain mode de composition de ces objets, on peut se proposer d'étendre ce groupe de façon à ce qu'il renferme un nouvel objet ; d'une manière plus précise on peut se proposer de définir un nouvel ensemble d'objets : 1° Qui renferme au moins les objets du groupe donné et le nouvel objet ; 2° Qui possède les propriétés du groupe relativement à un certain mode de composition des objets, le mode considéré se réduisant au premier lorsque les objets à composer appartiennent au groupe donné. Il est bien évident que pour former ce nouvel ensemble on devra, en général, ajouter plus d'un objet au groupe. On reut remarquer en outre que le nouveau groupe sera connu lorsqu'on aura construit sa table de structure , c'est-à-dire donné les résultats de la composition des nouveaux objets avec les anciens et des nouveaux objets entre eux, suivant le mode considéré. Il suffit de se rappeler comment nous avons introduit les entiers négatifs pour voir immédiatement que c'est précisément ce problème que nous avons résolu. Nous avons en effet constitué par l'ensemble des entiers positifs et négatifs un nouveau groupe, la composition des éléments étant l'addition des entiers, ou, lorsqu'on exclut zéro, leur multiplication. Lorsqu'on considère la table de structure d'un groupe, on constate en général que toutes les relations qu'elle conduit à écrire entre ses éléments sont des conséquences nécessaires d'un nombre limité d'entre elles, qu'on appelle relations fondamentales, et des lois de la composition. Pour introduire les entiers négatifs nous avons ajouté, pour définir le calcul additif, un élément ( — 1) et une relation fondamentale : 1 + ( — 1) = 0, de laquelle la table de structure du groupe peut se déduire en appliquant les lois de l'addition sup- posées conservées. Lorsqu'il s'est agi de définir le calcul multi- plicatif, il a suffi alors de supposer conservées les propriétés fonda- mentales de la multiplication : commutativité et distributivité. A l'égard des groupes formés par les entiers positifs et négatifs, composés par addition ou par multiplication, on remarque que les opérations considérées étant commutai ives, la table de structure sera symétrique par rapport à une diagonale. De tels groupes sont dits^ro«/jes abéliens. L ALOKBRR EF-EMENTAIRR 135 6. Nous venons d'iiitiodiiiie dans le calcul, à un puint de vue purement logique, les entiers négatifs ; nous allons montrer l'utilité de cette intro- duction, c'est-à-dire lèriitimer pratiquement l'étude de ces symboles, en donnant des exemples d'éléments ou d'opérations portant sur des éléments déterminés) pour lesquels on peut définir un mode de composition possé- dant les propriétés de l'addition, un autre mode possédant les propriétés de la multiplication, et établir une correspondance univoque et réciproque avec les entiers positifs et négatifs. D'une façon plus précise : 1° A chaque élément correspondra un entier et un seul et réciproque- ment ; 2" A des éléments différents correspondront des entiers différents ; 3° A la somme et au produit de deux éléments correspondront respec- tivement la somme et le produit des entiers correspondants. Parmi ces exemples, l'un des plus simples nous est donné par la Géométrie. Considérons une droite indéfinie sur laquelle nous supposons fixé un sens de parcours que nous appellerons sens positif; nous prenons sur cette droite un serjment déterminé OA parcouru dans le sens positif. Nous convenons de considérer comme équivalents, c'est-à-dire de repré- senter par le même symbole deux segments de même longueur et de même sens, quelle que soit leur position sur la droite. Nous ferons correspondre le segment OA à Tenlier 1, le même segment décrit en sens inverse à l'entier — 1. Si nous définissons alors la somme de deux segments comme le segment qui a pour origine l'origine du premier et pour extrémité l'extrémité du second, après qu'on a fait coïncider T origine du second avec l'extrémité du premier, on voit que la correspondance an- noncée entre les segments ainsi construis à l'aide du segment OA par- couru dans un sens et dans l'autre et les entiers positifs ou négatifs est as- surée. Le calcul additif des segments est alors idonliijue à celui des entiers. Si maintenant on définit le produit de deux segments comme un segment composé avec l'un d'eux comme l'autre est composé avec le segment OA, on a défini une multiplication des segments qui représente celle des entiers. On peut remarquer que le segment correspondant à zéro est celui dont l'origine et l'extrémité coïncident. III. — Nombres fractionnaires. 7. L'introduction dos nombres fractionnaires se fait suivant les mêmes principes que celle des entiers négatifs. Nous partons de la relation a.x = 1, où a est un entier positif ou négatif, mais différent de d= 1 et de zéro. Dans le cas où a = ±: 1, il existe en effet un symbole entier ± 1 qui vérifie la relation a.x ^^ 1 ; dans le cas a = 0 il n'existe aucun entier 136 ALGEBRE SUPERIEURE qui mis à la place de x vérifie a.x = 1 ; nous écarterons ce der- nier cas de nos considérations à cause du rôle singulier que joue zéro dans la multiplication. Soit donc la relation a.x = 1, a étant choisi comme il a été dit ; il n'existe aucun entier qui mis à la place de x vérifie cette relation. Nous introduirons alors un nouveau symbole x qui, par dé- finition, est tel que l'on ait a.x = 1, c'est-à-dire qu'il existe un mode de composition du symbole x et du symbole a, mode que nous appellerons multiplication, et qui conduit au nombre 1. Pour permettre le calcul du symbole x, c'est-à-dire former des tables d'addition et de multiplication du symbole x avec lui-même et avec les symboles déjà connus, nous supposerons d'abord qu'il se compose avec lui-même et avec les entiers suivant un mode pos- sédant les propriétés fondamentales de la multiplication. Nous ex- ceptons bien entendu la propriété distributive, puisque nous n'ad- mettons d'abord qu'un seul mode de composition. On peut conclure de cette hypothèse qu'il existe un seul sym- bole X tel que l'on ait (a.a?) = 1 et l'on peut définir le produit de ce symbole par un entier quelconque b, à l'aide de la suite d'éga- lités b.{a.x) = {b.a).x = {a.b).x = a.{b.x) = b. On aura de même {a.x). [a.x) r= a.x. a.x = {a.a).{x.x) = 1, ce qui donne a^.x^ = 1, en adoptant la notation x.x = x-. On peut donc calculer x'" lorsque m est un entier positif. Supposons maintenant l'existence d'un second mode de compo- sition du symbole x avec lui-même ou les entiers, possédant les propriétés fondamentales de l'addition, la multiplication étant dis- tributive par rapport à ce mode. Si l'on conserve le signe -f- pour indiquer ce mode de composition, de la relation (a.x) = 1 on peut déduire {a.x) -h {a.x) = a.{x-{-x) = 2, ce qui définit x-\-x d'une manière unique. La définition montre d'ailleurs que l'on a X -^ X = .r . 2 = 2.3", puisque n.(2.a-) = 2. {a.x) = 2, L AI/JKRRE KLEMENTAIRI-r 137 c'ost-;i-dire que le symbolo x -h x coïncide avec un symbole déjà connu. On verrait également que la relation {a . x) -i- {a . b) = a.{x -h i) définit le symbole {x -f- b). Il résulte de là que l'on sait composer le symbole x soit avec lui-même, soit avec les entiers par voie d'addition ou de multiplication ; en d'autres termes, le calcul du symbole x est connu. On peut remarquer que l'on a toujours x.O = 0.x = 0, c'est-à-diro que la multiplication par zéro reste singulière. L'ensemble dessymboles b.x"'-\- c, où 6, c sont dos entiers quel- conques et m un entier positif, ronformo tous les symboles déduits de X par les modes de composition précités. On peut dire que cet en- semble constitue un groupe illimité d'éléments, soit au point de vue de la composition additive, soit au point de vue de la multiplication. Les relations fondamentales de ce groupe dérivent toutes des lois qui régissent ces modes de composition et de la relation fondamentale [a.x) = 1 qui dé finit x. Il est commode d'introduire directement le symbole x dans le calcul et d'abandonner alors la relation fondamentale qui le définit ; on le fait en donnant un nom à ce symbole. On l'appelle inverse de a et on le représente par un signe qui rappelle son origine '• (- ) ; on a alors par définition «•(— ) = 1- Nous appellerons cela ea:- pliciter le symbole ; c'est en effet donner un signe explicite pour re- présenter un élément défini par une relation implicite. C'est l'opé- ration déjà faite lorsqu'on a désigné par {—a) le symbole qui vérifie cc + a = 0, a étant entier positif. Pour simplifier les écritures on écrit souvent 0 .{ — ) = — ; \a/ a cela ne présente évidemment aucun inconvénient, - n'ayant jusqu'à présent aucun sens. L'entier a n'ayant pas jusqu'alors été fixé, on peut supposer qu'on prenne successivement pour a tous les entiers positifs ou négatifs. P On introduira ainsi tous les symboles de la forme — ^ oii p et q sont deux entiers quelconques ; ce sont ces symboles qu'on appelle 438 ALGEBRE SUPERIEURE les nombres rationnels. 11 est à remarquer que tous les symboles ainsi introduits ne sont pas distincts, et que si l'on a p = m.p', q ^ m.q\ on en déduit q q'' Si Ton veut ne pas introduire de symboles inutiles, il faudra faire Tinlroduction des symboles séparément , c'est-à-dire après avoir in- i troduit le symbole — , par exemple, n'introduire un nouveau sym- bole que si la relation qui doit le définir n'est vérifiée pour aucun des symboles déjà introduits. On reconnaît immédiatement qu'il est nécessaire et suffisant d'introduire les symboles définis par la rela- tion p.x = 1, p étant un nombre premier quelconque, c'est-à- dire les inverses des nombres premiers. Cotte remarque résulte d'ail- leurs de la constitution du groupe formé par les entiers positifs et négatifs vis-à-vis de la multiplication. 8. Si l'on admet pour les nombres rationnels l'existence des deux modes de composition : addition et multiplication, le calcul de ces nombres est complètement défini et connu relativement à ces deux modes. Par exemple, si l'on a a.x = a, a, a, 6, P étant des entiers quelconques, il en résulte a.b.x = a. 6, b.a.y ^= p.fl, c'est-à-dire {a.b).{x + y) = (a^»-+-^«), ce qui définit la somme de deux nombres rationnels x et »/ : (aô + pa) On aurait de même a.x.b .y = a. j5 ou (a.6).(ar.j/) = a.p, ce (\u\ donne ir y) - <-^'. L ALGÈRRR ÉLÉMENTAIRE 139 Fnfin nous pouvons ajoulor (jue si Ton considi'^rc uiio ri'lation (1(^ la forme a étant un en- tier quelconque et n un entier positif. Cela se présente également lorsqu'on considère des systèmes d'unités A dans lesquels l'unité A est elle-même un système d'autres unités B. Si l'unité A est composée de p unités B, il sera possible de représenter dans le domaine où l'on se place les opérations qui correspondent au calcul additif des fractions de la forme - et les multiplications des entiers P par ces fractions ; mais il sera impossible de représenter par exemple la multiplication de — et — • P P On aperçoit ici la différence essentielle entre une étude d'éléments réels au point de vue de leurs modes de composition et l'étude de symboles possédant ces modes de composition. Alors que la première est sujette à une foule d'irrégularités provenant de l'cnsemliie d'éléments que l'on con- sidère, irrégularités qu'il faut trouver, la seconde est le développement na- turel et logique des hypothèses faites et ne présentera jamais de difficultés. III. — Polynômes à une variable. 10. On appelle ■polynôme enlier en x de degré m, tonte expression do la forme a-\-bx-{-cx^-h ■■■ -hlx"' dans laquelle «, /»,... / sont dos nombres rationnels déterminés, positifs ou négatifs, le nombre L ALGEBRE ELEMENTAIRE 141 / étant dilTérent de zéro, et x un nombre rationnel qu'on laisse à dessein indéterminé. Nous appellerons d'une manière générale variable un symbole qu'on peut cboisir d'une façon arbitraire dans un ensemble de symboles cotinus, et nous dirons que le polynôme pré- cédent est un polynôme à une variable x. Lorsqu'on remplace, dans le polynôme, x par un nombre rationnel déterminé, le polynôme devient aussi un nombre rationnel déterminé et qu'on sait calculer. 11 est facile de voir qu'un polynôme donné ne peut devenir égal à un nombre rationnel quelconque pour un choix convenable du nombre rationnel x\ par exemple le polynôme à deux termes ou binôme ar^-f-l ne peut devenir égal ni à zéro, ni à — 1, ni à 3, etc. quel que soit le nombre rationnel qu'on mette à la place de a?; donc à tous les nombres rationnels le polynôme ne fait corres- pondre que les nombres rationnels d'une certaine classe. En algèbre élémentaire, étudier le polynôme c'est donner des règles de calcul communes à tous les nombres rationnels de celte classe. Considérons, par exemple, les deux polynômes P =2-^4a;— 9a?^ Q = 3 — 2.r + 00^=* ; lorsqu'on fixe le nombre rationnel x, P et Q deviennent des nombres rationnels délerniinés. Il est facile de former un polynôme qui représente, pour ce même choix de a?, la somme de ces nombres rationnels. Il suffit en cITet de réunir les termes de P et de Q et de réduire les termes semblables, c'est-à-dire renfermant la même puis- sance de X, en appliquant la propriété dislributive de la multipli- cation. Le polynôme ainsi obtenu est R = 5 + 2:c - 9^2 -h ox^ ; onl'appelle somme despolynomes P et Q, et il est clair que quel que soit le choix fait pour x, le polynôme R représentera la somme des nombres rationnels représentés par P et Q. D'une manière analogue il est facile de former un polynôme qui représente, quel que soit le nombre rationnel mis à la place de x, le produit des nombres rationnels représentés par deux polynômes donnés. Si P = 2-h3ar, Q = 3 — ox sont les polynômes donnés, le polynôme cherché est R = 6 — a^ — lox- ; on l'appelle prorfui!^ despolynomes P et Q. 142 ALGÈBRE SUPÉRIEURE Dans les deux cas que nous venons de considérer, on a, pour obtenir le polynôme R, regardé x comme un symbole se compo- sant avec les nombres rationnels suivant deux modes différents qui possèdent les propriétés fondamentales de l'addition et de la mul- tiplication des nombres rationnels. Le point de vue auquel nous nous plaçons pour considérer les polynômes justifie naturellement ce procédé, puisque x représente pour nous un nombre rationnel indéterminé. Il est bien clair que l'addition et la multiplication des polynômes ainsi définies, possèdent les propriétés fondamentales des mêmes modes de composition entre nombres rationnels ; nous n'y insisterons donc pas. H. Poursuivant l'analogie que présente l'étude des polynômes et celle des entiers, nous considérerons les relations de la forme P4-Xr= Q et P.X = Q, dans lesquelles P et Q représentent des polynômes donnés et X est un symbole assujetti à vérifier l'une de ces relations et à se compo- ser avec les symboles ordinaires : polynômes entiers, suivant les deux modes si souvent cités. On voit aisément que la relation P + X = Q définit toujours un polynôme entier en x qu'on appelle rfî^ere??ce des polynômes Q et P sous la seule condition que les coefjîcients de F et Q appartiennent à un ensemble de symboles dans lequel la soustraction est possible. Il n'en est pas de même de la relation P.X = Q; dans tous les cas on explicite le symbole X défini par cette relation en écrivant et on l'appelle fraction rationnelle. D'après ce qu'on vient d'affirmer, il peut arriver qu'il existe un polynôme entier en x ou un nombre rationnel, qui, mis à la place de X, vérifie la relation donnée P X = Q; on dira dans ce cas que la fraction -• est réductible à un polynouK! ou à un nombre rationnel ; si au contraire cela n'a pas lieu, on a une véritable fraction. Des exemples do ces deux cas sont donnés par les relations L ALGÈBRE ÉLÉMENTAIRE 143 X^—i [x — l).X=u-- — 1), ([ui tluiinr \— -=zx^l X — 1 et (a,-*-h Ij. X = x^ + o^-f- 1, a et w étant des entiers; nousn v insisterons pas non plus. 12. Lorsque a et ^ sont des entiers positifs, h étant inférieur à a, on sait qu'il existe toujours une identité de la forme a = b.q-\-r dans laquelle q et r sont également des entiers positifs, r étant inférieur à b\ on dit alors que q est le quotient et r le reste de la division de a par b. L'extension de cette délinilion aux polynômes va nous permettre d'arriver à des propositions plus importantes : soient A et B deux polynômes entiers en x^ le premier de degré m, le second de degré inférieur n\ si nous posons l'identité en x A = B.Q4-R, Q étant un polynôme de degré m — n et R un polynôme de degré (n — 1), il est possible do déterminer de proche on proche et d'une manière unique les coefficients de Q puis ceux de R; parmi ces der- niers un certain nombre et même tous peuvent se réduire à zéro. Le polynôme Q est appelé quotient et le polynôme R reste de la divi- sion de A par B. Il est presque inutile de remarquer que dans le cas où les coeffi- cients de R sont tous zéro^ le polynôme Q qu'on détermine ainsi est celui auquel se réduit la fraction — introduite précédemment. Ajoutons qu'on dit, dans ce cas, que le polynôme A est divisible par le polynôme B ou bien que B est un diviseur de A. Nous n'in- sisterons pas ici sur les moyens pratiques employés pour déterminer les coefficients des polynômes Q et R dans le cas général; ce qu'il importe de fixer, c'est que si Ton ordonne les polynômes A, B et Q suivant les puissancos décroissantes de a', on aura les coefficients de Q par des relations de la forme ax = b, dans lesquelles x est i44 ALGÈBRE SUPERIEURE un coeffîcient inconnu et a le coefficient du premier terme de B. On n'aura donc à effecluer que des divisions par ce cocfliciont a. Les coefficients de II seront ensuite obtenus par des équations de la forme a + x = ^, a et ^ étant connus et x étant le coefficient inconnu. 11 résulte de là que si les coefficients des polynômes A et B font partie d'un ensemble de symboles dans lequel la division par le coeffi- cient du premier terme de B et la soustraction sont possibles, on pourra affirmer l'existence d'une identité de la forme A = B.Q + R, les coefficients des polynômes Q e/ R appartenant au même ensemble de symboles. En particulier si le coefficient du premier terme de B est le nombre 1, il suftira que la soustraction soit possible dans l'ensemble des symboles où l'on prend les coefficients de A et de B. Considérons par exemple Tun des cas les plus importants pour la suite : la division des polynômes par x — a; l'identité à écrire sera A = (x — a).Q-i-R, et R se réduira à un nombre rationnel. Pour obtenir ce nombre il suffira de remplacer x par un nombre rationnel quelconque; nous choisirons le nombre o, qui a l'avantage de ne pas exiger le calcul de Q. Si en effet on fait x = a dans l'identité précédente le poly- nôme A(a;) devient un nombre rationnel déterminé A(a), Q(x) devient également un nombre rationnel Q(a), dont le produit par zéro est zéro, et l'on a par suite A (a) = R. On peut donc dire : Siun polynôme S.[x) est divisible par [x — a), A (a) est égal à zéro et réciproquement. On verrait aisément que si l'on a également \{b) = 0, le poly- nôme est divisible par [x — a){x — b), etc., etc.. 11 résulte de là que si on considère m nombres a, 6, . . ., / pour lesquels on sup- pose A(a) = A(^) = ••• = A(/) = 0, le polynôme A(a'), supposé de degré r«, pourra s'écrire A(x) = \[x — a){x — b). . .{X — /), X étant un nombre rationnel déterminé. Il est bien clair que ce po- lynôme A(a') ne devient égal à zéro pour aucun nombre rationnel L ALGEBRE KLÉMKNTAlHE Uo (liffôront de a, h /, puisi|iruii piuduit de iiuiubii's latioiinels n'est zéro que si l'un de ces nombres est lui-mt'mc zéro. On peut donc aflirmer (\\\il n existe pas depoli/nome en x de degré m (jui prenne la valeur zi'ro pour m-\- 1 choix différents du nombre rationnel x. Le iMtlyiininr \{x) sera daillcurs CdmidilcniiMit déterminé lors- qu'on d(jnnera en outre le nombre ralioiniel qu'il représente pour un choix de x dill'érenlde a, h, ..., /. écrivons par exemple A(r) = R; on en déduira R = À {r — a)(r — b). . .{r — /), ce qui détermine X d'une manière unique. Un poli/nome de degré m est donc déter-miné par ce fait qu il devient égal à zéro pour m choix différents a, b, . . , / du nombre 7'ationnel x et à un nombre rationnel \{ lorsque x = r. La proposilioii iirécédenle va nous anuMicr à uik; nouvelle pro- priété des polynômes, qui sera dans la suite dune grande impor- tance. Nous avons vu qu'un polynôme permet de l'aire correspondre à tout nombre rationnel x un nouveau nombre rationnel ; nous al- lons établir que la correspondance précédente suflit à. délinir le po- lynôme et de plus qu'une telle correspondance est complètement déter- minée par (m-hl) couples de nombres correspondants qu'on peut prendre arbitrairement. Il suflit évidemment pour cela de montrer ([u.'il existe un polynôme de degré au /tins m et un seul qui fait correspondre aux (w+l) nombres a, b, ..., l les nombres a, jB, ..., A. Ces couples a. a, />».J3,... sont assujettis à une seule condition qui résulte du fait que le polynôme devient pour chaque choix de x un nombre ration- nel 6ien rfc7e/»ii?i^', c'est que si deux des nombres a et b sont égaux, les nombres a et jiJ doivent l'èlrc aussi. Il est bien clair que si cela a lieu, il faut ajouter un nouveau cou[)I(', puisque deux des couples donnés coïncident. La démonstration de la pro[)osilion est immédiate : le polynôme ^ {x — b){x — c)...[x — l) [a — b){a — c)...{a — /) l'ait correspondre aux nombres A, c, ..., / le nombre zéro et au nombre a le nombre i ; c'est d'ailleurs le seul polynôme possédant cette pro- priété, d'après un théorème démontré plus haut. Si on délinitde môme des polynômes B(.r), C{x), ..., L(x), le polynôme de même degré aA(a?) -h pB(j,' + . . . -h lL{x) satisfait aux conditions imposées, c'est- à-dire est de degré au plus égal à m et fait correspondre aux nom- THEORIE DES .NOMBRES 146 ALGEBRE SUPERIEURE bros a, b, ..., / les nombres a, ;î, — À. Il est le seul possédant cette propriété, car sil en existait un second, la différence de ces deux polynômes serait de degré m et ferait correspondre aux (m -r- 1 ) nombres a, b, ..., / le même nombre zéro, ce qui a été démontré impossible. On peut donc dire que la correspondance établie par un polynôme entre les nombres rationnels caractérise le polynôme et de plus qu'elle est complètement donnée par (m + 1) couples de nombres correspondants. Il convient de faire observer ici que le degré du polynôme qu'on vient de construire n'est pas nécessairement m, mais peut être in- férieur à m. Si par exemple les nombres a et a sont associés de telle sorte que la correspondance puisse être donnée par un poly- nôme de degré inférieur à m, c'est ce polynôme que Ion obtiendra d'après la règle précédente. Ainsi le polynôme qui fait correspondre aux nombres 1, 2, 3 les nombres 0, 1, 2 est le binôme x — 1 ; il est aisé d'ailleurs de le vérifier sur la formule {x — ±){x — 'à) {x — ^)[x — ij ^{x — i){x — ^i = x-\ (l-2)(l-3) •(2-3j(2-l) ^(3- 1^(3-2) La formule f{x) = a.k{x) + ^B(a:)-i- -h ÀL(a*) qui donne un polynôme f[x), de degré au plus égal à m, tel que f{a) = ^, f[b)=^p /(/) = À est connue sous le nom de formule d'interpolation de Lagrange. IV. — Divisibilité des polynômes. 13. Nous allons maintenant exposer rapidement comment on a pu étendre, aux polynômes entiers en x, les notions correspondant à la décomposition des entiers en facteurs. Dans l'étude des entiers po- sitifs on a remarqué que le produit de deux entiers positifs est en- core un entitT positif, et on a été conduit par là à rechercher si tout entier peut être regardé comme le produit de deux entiers. La réponse négative à cette question a permis de séparer en deux classes les entiers positifs ; dans l'une on a mis les nombres qui n'admettent d'autres diviseurs queux-mêmes et l'unité cl qu'on a ap- pelés nombres preynier.'i, les autres ont été nommés nombres oowpose.*. 1. Al.fŒBRE KLÉMENTAIRE 147 On a iiiiiiiliL' 'iir de A ; on va montrer qu'étant donné un polynôme entier f(x) il est possible de reconnaître si ce polynôme admet des diviseurs et dans ce cas de les trouver par un nombre limité d'opérations. Supposons le polynôme f{x) de degré in ou iin + 1 ; il est clair ([u'il suffira de trouver tous les polynômes de degré n au plus qui divisent f{x) ; s'il existe, en effet, un polynôme de degré supé- rieur à n divisant f[x), il s'obtiendra en divisant f{x) parle produit de polynômes diviseurs de degré inférieur à ?;. Soit d'abord un polynôme f{x) à coefficients rationnels ; nous pou- vons multiplier ce polynôme par un entier suffisamment grand pour que tous les coefficients deviennent entiers ; si on suppose que chaque coefficient est une fraction irréductible, il suffira de mul- tiplier par le plus petit multiple commun dos dénominateurs. On pourra d'ailleurs affirmer qu'après cette opération, les divers coeffi- cients de f(x) seront sans diviseur commwi et substituer le polynôme ainsi obtenu au polynôme donné. Si l'on a, en effet, trouvé A-A-ï) = ?(-ï)-'t'(-^)i on en conclut _ o{x) i'jx) '^^^~ B C ' sous la seule condition B.C = A, A, B, C étant des nombres ra- tionnels quelconques. Nous conviendrons donc de rendre le polynôme donné f{x) à coef- ficients entiers sans diciseur commun et de n appeler diviseurs de f{x) que les diviseurs du polynôme ainsi modifié. A l'égard des polynômes entiers en x dont les coefficients sont en- tiers, Gauss a établi la proposition suivante : si un polynôme à coef- i/l8 ALGEBRE SUPERIEURE ficients entiers est décomposable en un produit de deux pohjnoines, ces liohjnomcs sont aussi à coefficients entiers. Remarquons d'abord ([wt si o(x) et 'li{x) sont des polynômes à coefficients entiers, dans chacun desquels le plus grand commun diviseur des coei'llcicnts est Funité, il on est de même du produit ,(.r) -j- o^{x), ,(.t)+<{/2(^-). tpi, '-p2, '\'i, 'h étant des polynômes k coeflicients entiers dont certains peuvent être idi'nliquement nuls et aucun coelJicienl de '-p. ni de 'l» n'étant divisible par p. Mais on a identiquement [? — /^•?iL'{'— /'•'!'i] = 92. '^2; il en résulte que le second membre de cette identité est divisible par p. Cela est manifestement impossible sans que l'un des polynômes 02 et ^i se réduise à zéro. En elfet, le terme de plus iiaul degré du produit oa.'l'a n'est certainement pas divisible par p d'après Fhypo- thèse môme faite sur les coeflicients de Çj et '^2. Donc l'un des po- lynômes cp.2, i\ii se réduit à zéro et le polynôme 9, •^ correspondant a ses coeflicients divisibles par p. La proposition de Gauss est maintenant immédiate. Soit f[-c\ un polynôme à coeflicients entiers qui est le produit de deux polynômes o(,x') et '\i{x) à Coeflicients nitioiiihds ; en inultiplianl par \r plus petit multiple commun des dénominateurs on peut écrire \.f{x) = B. ?!( A et B étant des entiers, o, et J^i étant des polynômes dont les coeflicients sont des entiers sans diviseur commun. Le plus grand diviseur commun aux coeflicients du second membre développé est donc B ; il en résulte (|ne A divise H, et si l'on pose B = .\.C, on aura f{x) = C.o,{x).'!^,{x). L ALGEBRE ELKMENTAIRl-: 141» ce qui dt^niuiitio la proposilimi di-tiauss. I.i- ih.mbn' C est (railloms le plus grand diviseur ciMnimiu aux coeClicieiils de f x). 14. Nous avons appris ainsi qu'idant d<.inni'; un polynôme f{x) dont les coeffieieiits sont des entiers sans diviseur commun, il suffU de rechercher les diviseurs de fix) parmi les polynômes donl les cocjficienls possèdent la même propriété. Soit donc maintenant f{x) = g{x).h{x), g c[ h étant à coefficients entiers; on aura, ([uel que soit l'entier o, f{a) = g{a).h{a), ce qui montre que l'entier g{a) est nécessairement diviseur de /"(a); il existe donc pour g [a] un nombre limite do valeurs possibles. Donnons-nous le degré de g{x), pris comme on l'a remarqué plus haut parmi les nombres 1, i2, . . . , n ; soit p ce degré. Le polynôme g [x) sera complètement déterminé si l'onconnait les entiers qu'il fait correspondre à (p-f-l) entiers quelconques a, 6, ..., A:. Les nombres g{a), g{b), ..., g{k) sont respectivement des diviseurs positifs ou négatifs des nombres /"(a), f{b), . . ., f{k). Il suffit donc de combiner les diviseurs de /"(a), /(6), ..., /(A) entre eux de toutes les manières possibles en prenant un diviseur et un seul de chacun de ces nombres et de former les polynômes de degré p qui pour a, 6, . . . , / deviennent égaux à ces diviseurs. On obtien- dra ainsi un nombre limité de polynômes qu'il suffira d'essayer pour trouver, s'il en existe, les diviseurs de degré p de f{x). Il est clair qu'il y aura tout avantage à choisir les nombres a, b, ..., k de façon que les entiers f{a), f{b), ..., f[k) aient aussi peu de diviseurs que possible. En cherchant successivement les diviseurs du premier degré, puis du second, du troisième, etc., on sera assuré de ne jamais faire d'opération inutile. Il faut remarquer qu'un diviseur étant trouvé, il est nécessaire de s'assurer s'il n'est pas diviseur multiple de f{x), c'est-à-dire si le quotient de f{x) par ce diviseur est encore ou non divisible par le même diviseur. Dans le cas où cola se présente, il faut avant de chercher de nouveaux diviseurs débarrasser f{x) complètement de ce diviseur multiple. Enfin il est inutile de s'occuper des polynômes que l'on obtient par la formule de Lagrange lorsque leurs coefficients ne sont pas entiers. 150 ALGÈBRE SUPERIEURE Soit par exemple à étudier le polynôme a-^ -h x^ — a: h- 2 au point de vue de sa décomposition en facteurs. Il suffit de chercher ses diviseurs du premier degré. Nous avons, en prenant pour nombres a, b, ..., /.• les nombres 0 et 1, m = 2, Ai) ^3, ce qui donne pour g[Q) et gr(l) les systèmes ^(0) = ±1, ±2; g{\) = ± 1, ±3. On peut évidemment se borner à considérer les diviseurs, abstrac- tion faite de leur signe, c'est-à-dire seulement les huit combinaisons ^iO) ?(i: 2 2 2 \ 1 — 1 3 —3 D'ailleurs comme on a ici A (x) =; i — a- et B(.r; = a-, les binômes obtenus sont respectivement \ et l — X — a-, ^ — 2.-r — 1 — X 4- 3.r, '1 — ^.r -t- 3.r. 1 — X — 3.r 2 - 2a' — 3a-. 2 — 2ar 4- .r, :i — "ix — .r, Parmi ces binômes on peut écarter a priori ceux qui ne renferment pas X et ceux pour lesquels le coefficient de x est autre que ± 1, car il ri'^snlte des règles de la multiplication des polynômes que le coetlicienl de x^ dans f[x) doit être divisible par celui de .r dans Il reste donc à essayer seulement les deux binômes 2 — a- et 2 + a^, et Ton voit aisément que 2-f-a? convient seul. En effectuant la division on a donc x^^x^ — X -^2 = (a- -f- 2) . (ar^ — j- -t- 1 ), et la décomposition est terminée puisque .r h- 2 ne divise pas j'2 — j? -h I . Ajoutons que la méthode précédente est loin dï-tre la plus simple lorsqu'on se borne à rechercher les dioiseurs du premier degré du h ALOKBRE É1,ÉMKNTAIRK 151 pnh/noDic f -r . ll;il)iliii'lltMni'nl on opi-rc dr la niaiiirn' suivante : Si rmi «If-. (li\ isfiiis osl Ç^'—p, on aura f\ — ] =0, c'est-ù-diro ap'" -f- A/>"'-'iiisqn'ils m» pcnvont avuir de diviseur coniniun autre quo C; le plus trraiid cnmnuiii diviseurà CB cl à A.B sera par conséquont B. il suit de là que ('., ([ui divise C.B et A.ii, esl un diviseur de leur plus grand couimun diviseur B. C'est ce qu'il l'allail démontrer. On déduit immédiatement de ce théorème que lorsqu'un polynôme irréductible divise un produit de polynômes irréductibles, il est identique ii l'un d'eux. D'une manière générale poui' (|ue le poly- nôme f(r) soit un diviseur de V{x), il faut et il suflll que f{x) ne renferme que des facteurs irréductibles de F(.r) afl'ectés d'un exposant au plus égal à celui ([u'ils ont dans l'(ar). Si l'on avait par conséquent deux décompositions de f{x) en fac- teurs irréductibles, chacune d'elles devrait diviser l'autre et par suite elles renfermeraient les mêmes facteurs à la même puissance, c'cst-;i-dire seraient identiques. On peut donc afiirmer (jue la décomposition d'un polynctmo en facteurs irréductibles n'est pos- sible que d'une seule manière. Nous avons donné b; moyen de trouver une décomposition, il esl par conséquent inutile d'en cher- cher d'aulies. V. — Polynômes à plusieurs variables. 46. Les propositions précédentes sur les polynômes à une variable X s'étendent naturellement aux polynômes à plusieurs variables Xi, x-2, . . ., x„, c'est-à-dire aux expressions qui sont la somme d'un nombre limité de termes : A désignant un nombre rationnel, a, [3, ..., X des entiers positifs et a-i, a:,, . . . , a?„, des nombres rationnels indéterminés. C'est tou- jours dans ce sens de symboles connus dont on ne fixe pas la déter- mination, que nous emploierons le mot variables. On peut évidemment, comme pour les polynômes aune variable x, se borner ici à l'étude des polynômes à coefficients entiers. Nous allons seulement mettre en évidence la possibilité d'une décompo- sition, par un nombre fini d'essais, d'un polynôme à n variables a?t, ..., Xn en un produit de polynômes irréductibles. 154 ALGEBRE SUPERIEURE \ji' ]n(A)\i'm(' qui consislo à linnvcr les divisours do /fa*,, x^, ..., x„) se ranuMic y)ai' nu ailificc ingénifux dû à Kronecker, au lunliir-mf analogue, di'jîi résolu, pour les polynômes <à une seule variai»l<'. Désignons par g un enlier posilif qui surpasse Texposant le plus élevé de chacune des variables a?i, x,, ..., x„ dans /"(.Xj, . . ., a-,,). 11 est clair que si /"fz-i, ..., x„) est décomposable en facteurs, g dé- passera aussi le plus grand des exposants de a^i, ..., a-,, dans chacun de ces facteurs. Posons alors Xi = X, X, ^= X^, X:i := X^', ... Xn ~ x''" i en désignant par x une nouvelle indéterminée, ce qui revient à con- sidérer le cas où les nombres rationnels Xi, x^, ..., >r„ au lieu d'être absolument arbitraires sont toujours des fonctions déterminées de l'un d'entre eux. On voit aisément que si /"(a*,, ..., x„) est décomposable lorsque a-,, ..., .r„ ne sont pas liés entre eux, il en sera de même du polynôme F (a') que l'on fait ainsi correspondre à /'. A tout monôme tel que A.Tfi ... af," correspond dans le polynôme F(.r) le monôme kx^^^'-ia^^sff^^ — *-^,&"~', dans lequel on peut considérer l'exposant de x comme le nombre 2„ o'„_, ... a. a, supposé écrit dans le système de numération de base g. Cela résulte de l'hypothèse que les exposants a„ a, sont tous inférieurs à g. D'ailleurs la correspondance ainsi établie est univoque, c'est-à-dire (ju'aux lerm(>s différents de/(.r,, ..., a-,,) correspondent dans Vix) des termes de degrés différents. // n'y a donc, après ta transformation, aucune réduction possible des termes de V{x) entre eux. Nous savons qu'à toute égalité /"(a-,, ..., x„) = g{xi, ...,x„].h{xi, ..., t,.) correspond une égalité F(a-) = G(a-).II(.r). G et H désignant les transformées respectives de g et h. 11 sullit donc pour savoir si f admet ou non des diviseurs, de chercher les diviseurs irréductibles G(a:) de F(a-), d'écrire pour chacun d'eux l'identité en a- F(r) = G(x).H(a-) et (le transformer cette identité par la substitution inverse, ce qui 1, Ai.(ii:imK klf<:mfntaire 155 iIdiiiii- f'.i\. .r,, ..., x„) = g [.l'y, .1, i„):h{Xi, ..., .r„). Si Ion ublionl ainsi une iclonlité en j-,, j\, ..., j„, on itciUaflinner que g{xi, ...,t„) est Mrn un divisi'ur inéduclihle de /"(.r,, ..., j'„j. Si /j(j:,, ..., Xn) n'est pas divisililf [lar g{xi, ..., x„), on opérera sur h{xi, ..., x„) comme on a operu sur /' /• x„)\ on parviendra ainsi par un nombre limité d'essais à la décomposition île f{xt, ..., x„) en facteurs irréductibles oii l'on reconnaîtra l'absence de toute décomposition. Supposons que dans un polynôme à plusieurs variables XuXi,. ..,cc„ un porte spécialcmoiil l'aHi'nlion sur Tune d'elles a-,, qu'on appellera x, les autres l'iaut considérées comme des nombres rationnels indéterminés n, //, ..., /. Nous pouvons l(»ujours suppo- ser que dans le polynôme /"(r, «,/*,.., /) les coellicienls dos diver- ses puissances de x sont des polynômes en a, //,...,/ sans divi- seur commun et à coefficients entiers. S'il n'existe alors aucune identité de la forme f\x,aj), . . .,l)= g(x, a, (j, . . J)./t{x, a, b, . . Jj dans laquelle g et h sont des polynômes en x, a, b, . . ., /, on dira que le polynôme en x /'{x, a, b, ...,/) est irréductible dans le domaine d'intégrité ,«, b, . . . ,/ (*). Il est aisé de voir que les propositions établies sur l'existence des polynômes irréductibles à une variable x, la décomposition unique d'un polynôme en facteurs irréductibles, etc., s'étendent aux polynômes à plusieurs variables et par suite aux polynômes en X, a, b / dont on vieiil de paiier ; nous n'y insisterons pas davantage. Terminons on observant qu'on peut, en suivant la marclic indi- quée dans le cas d'une seule variable, introduire des symboles X (*) On désigne sons le nom de domaine d'intégrité [a, b, ..., l] l'enscmhlr des polynompx rntiprx à coefficients entiers dex lellres a, h, ...,l ; nn polynôme est par ronséquenl irréductible dans un domaine d'intégrité lorsqu'il n'est pas le pro- duit de deux polynômes dont les coefficients appartiennent à ce domaine. Cette définition de l'irréductibilité concorde manifestement avec la définition donnée pour un polynôme à une vaiiable ; dans cette dernière le domaine d'intégrité; est remplacé par l'ensemble des nombres entiers. 156 ALGÈBRE SUPÉRIEURE définis par di's irlalions do la forme / (a?i, Xoi . . . , x„) .\ = gixi. Xi, . . . , x„), dans laquelle f et g soni des polynômes et quon appelle fractions rationnelles àes y iiY'và\)\Q9, Xi, x^, ...,x„. On les représente par le signe '' -'""'' "^ et il est bien clair que leurs propriétés sont analogues à celles des fractions ordinaires et s'établissent de même lorsqu'on suppose qu'ils possèdent avec les polynômes deux modes de com- position : addition et multiplication, suivant les mêmes lois que les modes correspondants pour les entiers positifs. CHAl'lTllt: il LES NOMBRES ALGÉBRIQUES I. — Définition. 17. Considérons un polynôme entier en x à cocfiîcients ration- nels, fix) = a^x" -+- ciiX"-^ + ... H- fl„; nous savons qu'à tout nombre rationnel o^ni le polynôme fait corres- pondre un nombre rationnel bien déterminé [[x^). Nous avons déjà l'ait observer que le nombre f{x^) ainsi obtenu n'est pas un nombre rationnel quelconque, c'est-à-dire qu'étant donné un nombre rationnel j/o il n'existe pas nécessairement de nombre rationnel o-q tel que l'on ait l'égalité Il est aisé de reconnaître, lorsqu'on donne le nombre y^, si une telle égalité peut avoir lieu. Considérons à cet efiet le polynôme entier /"('T^) — ,'/o ; s'il existr' un nnnil)ri' ralidiincl .i\^ iiui vérilie l'égalité f{Xo)—yo^ ce nombre annule le polynouK; /'i-cj— j/o, et réciproquement. On est donc amené à rechercber les nombres rationnels qui, mis à la place de x, annulent le polynôme f{x)—yo. Remarquons immédiatement qu'il suffira de considérer au lieu de f{x) — î/o, tout polynôme à coeflicients entiers qu'on peut en déduire en multipliant cette expression par un entier convenable et, en particulier, celui de ces polynômes dont tous les coefficients sont des entiers sans diviseur commun. Soit donc V {x) un polvnome entier satisfaisant à celte condition; b ' /h\ si — est un nombre rationnel tel que 1 on ait !• ( — ) = 0, le a \a/ loS algf:bre super[rure polynôme F{x) est divisible par ax — b ; inversement, si roii ;i F{x) = iax — b)G{x), h le polynonKj \'{x) s'annule pour x ^ - . On conclut de là que a tout polynôme entier qui admet des diviseurs du premier degrés peut représenter le nombre zéro pour des déterminations rationnelles de la variable. 11 existe autant de représentations qu'il existe de diviseurs du premier degré différents. Si, au contraire, un polynôme entier n'admet pas de diviseurs du premier degré, il n'existe pas de nombre rationnel qui annule le polynôme. Cette remarque nous ami-ne à étendre de nouveau l'ensemble dos symboles sur lesquels nous raisormons, et nous allons le faire en suivant absolument la méthode employée pour l'introduction des nombres rationnels. 18. Considérons un polynôme entier en x à coefficients ration- nels, f{x), irréductible au sens que nous avons adoplé plus haut. Il n'existe aucun nombre rationnel qui, mis à la place de x, vérili«' la relation f{x) = 0 lorsque, comme nous le supposons natu- rellement, le degré n de f(x) est différent de l'unité. Nous allons ajouter à l'ensemble des nombres rationnels des symboles nouveaux qui, par définition, vérifieront cette relation. Il est évidemment nécessaire, pour que cela ait un sens, que nous ayons défini pour ces symboles des opérations (jue nous appel- lerons addition et niulli[»licaliuii ot ({ui conduisent d'une manière uniiiue et déterminée au polynôme f{x) lorscju'on donne x. 11 nous faut donc définir deux modes de composition de ces symboles entre eux et avec les nombres rationnels; nous pouvons d'ailleurs, au point de vue logique^ faire cela d'une manière arbitraire. Nous nous attache- rons, pour la simplicité des résultats, à conserver à ces deux modes de composition les propriétés fondamentales de l'addition et de la multiplication qu'on a trouvées pour les nombres entiers. Ainsi rcnscmltli' des nouveaux synibolos cl des ancitMis sera tel (juc : 1" De deux d'iMiIre eux on puisse déduire un troisirme d'une manière unique, la composition ainsi détinie possédani b^s i|u;ilr.' propriétés fondamentales de l'addition ; LKS NOMBRES AUtERRIQUKS j;;.) 2" l)i' (li'iix iliMilrc eux. par un secoml modo do cumpositiou, on puisse di'duiro un Iroisirmc syuibolo, la composiliun possédant les cinq prnpriOlcs foiulauicnlalcs de lamulliplicalion. Kniin un conservera la manière d'écrire employée pour laddition (•[ la multiidicalion des entiers. AvanI d'aller plus loin, nous pouvons romarqui^r qno la propriété diblributivo do la multiplication permet d'écriro x.(y + 0) = x.y -t- x.O, X et y étani deux ([Uflcunques do nos symboles ; et connno Ion ;i ?/ -H 0 = J/, il en résulte x.O = 0 ; donc le produit d'un quel- conque des nouveaux symboles par zéro sera zéro. La propriété com- nmtative do la multiplication montre qu'on a également Q.x = 0. Si mainli'nant nous considérons It'S [)rutliiils x.O ol .r.//, on sup- posant X dilloront dt- zéro, un poul conclure de la cinquième propriété fondamentale de la mulliplicalion que lorsque ?/ est dilloront do zéro, le produit x.y n'est pas zéro. Il résulte do là qu'un produit de deux symboles n'est nul que si l\in des symboles est nul. C'est là une importante proposition dont nous aurons bientôt à nous servir. 19. Jus([u'à présont nous n'avons pas défini les symboles que nous voulons introduire, nous n'avons délini que leurs modes de compo- sition. Ce que nous avons dit prouve (ju'il sera possible, lorsque les symboles seront définis, do définir d'une manière précise ce que c'est qu'un polynôme ou une fraction rationnelle dont les élé- ments : coefficients ou variables, sont ces nouveaux symboles. Désignons maintenant par x^ un symbole satisfaisant au.\ condi- tions précédentes et vérifiant la relation jixy) = 0. Nous pouvons conclure do là que f{x) est divisible par [x — a'i), c'est-à-dire qu'il existe une identité en x telle que : f{x) = {X — Xy)fi(X, .Ti), f^ [x, Xi ) étant un polynôme entier en x de degré n -~ 1 dont les coefficients sont des polynômes entiers en .r,. En effet, la tbéorie de la divisibilité d'un polynôme par x — a repose sur l'exis- tence d'uni' identité, A = BQ -}- R, lorsque A est un polynôme de degré supérieur à B. Cette identité 160 ALOI>HRE SUPÉRnnjRIÎ peul être écrite ici, d'après les liy[»olh(jsc.s faitos sur j:,, ot donnera f[x) = (x — x,)/",(.r, Xx) -h f(Xi) ; comme nous supposons par déliiii(i(jn f{xt) = 0, il en résulte f[x) = {x — xMx,Xi). Lorsqu'on a introduit, dans lo calcul, les nombres rationnels par une relation a.x — 1 =0, les propriétés fondamentales de la niulliplicatiou ont permis d'éta- blir l'existence d'un seul symbole possédant les modes de compo- sition indiqués et tel que a.x— \ = 0. Il n'en est plus de même ici; nous allons voir, en ellct, ([uil existe n symboles possédant les modes de composition ci-dessus désignés et vérifiant la relation /■(a-) — 0, de sorte qu'on est conduit à ajouter simultanément ces n symboles à l'ensemble des nombres rationnels. Soit, en efl'et, x. un symbole tel que l'on ait f[x.) — 0\ liden- tité en x f{x) = [x — x^)fi{x, Xi) donnera f{x.) = {X2 — Xi)fi{x.2, Xi)] on voit qu'il n'en résulte pas nécessairement X: — a-, = U ; si Ton suppose, par conséquent, x-2 dilîérent de .r,, on aura fi{Xi, a-i) = 0. Le symbole x-2 annule donc le polynôme fi{x, Xi), autrement dit de l'identité en x fi{x, a-i) == {x — x.2)f2{x, Xi, X,) + fi{x2, Xi), que l'on jx'ul toujours écrire, d'après les hypothèses faites sur a', et Xi, et où /"o est un polynôme eiilicr en .r de degré (n— '2;, à cocflicients entiers en x^ et as, on peul dt'Mluire /'i(.r, a'i) = {x — X2)f2\x, Xi, x.), Xi et X2 ayant la signification supposée. En continuant ainsi, on mettra f{x) sous la forme f{x) = {x — j-iX-r — Xi). . .{x — x„). Xi, X2, . . . , x„ étant des synihnh's (lilVeii'iils, c'est-à-dire (|ue dans le calcul on devra regardei' h's (lillV'ienees x: — X/,- coiiuni' ilill'e- reutes de zéro. LES NOMBRES AUiKimiorFCS JHl Nous suppusuiis bien t'iilriKlu que le coellicient de x" dans f{x) a été raaiené à èlre l'unité, sans quoi il aurait fallu introduire dans le second membre un facteur égal à ce coefticienl. Je dis qu'il n'existe plus d'autre symbole Xj, posscdant les propi'iétés indiquées et tel que l'on ait f{xi.)=0. On déduirait en eifel de cette relation (x,, — X, )(Xj, — Xi) . . . {.Tj, — T„) = 0, et comme le produit d'un certain nombre de nos symboles n'est nul (jue si l'un d'eux est égal à zéro, il en résullo (|ue Xj, est l'un des symboles déjà introduits. Nous sommes donc amenés à considérer siimiUanémcnl n sym- boles a-,, a-.,. . ., a-,, possédant les propriétés indi(iuées et vériliant la ri'laliun f{x ) = U ou les é([uations successives fl{Xs,Xi) — fi{x.2,Xi) N n , = /2[x-j,X2,Xi) ^ 0, etc. . a':j — x^ Ajoutons qu'on peut encore regarder a-,, as, ..., x„ comme délinis i)ar l'identité on x f[x) = {x — xi){x — x.2). . .{x — x,,]; si nous posons, par exemple, /•(.r) = a" — pix"-' + p^x"-' ■■■ ±p„, l'identification donnera entre les symboles Xu x^, . . ., x„ les rela- tions ai -h Xi-{ -i- ,r„ = Pi, X1X2 -+-■•• H-a-„_,.r„ = Pi, XiXn X,t — Pn- Ces relations sont équivalentes aux relations fixi) = 0, fiixi, Xi) — 0, fi{x-i, a-2, Xi) = 0, etc. . . , cost-à-diro que les unes sont des conséquences nécessaires dos autres ot réciproquement. 11 serait aisé de le vérifier; nous y revien- drons plus loin. lliÉOHIE DE:i NOMBRES '• 162 ALGEBRE SUPERIEURE Nous avons mainlGiiant à dévoloppor les conséquences logiques des hypothèses faites sur les symboles j;,, a:,, ..., x„, c'est-à- dire à constituer le calcul de ces symboles tel qu'il résulte de ces hypothèses. Il résultera clairement de ce calcul que les hypothèses qu'on a faites sur a;,, x^^ . . ., x„ no sont pas contradictoires, c'est-à- dire qu'il est effectivement possible de définir logiquement des sym- boles OTi, Xi, ... Xn autres que les nombres rationnels, possédant avec ces derniers deux modes de composition : addition et multiplication, qui suivent les mêmes lois que ces modes dans le calcul des entiers, et qui vérifient en outre les relations f[x,) = 0, /; [Xi, a-i) = U, écrites plus haut. Mais, alors que le développement des hypothèses faites sur les symboles qu'on a appelés « cnliers négatifs» et « nombres rationnels» résulte immédiatement des propriétés bien connues des nombres entiers positifs, celui des hypothèses faites sur x,, a?,, . . . , x„ exige une étude plus approfondie des propriétés des polynômes à une et à plusieurs variables. Cette élude constituera le chapitre suivant et ce n'est que dans un chapitre ultérieur que l'on montrera d'une part, qu'il est possible de déduire toutes les consé(iuences néces- saires des relations qui servent à définir j-,, x. r,, d'un nom- bre limité d'entre elles, n'impliquant manifestement pas de contra- diction, et, d'autre part, qu'à des questions de notation près, provenant de ce qu'on na pu désigner les symboles qui annulent f [x] para:,, a;., ..., x,, que dans un ordre arbitraire, le calcul de ces symboles est complètement déterminé el connu d'après les hy- pothèses faites. D'une manière i)lus précise, on saura décider si deux fonctions bien définies de a^j, x., ...,x„ sont égales et on pourra donner leur somme et leur produit. Nous aurons, évidem- ment, répondu ainsi à toutes les objections. 20. Nous commencerons néanmoins par faire ici, au sujet du calcul des symboles a:,, Xo, . . . , x,„ quelques observations générales dont il sera tiré parti plus loin. Bornons-nous d'abord au calcul du symbole a-, et des symboles dérivés de sa composition avec lui-même et avec les nombres ra- tionnels. Parmi ces symboles, ceux ([ui renferment seulement des puissances positives entières de a-, se ramènent immédiatement à LKS NOMHRKS AL(;p:nRIOUES 1G3 Taiilt' lit' l;i rt'lulidu f[Xi)^ U, ;i la riiniic a -+- Ar, H- cxi -i- . . . -+- /x','~', où fl, b, . . ., l soiil des nombres rationnels quelconques. Tous ces symboles sont définis dune manière unique, et lliypo- tliùse laite sur la comijosilinn par addition ou niulliplieation du symbide x^ et des nombres rationnels permet détendre, au calcul de ces symboles, les lois du calcul des polynômes, c'est-à-dire celles du calcul des entiers positifs. Nous allons montrer que toutes les relations rationnelles que vé- rifie JTi sont des conséciuences nécessaires de f[Xi) = 0. Supposons, en eflet, que Ton ait 0(0",) = 0, o désitinant fui polynôme qu'on peut supposer à coefficients entiers; les opérations qui conduisent au plus grand commun diviseur entre f{x) et o{x) donneront certainement un résultat. Sinon, en elfet, on parvien- drait à une identité de la forme V{x) . o{x) H- 'l>{x) . f[x) = a , a étant un entier autre que zéro, et lorsqu'on y fait x = Xi, celle identité conduit à une contradiction. Mais f{x) esl irréductible par hypothèse; il en résulte que o{x) est au moins de degré n et ad- met f{x) comme diviseur. La relation 0(0-,) = 0 est donc une conséquence de f{Xi] = t); en d'autres termes : Tout polynôme '^[x], qui s'annule pour P un des symboles qui annulent le polynôme irréductible fix\, est divisible par fix). On peut conclure de là que tous les polynômes entiers en a?, de degré inférieur à )i sont nécessairement différents, car une égalité entre deux de ces polynômes donnerait précisément, si elle n'est pas une identité, un polynôme entier s'annulant pour x = Xy. Nous allons continuer en étudiant les fractions rationnelles en .r, à coefficients rationnels, c'est-à-dire les expressions de la forme — ^^ — ■ 1 oix P et 0 sont deux polynômes entiers de degré inférieur à n. Tout d'abord on peut affirmer que Q(.c) et le polynôme irré- ductible f{x) n'ont aucun diviseur commun; l'algorithme du plus grand commun diviseur conduit donc à une identité en x : q{x).f[x) + Q{x).¥[x) = 1, 164 ALGÈBRE SUPÉRIEURE OÙ q[x) et V{x) sont des polynômes entiers. On déduit de là, en P(a;) multipliant les deux membres par - — , P(^)-^(^) f,:r)^Vix) FV)-^^^^ ce ([ui montre que, pour tout symbole .r, qui annule /"(x;, on a ou, en développant le second membre et le réduisant à l'aide de la relation fixi) = 0, R étant un polynôme entier de degré inférieur à u. On n'introduit donc pas, par la considération des fractions rationnelles de a-,, d'autres symboles que ceux que l'on a déjà considérés. On peut donc conclure définitivement que le calcul de Xi seul se réduit à celui des polynômes entiers en Xi de degré inférieur à n, en y négligeant simplement les multiples de f{xi). La relation f[x) = {x — Xi){x — Xi)...{x — x„), symétrique en Xi^Xi,. . . , a„, permettrait d'appliquer le mènK^ raisonnement à tous les symboles Xi, a;,, . . . , a.-,,, et par conséquent de ne considérer que les polynômes entiers en x^.Xi, ■ . . x„ de degré inférieur à n par rapport à cliacune de ces lettres; mais nous allons voir que la considération du système de relations donnant les liaisons entre cci, a-o, ..., x„ permet encore de restreindre le nombre des symboles à introduire. Cela apparaîtra immédiatement si l'on considère le système de relations f{xi) =r 0, fiix-:, Xi) — 0, fzix^, Xi, Xi) = 0, etc. . . On voit, en clfet, ([u'à l'aide de f{xi) r= 0 luulo fonction ration- nelle de x^ se réduit à un piilyiiunie entii>r de degré inférieur à n ; à l'aide de ^(a?2, Xi) = 0 et de f(Xi) = 0 toute fonction ration- nelle de Xi et ^2 se réduit à un polynôme entier en Xi et x^ de degré inférieur à non x^ et infèriiMn' à {n — 1) en .r.,, etc., etc. En résumé, les symboles à introduire sont compris parmi les fonctions entières de ri, a.\>, . . . , x„ à coe/ficienls rationnels et de degré inférieur à {n — i-f-1) par rapport au symbole xi. I.KS NOMBRES AI.CÎKHRIQTJKS 1(1.'; 21. l*our rrvoiiir à un aulic ni-dir d'iili-os. riiilrotlnclinn îles sym- boles )|ui, soumis aux coiulilions ili'jù donnéos, véiilienl f{x)=^() rcviont à radjoiictimi aux ijjroupos form(''s par les iKinihn's laliou- nols pour 1«'S d(Hix modes de composition : addition d ninllipli- cation, de Ji nouveaux sr/)nf)oles j',, .r_>, ..., .;'„ el de n relations fondamentales entre ces symboles et les anciens. Ces relations fondamentales peuvent être écrites sous la l'orme symétrique Xi H- X.J -i -+- X„ — pi, XiXi T„ = />n, ou sous la forme non symétrique f{xi) = 0, t\{Xi, x{) = 0, /;(a-;„ To, .ï,) =r 0, etc. . . Nous avons à chercher si el comment, en tenant compte de ces relations fondamentales et des lois de l'addition el de la multiplica- li*jn, on peut compléter la table de structure des groupes formés de Tensemble des nombres rationnels et des fonctions rationnelles à coeflicients rationnels de x,, rr,,, ...,.r„, tant au point de vue de l'addition que de la mullii»lication de leurs éléments. Il sera donc nécessaire de rechercher d'abord quelles sont parmi ces fonctions celles qui doivent être regardées comme des éléments distincts, et l'on peut affirmer, une fois cela fait, que la table de structure pourra être construite ; — il résultera d'ailleurs de cette table elle-même que les hypothèses faites sur Xi, ..., Xn n'entraî- nent point de contradiction. Le nouvel enscmbUrpourra donc être regardé comme connu vis-.à-vis des deux modes de composition : addition et multiplication. On pourrait alors donner des noms à tous les symboles dilï'érents ainsi introduits et les représenter par des signes spéciaux, comme on l'a fait pour les entiers négatifs et les nombres rationnels; mais il est préférable, à cause de la complexité des notations qu'il faudrait employer, de les conserver sous la forme, à laf[uelle on les a ré- duits, de polynômes entiers en rc,, X2, . . ., a^,i. Cela est d'ailleurs indispensable en ce moment. Tout ceci étant acquis, on peut imaginer que l'on répète sur 161) ALGÈBRE SUPERIEURE chaquf polynomo irréduclihlo à cooflicionts rationnols, dont lo premier coefficient est l'unité, ce qu'on vient de faire pour le poly- nôme f{x). On associera par conséquent à tout polynôme irréduc- tible (/(y), do degré ;?, des symboles distincts ?/,, 7/3 ?/^, en nombre p, desquels on suppose qu'ils v(''ii(ient lidentité giv) = (y—y>My—ih)--- iv—y,) et ([u'ils se composent entre eux et avec les nombres rationnels suivant les modes additif et multiplicatif, en suivant les mêmes lois que ces derniers. Les symboles .r,, .r,., ..., x„, î/i, ..., yj, etc.. définis de cette manière sont appelés des nombres algéhriques . Xous observerons d'abord que ces symboles sont tous distincts^ car deux polynômes irréductibles f{x) et g{x) étant nécessairement premiers entre eux, vérifient une identit('' do la forme Kx).m + ^{^)-9{^) = « et ne peuvent par conséquent s'annuler pour une même détermi- nation do x\ qui satisfasse aux conditions imposées à nos symboles. Il est clair qu'il n'en est pas de même des symboles introduits en même temps qu'eux, qui sont leurs fonctions entières à coetïicients rationnels ; la relation Ti 4- a-, + . • • H- a*,, = Pi écrite plus baut montre par exemple que les symboles .r, H- ... -\-x„_i et 71, — x„ sont ii]eiili([nes. VWo montre aussi que lorsqu'on a introduit dans le calcul a,",, .ro, ... et a;,, ,, le symbole .r„ est déjà connu puisqu'il est identiciue à: p, — x, — x^_ ... — x,,-^. On est amené; ainsi à recliercber les symlxdes dislincls qui figurent dans les polynômes entiers en Xx, ..., a:„ ou en y, y,„ etc., et il est aisé de voir qu'il peut arriver que des symboles identiques figurent dans les divers systèmes d'expressions ainsi obtenus. Il sera donc néces- saire de rechercher également quels sont les polynômes entiers en ?/,, ..., ?//, qui sont identiques à des polynômes entiers en a-,, ..., x„, pour tous les choix possibles des polynômes irréductibles f{x) et g[y). C'est ce (pTon apjti'llera rétud(^ siniullanée des deux poly- nômes f{x) et g{]i\ Enfin en particulier, on observe (juil peut se faire (jue l'un des symboles ?/,, ..., y,, soit identique à l'un dos polynômes entiers en a*,, ..., x„ qui sont définis lorsqu'on a délini a-,, .... x„ ; il sera dans ce cas inutile d'introduire do nouveau Ci^ symbole 1/, dans LES NOMHRES ALGEBRIQUES KiT It» calcul. On est ("nniliiil pai' là ;i i-rrhi'rcln'r, jinriiii loua />',v ntDiihn's algéht'iriues, ceux qu'il est nécessaire et suffisant d'in/roduire dans le calcul, c'est-à-dire de représenter par des signes explicites, pour pou- voir exprimer rationnellement tons les autres, c'ost-à-diro alin quo cha(|U(' polynôme irréductible /"(a-), à cocflicionls raliiniiicls, [niisso (Mm décomposé on l'acloiirs du pivmior degré. Lorsqu'on aura trouvé ces symboles nécessaires, on devra nalurelloment les étudier d'une manière plus précise; c'est par celte élude que nous terminerons ces lec^'ons. Tn exemple simple d'un problème analogue peut être donné au moment de l'introduction des nombres rationnels dans le calcul : Supposons qu'on introduise tous les nombres ratiormels comme solutions des équations du premier degr('' ;:>.r -+- « = 0 où;) et a sont entiers, p étant un nombre premier qui ne divise pas a ; tous les symboles ainsi introduits seront distincts, mais on trouvera, ce que nous avons déjà indi({Ui'', ([uil sullit diiitroduire ceux qui véri- fient les équations px^ l, p étant un nomjjrc premier, pour [louvoir les exprimer tous d'une l'aron explicite. On peut d'ailleurs pour les nombres rationnels opérer synlhéti- qucment, c'est-à-dire introduire précisément les symboles ( — ) et montrer qu'ils sufTisent ; mais dans le cas des nombres algébriques on verra plus loin combien une exposition syntbétique parfaite serait pénible à cause de la complexité des liaisons qui existent entre ces symboles. Nous ajouterons néanmoins ici que cette expo- sition résultera naturellement des propriétés de l'ensemble des nombres algébriques auxquelles nous parviendrons plus tard. Au sujet de cet ensemble, observons qu'un premier pas dans la classification de ses éléments peut être fait immédiatement. Les nombres algébriques qui vérilienl une é(iuation irréductible d'ordre n sont dits nombres algébriques d'ordre n, et il est clair que la défi- nition précédente est logique, puisfiu'un nombre algébrique vérifie une équation irréductible et une seule. Une autre séparation des nombres algébriques apparaît également de suite : Soit fl„.T"'H-fl,a?'"~' -I- . . -i-fl,„ = 0 une équation irréductible 168 ALGÈBRE SUPÉRIEURE d'ordre in h coeflicients entiers; considérons la nouvelle équation o{y) — y'" -t- a,?/"--» + a^a^-f'-^^a^alif'-^ H h a,„d^-^ = 0, qu'on déduit de la première en multipliant ses deux membres par ffj|'~' et posant a^x=^y. Cette nouvelle équation est évidemment irréductible et définit des nombres algébriques de même ordre que a précédente ; à chaque racine y; de la seconde équation corres- pond d'ailleurs une racine a:-. = — do la première, et réciproque- ment. Les nombres algébriques qui satisfont à une équation irréductible à coefficients entiers, dont le premier terme a pour coefficient l'unité, sont dits nombres algébriques entiers. Cette définition nous permet de séparer en deux classes les nombres algébriques : ceux qui sont entiers et ceux qui ne le sont pas ; ces derniers sont d'ailleurs les quotients des premiers par des nombres entiers ordinaires, de sorte que si Ton ne s'occupe que des symboles algébriques nécessaires, il suffit d'étudier les nombres algébriques entiers. Il est d'ailleurs facile de déduire do toute relation rationnelle entre des nombres algébriques une relation entre des nombres algébriques entiers, et réciproquement. x\joutons enfin qu'une relation ontro des nombres algébriques en- tiers ne renfermera pas de nombres rationnels, puisque les seuls nombres algébriques entiers du premier ordre sont les nombres entiers ordinaires. II. — Fonctions algébriques. 22. Nous avons vu (ju'on a, en Algèbre élémentaire, introduit dans le calcul, des svmboles de la forme ,',''''' , /" et o étant des g{n,b,...,h ^ polynômes, entiers par rapport aux variables indéterminées a. b / et à coefficients rationnels. Ces symboles, qu'on appelle fractions rationnelles des variables a, 6, ..., /. peuvent être, de la même ma- nière que les polynômes à plusieurs variables, regardés comme définissant une correspondance entre les nombres rationnels, ou encore comme un moyen commode de considérer l'ensemble des nombres rationnels qu'on en déduit en remplaçant «, 0 / par des noniltros ralii)iiiiels déterminés. LI'^S NOMBRES ALGKRRIOIîES \{]Ç) \.o cilciiltli-cos syinliolt's aL'l('' dt-Miii o\i ilomiaiil à c-Mr drla n-la- liun identique g{a, A, .... / . iLjy _' = /•(„ ,j /- ff a, I), . . , l) ' " qui leur sert de délinifion, les propriétés de doux modes de compo- sition : addition et multiplication, de ces symboles avec les poly- nômes entiers. Il est possible de taire à légard des fractions rationnelles la même extension que celle (|ui a été faite en passant des nombres ration- nels aux nombres algébriques. Considérons un polynôme entier en x, a, ù, . ., /, à coefTicients entiers, irréductible dans le domaine d'intégrité a^ b, ..,/i, et la relation Il n'existe pas de fraction rationnelle en rr, //,..., / (jui, mise à la place de x, conduise à une identité en a, A, . , /, sans quoi /"(•r, a, b /) admettrait le diviseur du premier degré qui la définit. On introduira alors dans le calcul de nouveaux symboles vérifiant, par définition, celte relation et qu'on supposera se composer avec les polynômes suivant deux modes appelés toujours : addition et multiplication et possédant les propriétés de ces deux modes déjà supposées pour les fractions rationnelles. Ces nouveaux symboles sont appelés fonctions algébriques des variables a, b^ ...,/. Il est clair que si le degré du polynôme irréductible considéré f(x, rt, 6, . . , /) est égal à », il y aura n symboles qui seront définis simultané- ment, et ces n symboles, Xi, Xo, ...,X„, vérifieront, lorsqu'on aura divisé le polynôme donné par le coefficient de a", l'identité /•(.r, a, b, ...,/) = {x-\,){x — \,).... (.r-X„). Ajoutons que l'opération que l'on fait on introduisant ces sym- boles, c'est toujours l'extension du système formé par les fonctions rationnelles des variables a, b. ... / à coefficients rationnels, de façon que le polynôme f{x, a, b, ...,/) soit décomposable en fac- teurs linéaires dont les coetlîcionts soient des éléments du nouveau système. On voit donc nettement que l'élude dos fonctions algébriques des variables a, 6, / peut se faire d'une façon absolument parallèle 170 ALGKRRF>: SUPERIEURE ù celle des nombres algébriques, le point de déparl r-lanl l'ensemble des fonctions rationnelles à cootricienls rationnels dfs variables a, /.», ..., / au lieu d'être l'ensemble des nombres rationnels. J'a- joute qu'aux nombres algébriques entiers, on peut faire correspondre les fonctions algébriques entières de a, Z», ...,/, obtenues comme les symboles qui annulent un polynôme entier en x, a, fj / à coefficients entiers, dont le premier coefficient est l'unité. On voit diiilli'nrs immiMliatemcnt qui' les fonctions algébriques entières du premier (jrdre sont les polynômes entiers en a, b, .... / à coeffi- cients entiers et que foule fonction algébrique des o, b, . . ., l est le quotient d'une fonction algébrique entière par un polynôme entier en a, b, ...,/. A un autre point de vue, une fonction algébrique des variables a, b, . . , / peut représenter une dusse de nombres algébriques, ceux que l'on obtient en remplaçant n^ b. . . ., / par des nombres rationnels déterminés. Mais il est bien évident que les nombres algé- l)ri(iues ainsi obtenus peuvent être de nature très différente, suivant (luo la décomposition du polynôme à coefficients déterminés qu'ils arniulent est plus ou moins complète. I^a manière dont figurent, dans les coefficients, les indéterminées a, b, . . , /, n'a pas d'ailleurs une influence bien facile à préciser sur cette nature ; ce n'est que dans des cas extrêmement simples que la liaisim apparaît nettement, et nous verrons que dans ces cas la considération des fonctions algé- briques n'apporte de simplifications ni à l'écriture, ni à la manière d'exprimer les résultats. Lorsque nous considérerons des fonctions algébriques de variables a, ^,..., /, nous les regarderons donc uniquement comme des sym- boles définis d'une manière analogue aux nomlues algébriques et nous verrons (|u'alois les propriiHés des nombres algébriques, rap- portées à l'ensemble des nombres rationnels, conduiront immé- diatement aux propriétés des fonctions algébriques, rapportées à l'ensemble des fonctions rationnelles à coefiicients rationnels de r/, b, . , /. Enfin si on ne considère que les nombres algi'-briques entiers, leurs propriétés se transporteront, mutalis mutandis. aux fonctions algébriques entières dans le domaiut^ d'intégrité [fl, /', . . ., l]. Pour plus de précision et de netteté et afin d'introduire le moins d'arbitrair(>s possible, nous commencerons par développer LES NOMBRES ALOKHRIQUES 171 uiiiquoniont Tt'liult' di-s m>ml»ros algt''I)ii(iues, intiis ivsrrvanl do niMiitriT plus tard comint'iil les cIidsos so passiMil pnur les f(inc- lioiis algébi'i(|Ufs ilf plusiouis varialdos. III — Le théorème de d'Alembert 23. Si l'on admet que les liypothùses faites pour délinir les nombres algé- liriqiies n'entraînent pas de contradiction, ce qui sera démontré plus loin, les pages précédentes nous permettent de parler des nombres algébriipies avec tout autant de liberté (pie des nombres entiers positifs, et en ellet, pour nous, h-s xns et les autres sont uniquement des si/niboles déterminés dont on connaît les modes de composition qui interviennent dans le calcul, c'est-à-dire que ce qu'on appelle calcul de ces symboles, n'est que le déve- loppement des deux modes de composition que nous savons étudier. Nous ne nous sommes pas encore préoccupés de l'existence (robjcis représentés par nos symboles, du moins, pas jusqu'à présent pour les nom- bres algébriqties ; nous allons le faire maintenant et nous observerons que cette existence mettra hors de doute qu'il n'existe pas de contra- diction dans leur définition. Comme on l'a déjà remarqué, on peut trouver de bien des manières des systèmes d'objets 'ou d'opérations portant sur des objets) en nombre illimité et possédant les propriétés suivantes : I. — (In peut détinir [tour les objets un mode de composition condui- siiiîtde deux d'entre eux d'une manière uni(|ue à un troisième, et tel que : 1° La composition soit associative, comnuitative et unicoque (le mot univoque est pris ici dans le sens le plus large : deux éléments d'une composition étant donnés, le troisième est déterminé d'une manière uni((ue' ; 2° Il existe un objet d'effet nul dans celle comj)osilion : objet nul. Cette composition sera nommée addition. II. — On peut définir un mode de composition possédant les propriétés de la nuiltiplicalion, c'est-à-dire tel que : |o I,e mode soit associalif, comnmlatif, univoque et dislriliulif [lar rap- port à l'addition ; 2» 11 existe un objet d'effet nul dans la composition : objet imité ; 3° L'objet d'effet nul dans l'addition joue un rôle singulier; il se repro- duit par multiplication avec un objet quelconque. On nommera le mode de composition précédent multiplication. Lorsqu'on fixe un ensenililc quelci)iH|ue de tels objets, une question se pose naturellement : l'ensemble des objets est-il équioahmt à l'ensemble des symboles ? En d'autres termes, peut-on faire correspondre à chaque objet un symbole et à chaque symbole un objet de façon que la corres- pondance se conserve lorsqu'on exécute sur les olqets et les symboles des opérations correspondantes"? d72 ALGEBRE SUPERIEfRE Si les objets sont des grandeurs à signe, on a déjà vu qu'on avait la représentation des nombres négatifs entiers; si l'on admet de plus leur divisibilité en parties égales, on a la représentation des nombres ra- tionnels. On peut d'ailleurs représenter également les polynômes à une ou plusieurs indéterminées. Considérons maintenant une équation irréductible déterminée, /•(^) = 0 ; on peut, dans le système d'objets donné, dernander s'il existe ou non des racistes, c'est-à-dire rechercher s'il y a ou non des objets du système qui, composés avec eux-mêmes ainsi que l'indique le polynôme f{x), donnent l'objet d'effet nul dans l'addition. 11 est clair que la réponse à cette ques- tion dépend du système d'objets qu'on se donne et que la question est plutôt du ressort des mathématiques appliquées que de? mathématiques pures. Le théorème de d'Alembert est une proposition qui permet de répondre affirmativement à la question dont on vient de parler, pour certains sys- tèmes d"ol)jets, en particulier pour les segments situés dans un plan. Considérons en effet les segments situés dans un plan, c'est-à-dire des éléments ayant à la fois une longueur, une direc- tion et un sens ; nous regarderons deux segments parallèles de même longueur et de même sens comme étant le même objet, c'est-à-dire que l'origine d'un seg- ment est indéterminée. Le segment nul sera celui dont l'origine et l'extrémité coïncident. On définira la somme de deux segments OA et OB comme le segment or, qui a même origine que le premier et même extrémité (|ue le second, lorsque l'origine du second coïncide avec l'extré- mité du premier. l'our définir la multiplication, nous supposerons qu'un segment donné OA a été pris comme unité ; le produit d'un segment OM par un segment ON est alors un segment OP tel que les triangles OAM et ONP soient semblables et disposés de même. La disposition est définie, on le sait, par la succession des éléments : côtés et angles. On a supposé dans les définitions précédentes de la somme et du produit que les segments considé- rés avaient même origine; il est inutile d'ajouter que c'est là une hypothèse légitime d'après la défi- nition donnée d'un segment, et il serait facile d'éta- blir que les opérations ainsi définies satisfont bien aux neuf conditions indiquées plus haut. Le théorème de d'Alembert peut alors s'énoncer de la manière sui- vante : Etant donnée une équation alyéb)ique entière d'ordre n, fx, = 0» LES NOMBRES ALGEBRIQUES 17:} ilo)it Irs coefficietits représentent des ser/utcnts qiu.-'conqites, il existe tou- JuKrs n seytnents qui la v-rifient, c'osl-à-diro (|ni, composés avec eux- inèines et les segments coeflicienls, comme rin(li(|iie le polynôme f{x], coiuluisenl au segment zéro. C'est là un tiiéoréme de pure (jcoui'hrie, lliéorème qui est en outre trljs spécial, puis(|u'il faut démontrer un théorème analogue pour chaque en- semble d'objets (|ui peuvent être représentés par nos symboles. Remarquons il'ailleurs du théorème de iTAlembert qu'il prouve l'exis- lence de n segments dont les fonctions symétriques élémentaires sont des segments quelcorK|ues donnés à l'avance. Nous verrons plus tard qu'en Algèbre, c'est-à-dire dans l'étude des symboles algébriques, il suflit d'élal)lir le fait lorsque les segments donnés sont des segments rationnels ou entiers, la proposition s'étendant d'elle-même à n segments algébri- ques, mais qu'on n'a jamais à considérer des segments quelconques. 11 arrive en elfet généralement que lorsqu'on choisit 7i segments quel- conques, il est impossible de choisir le segment unité de façon (|ue les autres soient rationnels ou algébriques. Le théorème de d'.-Membert sort donc, même avec riiilcrprétation précise que nous lui donnons, du do- maine de l'Algèbre entendue comme l'étude des symboles algébriques. Il est presque inutile d'ajouter ici que toutes les dén"ionstralions rigou- reuses qu'on a données de ce théorème au point de vue où nous nous pla- çons, en particulier celle de Caucliy, peuvent aisément être rendues purement géométriques. Nous renverrons le lecteur aux ouvrages connus pour vérilicr ce point. Nous ne donnerons ici la démonstration du théo- rème que dans le cas extrêmement simple où j\x) est du second degré ; elle ne fait alors appel qu'à des considérations innnédiates de Géométrie élémentaire. On peiit évidemment supposer f(x) mis sovis la foi'me o:- — p^x -{- p:,, jH et j)2 étant des segments déterminés, mais quelconques. Il est clair 1 que si l'on pose x^i/-\--pi, la détermination de y dépendra de la relation •ir Mais on sait construire le segment -y' — p.,, designons-le par n ; il restera à déterminer le segment y qui vérifie la relation !/■- = «• On observe que la droite issue de l'origine sur laquelle il sera situé est la bissectrice de l'angle formé par le segment a et le segment unité ; sa longueur sera d'ailleurs une moyenne proportionnelle entre les lon- gueurs des segments a et 1 ; on a appris à la construire en géométrie élémentaire. Les deux segments r, et — r, qu'on obtient ainsi, vérifient évidemment tous deux la relation y^ =z a ; il suffira de leur ajouter le segment - pi pour 174 ALGEBRE SUPERIEURR obtenir deux segments ii et :, vùrifianl la relalion x- — pix -i-pi = 0. I.e théorème est donc démontré dans le cas du second degré. IV. — Les fonctions symétriques. 24. 11 résulte manifostemont de l'introductioii des nombres algé- briques dans le calcul que tout jjolynomc entier en x de degré n'a roe/ficients rationnels, peut s'écrire et d'une seule manière sous forme d'un produit de n facteurs du premier degré en x, à coefficients algé- briques. Si l'on a en ellet, en décomposant le polynôme f{x) en facteurs irréductibles, , a/ \ jv \ /x/ \ on voit que dans /"(x), les facteurs (lupn'niier degré (a- — i) corres- pondant aux racines ? de l'équation g[x) — 0 figureront à la puis- sance a, les facteurs {x — -/]) correspondant aux racines de h{x) = 0 figureront à la puissance p, etc. La théorie de la divisibilité des polynômes montre qu'il n'existe pas d'autre décumposition de f{x) en facteurs du premier degré. La relation f{x) = 0, dans laquelle on ne suppose rien sur la réduclibililé du polynôme f{x), et lorsqu'on la considère comme dé- finissant les nombres algébriques qui la vérifient, s'appelle, comme l'on sait, une équation algébrique. Les n nombres algébriques Xi, X2, . . , x„ dont plusieurs peuvent être égaux et qui vérifient l'identité en x, f(x) = (X — Xi){x — X2)... {x — x„), sont dits les racines de cette é({uation. A l'égard de ces nombres on peut observer qu'en décomposant f{x) en facteurs irréductibles, il est toujours possible de former une équa- tion qui admette pour racines tous les nombres différents de îa suite Xi, Xo,.. ., Xn', cette équation est manifestement g{x).li{x) l{x) = U. Nous ferons remarquer, néanmoins, qu'il n'est nullement néces- saire de décomposer f{x) en ses facteurs irréductibles pour arriver à ce résultat et nous allons pour l'établir donner ici une notion importante, celle de polynôme dérivé d'un polyncuiie. 25. Considérons un [xilynome de degré n à coefficients rationnels, f[x) — Uq x" h- a, x""^ -+-... -h fl„_i X -r- rt„. LES NOMBRKS AUiÉBRiQUKS l7o et rcmplarons dans ro [tnlviHtiiii' j- par c -\- h \ imiis olilii'inlidiis, en ordonnant !•■ rùbullat suiv;inl les puissances croissantes de //. hi nouvelle identité en x et //, f{x + h) = f{x) -^'lr\x) -f- j^/"(x) -+-•■-+- ^-;|^ • /""(-r), f{x), f'{x),. . désignant les polynômes suivants : f\x) = na^x"-^ +(n — l)a,a,"--H -h fl„_,, r{x) = n{n — \)a^x"-- + [n — l)(u — 2)a,a;"-=' -h •• -^ 2.rt„_2, /■"(x) = »(/i — l)(n — i>j 2 1 . <'o. On observe que le polynôme f\x) se déduit du polynôme f'{x) en opérant sur ce dernier comme on a opéré sur f{x) pour obtenir f'[x). On dit que le polynôme f'{x) est le dérivé du polynôme /(.r) ; le polynôme f'"{x) qui est le dérivé de f\x) sera dit alors polynôme dérivé secoiul de f{x), etc. Il convient de remarquer que si les coeffi- cients du polynôme f(x) sont entiers, ceux de ses divers dérivés le sont également. Cela étant acquis, il est clair que si un polynôme f{x) est irré- ductible, il est premier avec le polynôme dérivé f'{x) ; un polynôme irréductible est, en efîet, premier avec tout polynôme entier de degré inférieur au sien. Considérons ensuite un produit de deux polynômes irréductibles f{x) et g{x) supposés ditlerents, polynômes qui sont évidemment premiers entre eux, et formons le polynôme dérivé du produit F{x) = f{x).g{j:). C'est, par définition, le coefficient de /; dans le produit f{x -+- li).g(x -+- h), et comme Ton a f{x+h) = f{x)^^r{-v)+^/'{x)+... , g{x+h) = g[x) -^^g\x) ^ ^g"{x) -h ••• , il en résulte F'{x) = f{x).g'{x)^g{x).f'{x). On peut affirmer que F{x) est premier avec F'{x). En efiet, pour qu'un des facteurs g{x) de F{x) divise f{x).g'{x) -^ g[x).f'{x), il faut et il suffit qu'il divise f{x).g'{x); or g{x) est premier avec f{x) et avec g'(x) ; donc il est premier avec leur i)roduil. 176 ALGÈHRK SUPÉRIEURE La proposition s'étend immédiatement ù un nombre quelconque de facteurs irréductibles différents, d'où il résulte que : Tout polynôme qui Ji admet que des diviseurs distincts est premier avec le polynôme dérivé. Soit au contraire un produit f\x) de a facteurs irréductibles idonli(iues ; le coefficient de h dans l'expression f\x-^h), c'est- h h^ a-(lirc dans le développement de [f{x) -+--f{x) -\ fU). . ]', est manifestement a /"^-'(a;) f'{x). Comme f{x) et f'{x) sont pre- miers entre eux, /"^(.r) admet avec le polynôme dérivé le plus irrand commun diviseur f'^'^Hx). On conclut do là que tout /lolynotne [' //ni, décomposé en facteurs irréductibles, a la forme F^-/•^,7^.. i\ admet avec le polynôme dérivé F' un plus grand commun diviseur \y = f^-'.g'-'... /"'-', et par suite (\\\'aprcs division de F par ce plus grand commun diviseur on obtient un polynôme dont tous les facteurs irréductibles sont distincts. Il suffira par conséquent pour passer d'une équation f{x) — 0 à une équation admettant seulement les racines distinctes de la première, de diviser f{x) par le plus grand commun diviseur entre f{x) et f'{x) et d'égaler à zéro le quotient obtenu. 26. Considérons donc une équation f{x) = 0 dont toutes les racines sont distinctes. Si Ton pose f(^jc) = x" — piX"-'-{-p,x'-' ••• ±;.,„ on obtiendra entre les coeflicients pi, pt, . . . , p„ et les racines 0,',, ..., x,,^ les relations fondamentales bien connues : a-i + a:, 4- • • • -h X,, — p, , XiXi-h ■■■ -h Xn^iXn = /)o , XiXj Xn — p» . On les énonce en disant ijut' lorsque le coeffu-ient de x" est l'unité, les LES NOMBRES ALGÉBRIQUES 177 co<'ff\cimts de réipurfiou sunt, au signe près, tes fondions symétri- ques élémentaires des racines. Nous allons éludior d'une manière plus {générale des fractions rationnelles de a.-,, a^, . . . , x,, symétriques par rapport à ces lettres, c'est-à-dire qui ne changent point lorsqu'on y remplace respective- ment Xi par Xk et X/, par a-,, quels que soient i et le choisis dans la suite 1, 2, . . ., n. A leur sujet nous établirons so»s la seule condi- tion que Xi, Xi, ...,x„ soient des symboles différents capables de se composer entre eux et avec les 7iombrt's rationnels en suivant les lois de l'addition et de la multiplication des entiers, les deux propositions sui- vantes : Toute fraction rationnelle symétrique de Xj, a-j, . . . , a?„ à coef- ficients rationnels est le quotient de deux polynômes symétriques en j"i, a-oi ■ . . , Xn à coefficients entiers ; Joui polynôme symétrique en Xi, x^, ...,a-„ à coefficients entiers peut s'exprimer d'une seule manière comme polynôme entier en p,, Pi, ...ifn à coefficients entiers ; pu P2, ■■•,Pn étant toujours les fonctions symétriques élémentaires de .r,, Xi, . . ., a-,,. Soit -7—^^ — ", une fraction symétrique rationnelle irréduc- g[xu Xi, . . .,Xn) tible, c'est-à-dire telle que les deux polynômes f et g, qu'on peut évidemment supposer à coefficients entiers, décomposés en facteurs irréductibles, n'aient aucun facteur commun. Je vais montrer que /" et g sont des fonctions symétriques entières. En effet, d'après la f définition même d une fonction symétrique, — ne doit pas changer lorsqu'on échange entre elles deux des lettres Xi, . . . , x„, par exem- ple Xj et Xi. On a donc lidentité f[Xy , X2, ... Xn) f[X2 , Xi , ... X„) f[Xi , .To , ... X„) f{Xi , Xi , ... X„) g{xi,x.2, ...x„) g{x2, Xt, ...x„) g{xi,X2, ... x„) — g{xo,Xi, ...x„) La différence f{xi, x^, . . . , Xn) — /(x-o, Xj, . . . , x„) est un poly- nôme entier en Xi qui devient égal à zéro lorsqu'on y remplace Xi par Xo ; s'il ne se réduit pas à zéro, il est donc divisible par Xi — x^ ; il en est de même de la différence g{xi, Xi, . . ., x„) — g{x2, Xi, . . ., x„). On peut donc, en supprimant ce facteur commun Xi — X2, écrire l'identité f r THÉORIE DES NOMBRES. 12 178 ALGÈBRE SUPERIEURE /' et q' étant des polynômes an Xi, x^, . . ., Xn qui sont on x, et x^ de degrés respectivement inférieurs aux degrés de /" et de g\ or une telle identité est impossible puisqu'on a supposé - irréductible. On conclut do là (luc la différence se réduit à zéro, et comme cela a lieu quelles que soient les lettres iCi, X2 choisies, la fonction f est symétrique. Il en sera de même de la fonction g. La remarque précédente fait voir qu'on na besoin d'étudier que les fonctions symétriques entières à coefficients entiers de Xi, x^^..., x„. Soit donc F(a:i, Xa, . . ., x„) une telle fonction; nous allons mon- trer qu'elle s'exprime, et d'une seule manière, comme fonction entière à coeflicients entiers de pi, p^., . . ., pn- La fonction F est une somme de termes de la forme A.rjia?2». • .a^'^-, «1, a,, . .., a„ étant des entiers positifs et A un entier ; désignons par g un entier positif supérieur à la plus grande des sommes ai -1- ao -h •• -h a„ et faisons dans /)i, /^o, . . . , pn la substitution a;,- = x9'~\ Les polynômes en Xi, x^, ■ • • , x„ que nous avons désignés par Pi, Pi, . . ., Pn deviendront des polynômes à une variable x, et les termes de degré le plus élevé en x seront respectivement dans ces polynômes, des termes en xr-', xs''''+r~\ et x9''+9'+S^+---+9''-\ Si maintenant nous considérons le polynôme F, le terme deviendra Aa?^./~'+''..-i»"~M-"-+^,p», et d'après la manière même dont on a choisi g il n'y a aucune réduction possible entre les termes du polynôme à une variable ainsi obtenu. Ces termes corres- pondent donc dune manière univoque et réciproque aux termes de F(ar,,a?2,...,a'„). Or on peut ranger les termes du polynôme à une va- riable dans un ordre déterminé, par exemple en Tordonnant par rap- port aux puissances décroissantes de x ; il en sera par suite de même pour F(a?i, a?2, ...,x„). Considérons en particulier le terme Axt^x^-i xf,"-, puisque la fonction F est symétrique, elh^ ren- ferme aussi les termes qu'on déduit do celui-là en y perniulaul d'une LES NOMBRES ALOEBRIQUES 179 inanirio (inrleouqur les j: ; itarnii tous ces termes cilui (|ui sera rangé le premier sera évidemmeni un de ceux pour lesquels les entiers de la suite a,, a,, ..., a„ ne vont jamais en décroissant. Sup- posons que ce terme donne le terme de degré le plus élevé du polynôme à une variable; nous retrancherons de F(xi, ar^,..., x„) le terme A/}^;y5■J />;,•., dans lequel j3,, . . . , p„ sont déterminés d'une manière unique par les relations P« = «1, P„_. + p„ = a,, c'est-à-dire où Ton a p„_,- = a,^_, — a,, les lettres Pi, P2, -..Pn étant remplacées par leur expression en a^i, Xo, . . ., x„. On fera ainsi disparaître le terme de F(ari, a?,,..., x„) qui donne le premier terme du polynôme à une variable correspondant. Si l'on remarqu(^ qu'en transformant Apfip?.- pf^n en un polynôme à une variable, le terme considéré est celui qui est de degré le plus élevé, on voit qu'on a abaissé le degré du polynôme à une variable correspondant à la fonction F(ar,, Xo, . . . , x„). En opérant sur le polynôme à une variable déduit de F— Apï-jD^î pl^ comme sur F, et ainsi de suite, on parviendra évidemment et d'une seule manière à une expression indépendante des x. On pourra donc écrire F = ^\phpl* pi", et les coefficients du second membre seront manifestement entiers en même temps que ceux du premier. Il reste à démontrer ({u'il n'existe pas une seconde manière de ramener F à une fonction entière de Pi, p^, • • • , Pn, c'est-à-dire au fond qu'il n existe pas de fonction entière de pi^p^, ...,p„ qui soit nulle quels que soient les x, sa7is être aussi nulle quels que soient les p. Admettons que l'on ait entre les x Fidentilé ÏApïl/3|2 pin = ïA'pfipli pf/'.. La transformation Xi == x9'~^ fera correspondre aux deux mem- bres des polynômes entiers en x qui seront également identiques. 180 ALGEBRE SUPERIEURE Considérons le terme A/jp/952. ...p^n, qui conduit au t'-rme de degré le plus élevé du polynôme en x correspondant et le terme ana- logue A'pïîplâ p> du second membre. On aura évidemment, puisque ces termes de plus haut degré sont identiques, A = A' et ensuite ,n-n ho"-' ^ Hg""-' + r~') + • • ■ + Ug' + .9' + ■ • + g' ce qui peut s'écrire Kg' + (?« + ?«-.)^' + ••• + (P„-H p„_. + ••• + ?0i/"-^ Cette relation ayant lieu quel que soit ^, suppose choisi supé- rieur à un certain nombre, on en déduit K = K , P„ 4- p„_i = p'„ -t- [i;_, , c'est-à-dire que les p sont identiques aux ^'. Le raisonnement se continue après suppression des deux termes identiques et la propo- sition est par conséquent démontrée. La mélhodo précédente pour le calcul des fonctions symétriques est connue sous le nom de méthode de Warincr. V. — Propriétés générales des nombres algébriques. 27. Les propositions établies sur les fonctions symétriques de Xi, X2, . . . , a;„ vont être appliquées à l'étude d'une question qu'on peut poser immédiatement après l'introduction des symboles algé- briques: Nous avons vu qu'avec les nombres algébriques -i,-^, . . . , ?„ s'introduisaient nécessairement dans le calcul toutes les fractions rationnelles de ?i, ?2, • • • , ^n à coelTicients rationnels ; il est donc intéressant de savoir quelle est la nature de ces éléments, c'est-à- dire comment chacun deux, est lié aux nombres rationnels. LES NOMBRES ALGKimi(jUHS 181 Nous allons rocherchtT (luno manière plus générale la nature (les fonctions de nombres algébriques donnés que l'on sait dt'linir jusqu'à présont, c'cst-à-diic des polynômes entiers, des fractions rationnelles et des fonctions algébriques; mais pour plus de préci- sion nous nous bornerons à considérer des nombres algébriques entiers. Nmis avinis en ellet observé que toute relation entre de tels nombres se transforme immédiatement en une relation entre des nombres algébriques quelconques, et réciproquement: nous verrons d'ailleurs que les propositions auxquelles on parvient ainsi seront les généralisations naturelles de celles obtenues dans l'étude des nombres entiers ordinaires. Désignons par f{x) = 0 une équation irréductible d'ordre n à coefficients entiers, le premier d'entre eux étant l'unité, et soit ^ l'une de ses racines, c'est-à-dire un nombre algébrique entier déter- miné d'ordre n ; proposons-nous d'étudier la nature des fonctions rationnelles de ;, à coe^cients rationnels. On sait qu'une telle fonction se ramène toujours, à l'aide delà relation /(^) = 0, à un polynôme entier en i à coefficients rationnels, de degré inférieur à n ; il suffit donc de considérer ces polynômes et même les polynômes à coef- ficients entiers dont les premiers dérivent immédiatement. Soit donc 9(?) un polynôme entier en ; à coefficients entiers de degré infé- rieur à n ; désignons par ?i = ?, ?«, ?:,, . . . , f„ les racines de f{x) qui sont distinctes, comme l'on sait. Il est clair que si l'on consi- dère le produit ^z) = [z-g{^,J].[z-g{l^ [z-9{^.„)] étendu à toutes les racines de f{x), ce produit est un polynôme entier en z dont les coefficients sont entiers, le premier étant l'unité, puisqu'ils sont symétriques en ?,, Ç3, . . . , ?„. Or ce produit s'annule en particulier pour z = g{^) ; on conclut de là que g{^) est un nombre algébrique entier, d'ordre au plus égal au degré de *, c'est-à- dire à n. Si l'équation 4>(z) = 0 est irréductible, on peut affirmer que g{^) est un nombre algébrique d'ordre n. Sinon, soit 0(2) un facteur irréductible de 'ï'(z); cp(2) s'annule pour une dos valeurs de ^(^), c'est-à-dire que l'équation ?l^(^)j = 0 et l'équation f{x) = 0 ont une racine commune. Comme f{x) est irréductible, il en résulte que ^[g{x)] est divisible par f{x), c'est-à-dire en d'autres termes 182 ALGEBRE SUPERIEURE que o(z) s'annule pour toutes les déterminations distinctes de g(^). Il est clair que o{z) ne peut s'annuler pour d'autres déterminations de z, donc tous les facteurs irréductibles de ^{z) sont identiques. On a par suite 4>(z) = [o(z)]^ et si Ton désigne par k le degré de o(z) : n = kp. Uordre du nom- bre algébrique entier g{^) est donc toujours un diviseur de l'ordre de ;. 28. Nous avons reconnu que les polynômes en ï d'ordre inférieur k n et à coefficients entiers sont des nombres algébriques entiers de différents ordres, ces ordres étant toujours des diviseurs du degré de l'équation irréductible qui définit ç ; on dit que l'ensemble de ces polynômes en ^ à coefficients entiers constitue un domaine algé- brique d'intégrité et l'on désigne ce domaine par [;•. Essayons d'approfondir un peu plus la dépendance qui existe en- tre les polynômes irréductibles f{x) et o{z) qui s'annulent pour deux éléments Ç et g[^) du domaine [?]. Admettons toujours que ^(i) soit un nombre algébrique entier d'ordre k\ nous savons que parmi les expressions g[i\), g^M), • -, 9{^n)> /•-■ seulement sont distinctes ; nous pouvons supposer que ces expressions sont précisément et nous rangerons les autres de telle sorte que l'on ait sous la seule condition j = i -\- ynk, m étant un entier quel- conque. Considérons alors l'équation en ?: g{^) — g{^i) = 0; elle admet évidemment toutes les racines Çy telles que j = i -\- jnk et n'en admet pas d'autres. Par conséquent le plus grand commun diviseur entre g{x) — g{^i) et le polynôme f{x) est le produit M.(^ — y') dans lequel j = t -^ mk. Si nous désignons par h[i\ 9(;,)] ce produit, on pourra écrire f{x)=llh[x,g{^.i)]. Cette formule montre que l'équation f{x) = 0, qui est irréduc- tible, admet le facteur h[x, g{ii)] si l'on désigne par g{^i) une racine LES Nd.MliRKS AI.CiKBHlOUKS 183 (le l'équalii»!! qui définit g'^), c"osl-;i-(liro une racine de 9(3) = 0. On énonce liabiluellement ce résultat en disant que dans le domaine d'inlrijiilè ■^(:)j, l'équation f\x) = 0 est réductible, ou en d'au- tres termes que l'adjonction du nombre algrbrirjac entier g[-) à l'en- semble des riombres entiers permet de décomposer le polynôme f{x) en deux facteurs dont l'un est li'x, g{^)]. 29. Passons à la considération des fractions rationnelles, à coeffi- cients rationnels, de nombres algébriiiues entiers donnés. De telles expressions étant le quotient de deux polynômes entiers à coefTicients entiers, nous commencerons par étudier ces polynômes. Supposons donc que Ç, r,. Ç, ... soient des nombres algébriques entiers qui véri- lient chacun Tune des équations irréductibles à coefficients entiers f{x) = 0, 9{y) = 0, hiz) = 0, équations qui sont respectivement de degrés /, 7?i, n, . . ., et consi- dérons un polynôme entier à coefficients entiers ?(;,/;,!;, ...). On peut évidemment l'amener en tenant compte des définitions de 5, Tj, ^, ..., à ne renfermer ç qu'au degré / — 1 au plus, 7) qu'au degré m — -1, etc., sans que ses coefficients cessent d'être entiers. Si Ton effectue alors le produit on obtiendra un polynôme entier en u dont tous les coefficients sont des polynômes entiers en rj, Ç, . . . à coefficients entiers, sauf le premier qui est l'unité, polynôme qui s'annule pour u = P(Ç, r,, C, . . .). Désignons par Pi(w, yj, ^, . . .) ce polynôme et formons le produit t=i ceproduit ne renfermera plus ni ^ ni r,, et s'annulera toujours pour W = P(?,7),r, ...). Il est clair qu'on parviendra ainsi à un polynôme entier en u à coefficients entiers, le premier étant l'unité, c'est-à-dire que le sym- 184 ALGEBRE SUPERIEURE bole P(:, r;, Ç, . . ) qui annule ce polynôme, est un nombre algé- brique entier. L'ordre de ce nombre est d'ailleurs au plus égal au produit des ordres des nombres algébriques ?, ■/;, t, . ., et il serait aisé de montrer qu'il est toujours un diviseur de ce produit. On peut donc dire que toute fonction entière à coe/Jîcients entiers de nombres algébriques entiers est un nombre algébrique entier. Toute fraction rationnelle de plusieurs nombres algébriques entiers se ramène donc à la forme ^^ ^i et 3, étant deux nombres algébri- Pi ques entiers que Ion sait définir. Si l'on désignepa'r p,, Pa,-- , ?« les nombres algébriques conjugués de p, c'est-à-dire les autres racines de l'équation irréductible à coefficients entiers que vérifie 3, on a évidemment ^ _ 7..3o.33 .... ^,, c'est-à-dire que — * est le quotient d'un nombre algébrique entier Pi par un nombre entier. Toute fraction rationnelle de plusieurs nom- bres algébriques entiers est donc un nombre algébrique, qui n'est généralement pas un nombre algébrique entier. 30. Considérons maintenant un polynôme entier en x dont les coefficients sont des fonctions entières des nombres algébriques entiers i, r,, :, . . . Soit P{x, 5, r., r, ...) ce polynôme; on peut se poser à son égard la question déjà posée à l'égard des poly- nômes à coefficients rationnels : Existe-t-il des nombres rationnels ou algébriques x^ qui, mis à la place de a-, donnent l'identité P(a^„, l r„ r, ...)=0. Il suffit de se reporter aux raisonnements du paragraphe précé- dent, pour conclure, de la relation P{Xq, î, r,, ^ . . .) = 0, une re- lation à coefficients entiers : R(^o) = 0, c'est-à-dire que le nombre x^ est l'une des racines de l'équation R(ar) = 0. Il résulte d'ailleurs de la théorie de la divisibilité qu'il existe un nombre de racines de l'équation R(a') = 0 égal au degré du polynôme P(a', ;, tj, ^, ...) qui annulent ce polynôme, c'est- à-(liro que tout polynôme entier en x, à coefficients algébriques, s''an- LES NOMBRKS ALOÉBRUJIES 185 ;jj//t' pour uu nombre de déterminations algébriques de x, égal à son degré. Si l'on suppose en outre ((ue le coellicieul tle la plus haute puis- sance de X dans P(t, 5, r,, ^, ...) soit l'unité, on voit qu'il en sera de mi^me dans R(ar), c'est-à-dire que les nombres algébriques qui annulent le poh/nome P(.r, $, tj, Ç, ...) dont les coefficients sont des nombres algébriques entiers, le premier étant l'unité, sont des nom- bres algébriques entiers. Considérons, par exemple, le cas simple d'un polynôme entier en ?/, dont les coefficients, sauf le premier qui est l'unité, sont des fonctions entières à coefficients entiers d'un seul nombre algébrique entier ;, racine de l'équation irréductible f{x) = 0. Si l'on désigne par g(tj, l) ce polynôme, on peut se proposer de chercher quels sont les 7iombres algébriques entiers qui vérifient l'équation Nous formerons à cet effet le produit Tl5'(,V, ?-) étendu à toutes les racines ï,, ?2, •••,'« de f{x) et nous désignerons ce produit, qui est un polynôme entier en rj h coefficients entiers, par G(y). On sait décomposer Cj(y) en facteurs irréductibles, soit G[y) = E^{y).llUjf) la décomposition obtenue ; la relation Jloiy. ^) = H1v).HXy) montre que l'équation H(y) = 0 admetnécessairement une racine au moins de l'une des équations g{y, ^i) = 0, c'est-à-dire que les polynômes H(j/) et g{y, ;,) admettent un plus grand diviseur commun renfermant y. Soit d{y, ^;) ce plus grand diviseur com- mun dont les coefficients, sauf le premier qui est l'unité, sont fonc- tions entières à coefficients entiers de ;, ; on peut écrire les iden- tités en y : li{y) = d{y,l^).k{y,i;), et ces identités conduisant à des relations entières en Ç, à coeffi- cients entiers sont vérifiées, d'après une proposition connue, par toutes les racines de Téquation irréductible f{x) = 0. 186 ALGÈBRE SUPERIEURE Il en résulte que U(y) admet nécessairement un diviseur com- mun ûf(y, $) avec g{y, c) et que ce diviseur est leur plus grand divi- seur commun. On peut donc dire que parmi les racines de g(y, ç) — 0, celles qui vérifient la relation d{y^ ^) =: 0 sont des racines de l'équa- tion irréductible à coefficients entiers \\{y) == 0. Si l'on opère de môme sur tous les diviseurs irréductibles de G(t/), on peut définir une lois et une fois seulement les racines différentes de g{y, ^) = 0 comme racines des équations %,^)-0, t/,(?/,J) = 0,..., qui sont de même forme, mais de degré moindre on y, ou comme racines d'équations irréductibles à coefficients entiers. Faisons remarquer, à ce sujet, que le produit TTc?(v,i) étendu à toutes les racines de /(a?) n'admet que des racines de H(y) = 0; ce produit est d'ailleurs un polynôme entier en y k coefficients entiers, c'est donc une puissance de H(î/). En particulier, si les racines des équations (/(?/, ^,} r= 0, (i = 1, 2, . . . n) sont distinctes, on peut affirmer que Ton a '\\d{yM = Hy)- Il n'existe alors aucune décomposition de rf(î/,^) en facteurs qui soient fonctions entières de t Si l'on avait en effet d{yA)^d'{yA).d"[yA\ celte identité subsisterait pour toutes les racines de f{x) et Ton pourrait on déduire Ji^iy.'^^) = Y[_d'{y,h).'Yld."{y.% c'ost-à-diro (jue \\{y) se décomposerai! on l'actours à coefficients entiers. On dit ([ue ce polynôme d{y,l) est irréductible dans le domaine algé- brique d'intégrité [^]. Ce domaine se compose, comme on l'a dit plus haut, dos fonctions entières k coefficients entiers du nombre algébrique entier ?, et l'on voit que le polynôme d{y,\) n'admet pas de diviseurs dont les coefficients soient des éléments du do- maine. LES NOMBRES ALGEBRIQUES 187 VI. — Réductibilité dans le domaine algébrique ,;j. 31. Nous avons vu siiiliuduiio, à di'u\ ic[trist's dill'érentcs, l'étude de la décomposition d'un polynôme entier en y dont les coefficients sont fondions entières d'un nombre algébrique entier ? en poly- nômes possédant les mêmes propriétés. Il convient d'appeler ici l'attention sur l'importance de cette élude, importance qui va résul- ter de la recherclie de son origine nuluioUe. Considérons l'équation irréductible fix) = 0 dont ; est l'une des racines. Nous pouvons supposer qu'on ait commencé l'intro- duction des nombres algébriques entiers dans le calcul par celle des racines ^i, ç^, . . ., '„ de cette étiuation, c'est-à-dire qu'on ait étendu les groupes formés par les nombres entiers pour les deux modes : addition et multiplication, de façon à ce qu'ils renferment les sym- boles ç,, ^2,-. , ?H- Les symboles qu'il est alors nécessaire d'introduire avec ?i, ?2i- • , ^'» sont nécessairement tous ceux qui résultent d'une composition répétée : addition ou multiplication, des symboles ?,, ^21- • • ' ^" entre eux ou avec les nombres entiers, c'est-à-dire toutes les fonctions entières à coefficients entiers de ?i, ?2, •-.,?«• On peut dire qu'ils constituent le domaine algébrique d'intégrité Signalons en passant la différence essentielle qui existe, pour nous, entre un àovî\Vi\x\e algébrique d'intégrité [?i, ?o,. . . ,?«] et un domaine d'intégrité [«, 6, . . . , /] renfermant seulement des variables indéterminées, domaine qu'on appelle d'habitude naturel. Les élé- ments de ces domaines constituent un groupe, soit par leur addition, soit par leur multiplication, mais alors que la table de structure du groupe formé des fonctions entières de a, *^, . . . , / dérive uniquement des^^lois naturelles do l'addition et de la multiplication, la table de structure du groupe formé de l'ensemble des fonctions entières à coefficients entiers de 5., ij, • . ■ , ^n nécessite, pour être construite, l'usage des n relations fondamentales ajoutées arbitrairement : ^iSz ^n = Pn- 188 ALGEBRE SUPERIEURE L'introduction dans le calcul, des nombres algébriques ?!, ?,,...,?„ change le caractère de certaines équations irréductibles. On voit en effet que des équations, irréductibles dans le domaine des nombres entiers, deviennent réductibles dans le domaine [z^ ?2,--., ^n]', en par- ticulier celles qui admettent pour racines des fonctions entières à coeftlcients entiers de ?i, ^3, . . . , ?«, admettront des diviseurs du pre- mier degré. Si l'on veut, par conséquent, continuer l'introduction des symboles algébriques en se bornant aux symboles nécessaires^ c'est-à-dire en n'employant de nouveaux noms et de nouveaux signes que pour des symboles qui ne s'expriment pas comme fonctions entières de ç,,^^, ..,?„, \\ ^.qtk indhfensahle dm savoir décomposer un polynôme irréductible g{y) en facteurs qui soient des fonctions entières de ;,, ?o, . . ., ç„ ou du moins de reconnaître si une telle dé- composition existe et de la pousser dans ce cas aussi loin que pos- sible. On ne s'arrêtera donc que lorsqu'on parviendra à des polynô- mes (/(y, ^1, ^2,. . . , ^„) pour lesquels il n'existera pas de diviseurs entiers en y, ^1, ^2,. . . , ^„ et qu'on appellera polynômes irréductibles dans le domaine algébrique d'intégrité [^1, ^2, • • ■ , -n]- L'étude de la réductibilité dans un domaine algébrique [çj, ç,,.--, ^>.] s'olfre donc dès le début comme une chose essentielle à approfon- dir pour que l'on puisse constituer synthétiquement l'ensemble des entiers algébriques, et de plus, à approfondir auec des moyens déter- minés : on ne doit en effet faire usage que des éléments déjà intro- duits dans le calcul, c'est-à-dire ceux du domaine [ç,, ^2, • • -, ^«j. 32. Faisons on terminant une observation importante. Nous avons vu qu'on est conduit à introduire simultanément dans le calcul, les n symboles qui vériticnt la relation f{x) — 0. Il n'est pas indispensable d'opérer ainsi. Par exemple, on peut se proposer, en introduisant dans le calcul les symboles algébriques, d'en introduire le moins possible à la fois. Considérons par exemple, l'équation f{x) = 0 sur laquelle nous venons de raisonner; nous désignerons par ^ une racine de celte équation, naturellement prise au hasard parmi ses n racines, c'est-à-dire un symbole qui, véritiant la con- dition /■($) = 0, se composera avec lui-même et avec les nombres entiers en suivant les lois do l'addition et de la multiplication des entiers, et nous considérerons l'ensemble des symboles qu'on ob- tient ainsi, c'est-à-dire le domaine algébrique d'intégrité [k\. Nous LES NOMBRES ALGEBRIQUES 189 romarquoiis t\\\<' le caractère de certaines LMjualions au poinl do vue de rcxistence ou de la non oxistonce des racines a changé complètement; il existe en elTet comme précédemment des équa- tions irréductibles dans le domaine des nombres entiers qui ad- mettent des racines dans le domaine ■;], d'autres qui sans admettre de racines se décomposent en équations d'ordre inférieur, elc. Il est également indispensable ici, pour continuer l'introduction des symboles algébriques sans en iiilr-Hluire de su[ieiilus, de pouvoir fixer la décomposition de tout polynôme irréductible à coefficients entiers, dans le nouveau domaine, c'esl-à-dire d'étu- dier la réductibilité dans le domaine algébrique d'intégrité [?]. Comme précédemment, il est nécessaire de faire ciîla en n'em- ployant que les éléments déjà introduits dans le calcul, c'est-à-dire les fonctions entières de ; à coefficients entiers. A l'égard du do- maine [£] nous ferons remarquer qu a priori il paraît beaucoup plus simple que le domaine f^i, îj, . . ., in]', pour construire en effet les tables de structure des groupes que constituent ses éléments, il suf- fira de tenir compte d'une seule relation fondamenlale , /"(f) = 0. On peut en outre ajouter que tous les éléments du domaine sont distincts, puisque la seule relation rationnelle que vérifie ^ est la relation f{l) = 0 ; il n'en est pas toujours de même des éléments du domaine [?i, ;2,. • -,?'!], c'est-à-dire des polynômes entiers en ^,, îs, . . ., ;« de degré n — l en ;<, et nous verrons que c'est là ce qui fait à la fois la difficulté et l'importance de l'étude séparée des diverses équations irréductibles, lorsqu'on introduit simultanément toutes leurs racines, ce qui est indispensable pour les étudier com- plètement. CHAPITRE III LES SYSTÈMES D'ÉQUATIONS 33. Désignons par f{x) le polynôme irréductible k coeflicients entiers X" — pi x"-^ + d= /)„ ; nous avons vu dans le chapitre précédent que si des symboles différents ?i, ^2, , ?„, possédant les deux modes de composi- tion des entiers positifs que Ton appelle addition et muUiplicalion, vérifient les n relations /■(e,)=0, (i = l,2, ..., n), ces mêmes symboles vérifient également l'identité en x f{x) = {x — ^i){x — Ç2) . . . (ar — L) ou encore les 11 relations Si = JJi , Sa = Pi, • • . , S„ = p„, lorsqu'on désigne par Si, So, ..., S„ leurs fonctions symétriques élémentaires. Il est visible que, réciproquement, lorsque des sym- boles différents r],, r^,, . . ., ï)„, possédant les mêmes modes de com- position, vérifient ces dernières relations, l'on pourra écrire l'iden- tité en X f{x) = [x — v)i)(a.- — r,o) . . . (.r — T,„), et si l'on observe enlin ([uuii polynôme entier à coefficients entiers ne peut être décomposé en facteurs du premier degré j' — .r„, où les Xi possèdent les modes de composiliDn indiqués plus haut, que d'une seule manière, on en conclura qufi l'ordre de leurs éléments SYSTÈMES D EQUATIONS 191 près, les deux suites $,, Ç., . . ., ?„ et r,,, r^j, . . , t,„ sont iplicalion des deux seuls modes de composition des ? que nous avons définis. Nous sommes ainsi amenés à rechercher toutes les relations entières en ^i, Ç2, ■ ■ -, ^n à coefficients entiers qui se peuvent conclure des relations Si = Pi, 82=7)2, ... S„ = p„. Nous étudierons dans ce chapitre le problème plus général qui consiste à rechercher toutes les relations entières en Xi, x^, . . ., x„ à coefficients entiers qui résultent nécessairement de p relations données : F,(a:,, 0-2, ..., Xn) = 0, F2(a?,, ,X2, ..., a;„) = 0, V j,[Xi, ^2, ..., Xn) — 0, dans lesquelles les F sont des polynômes à coefTicients entiers et les X des symboles qui se composent, entre eux et avec les nom- bres entiers, par addition et multiplication en suivant les lois de composition des nombres entiers. Il nous semble inutile de rappeler qu'il en résulte que les polynômes entiers en .Xi, 0-2, . . ., Xn à coeffi- cients entiers se composent alors entre eux de la môme manière. Enfin, parmi les divers systèmes de relations que l'on peut ainsi former, nous insisterons plus particulièrement sur ceux qui déter- minent les symboles a^i, x^, . . ., x„. Nous voulons dire par là que les relations données n'étant point contradictoires, aucun des sym- 192 ALGEBRE SUPERIEURE boles Xi, Xj, . . ., .x„ ne peut être clioisi d'une façon arbitraire dans un ensemble de symboles connus, par exemple parmi les nombres entiers ; nous donnerons k ces systèmes le nom de systèmes d'équa- tions à solutions déterminées. I. — Les équations linéaires. 34. Examinons d'abord un cas très simple, dont la solution sera cependant fréquemment appliquée dans la suite ; ce cas est celui dans lequel tous les polynômes Fi, Fo, . . ., F^, sont du premier degré par rapport à chacun des symfjoles a?,, x^, . . , , 37„ et aussi par rapport à leur ensemble; on dit qu'ils sont linéaires en iCi, x^, . . ., x^. Le système d'équations donné a par conséquent la forme Fi = ai^a^i 4-01,2^:2 4-... -+-«!, «a:,, 4- b^ — 0, F2 = a2,^arl-^aî.2.x■2+ ••• -r-ai^pc^-^-bi = 0, F;, = a^,. i-r, -1- fl^,.j.r.2 4- ... 4- aj„„x„ 4- 6^, == 0. Nous y supposerons en premier lieu p = n, c'est-à-dire le nombre des relations égal au nombre des symboles x qui y figurent. Considérons un nouveau symbole z lié aux x parla relation z = u,.x-i 4- UiXi 4 h u„x„ , dans laquelle les u sont des nombres entiers dont on ne fixe pas d'abord la détermination, mais que l'on ne supposera jamais nuls simullauémont, de sorte qu'il n'y a réellement que n — 1 des u qui sont indéterminés ; on peut regarder l'ensemble des relations données et de la nouvelle relation F„_,_i = Wi.x, H -f- u„x„ — ; = 0 comme un système de (n4-l) relations entre les (n 4- 1) sym- boles Xx, X.2, ...,Xn etz; c'est sur ce système que nous allons raisonner. Si nous supposons connue la tbéorie des détermiiîanls, ce qui est légitime puisque celte tbéorie s'établit indépendamment de nos SYSTEMES D EQUATIONS 11)3 considérations (*), nous observons que ces {n-\- 1) relations expri- ment simplement (jue les éléments de la dernière colonne du déter- minant I) : fli.l "i.> . . . o,.„ f), D = '2,t b. n,l <'f|i.2 • • • (^n,n b, 1 ".' . . . "„ — sont une même fonction linéaire et homogène des éléments corres- pondants des n premières. Le déterminant D est donc égal à zéro, et en le développant suivant les éléments de la dernière ligne on a A: = A, Ml 4- A,i/j_|_ ■•■H- A„u„, A, A,, . . ., A„ étant des déterminants qu'il est facile de former. Le déterminant a est un nombre entier déterminé, supposons-le différent de zéro ; il résultera de là que quelles que soient les déter- minations entières que l'on donne aux u, z sera un nombre rationnel déterminé. Il suffit en outre de remarquer qu'en remplaçant m,- par u, -H h on doit obtenir une identité en h pour déduire de cette même relation en z, les n relations (II) Aj, = Aj, Ajr, = A,, . . . , A.r„ = A„, qui expriment que les x sont également des nombres rationnels déterminés. Considérons ces n relations (II) ([ui sont, d'après notre raisonne- ment, des conséquences nécessaires des relations données ; il est facile de voir qu'elles sont simplement des combinaisons linéaires à coefficients entiers de ces dernières. On a en ellet identiquement Aa-, — A; = Ai,i 0 0 0 • *'p-i "p ^ • Nous observons que l'identité en .r PiF. H h p^F^ -t- a„.G„. H h a,G, = 0 0 0 0 0 0 «m à. 0 0 0 0 0 0 0 0 0 SYSTEMES D ÉQUATIONS 199 o\]>riiur sinipli^ment qu'il t^xisItMMilrc les élémonts »/,, 7.,, ..., j/;,_^.,„ de clia(jue coluiiut' du (hUi'iiiiiiKiiil i{. I;i iclalioii liuéaire et homo- gùue et par suite que ce déterminant R est nul. Réciproquement, lors- que R est nul, il existe entre les éléments de chaque colonne de R une mémo relation linéaire et homogène dont les coefficients ne sont pas tous nuls ; on peut donc écrire l'identité on x ?,F, H h ^^Fj, -+- a„.G,„ H h a,G, r^ 0, en désignant par p , p^,, a,„, . . ., a, les coefficients de cette re- lation. Faisons remarquer qu'il résulte de ce que les coefficients des plus hautes puissances de x, dans les F et les G, sont tou- jours égaux à l'unité, que si pi est le premier des p qui soit diffé- rent de zéro, a,-, qui est égal à — p,, est nécessairement différent de zéro et c'est le premier des a qui n'est pas nul. L'identité écrite exprime dans ce cas que le plus grand commun diviseur do f(x) et g {x) est au moins do degré i. Nous pouvons conchiro de ce qui précède que la relation R = 0 est nrcesanire et snlfisante pour que les polynômes f[x) et g[x) aient un diviseur commun. 38. Proposons-nous de chercher des conditions nécessaires et suffi- santes pour que le diviseur commun soit au moins du second de- gré, c'est-à-dire pour qu'il existe une identité en x: P2F2 + • • • H- f';,F,, 4- a„,G„, H h «2G2 = 0. Une identité de cette forme, lorsqu'elle existe, exprime en parti- culier que les éléments yo, .ys, . . . , fy;,_|_,„_i de chaque colonne du déterminant Ri, qu'on obtient en supprimant dans R les lignes et les colonnes extrêmes, sont liés par la relation p2?/2 -+- h P;,y;. + ^,nyi.A-t ^ H ^^iVp-^m-l = 0, et par suite que le déterminant R, est nul. Inversement, si l'on a R, z= 0, il existe des coefficients non tous nuls, p2, ■ • ■ , P;n ^m, • • • 5 «2, tcls quo l'on ait pour chaque colonne de Ri la relation P2Î/2 + • • • + P;,?/;, -+- ^m-yp-t-i + ■ • • 4" ^^yp+m-l = 0. Formons avec ces coefficients l'expression P2F2 + • ■ • + P;,F,, + a^G,„ -+-...+ a^Go ; 200 ALGÈBRE SUPÉRIEURE elle se réduira visiblement à la combinaison indépendante de x : Mais si nous supposons que l'on a également R = 0, c'est-à- dire qu'il existe un diviseur commun à f{x) et à g{x), cette expres- sion sera nécessairement égale à zéro. On aura donc l'identité P2F2 +...-]- p^,F^, + a,„,(i„ + . . . -f- stoG. = U, et par suite f{x) et g{x) admettront un diviseur commun qui sera au moins du second degré. Les relations R = 0, Ri =0 donnent ainsi des conditions néces- saires et suffisantes pour Vexistence d'un dioiseur commun à f[x) et à g{x) dont le degré soit au moins égal à 2. La proposition peut d'ailleurs s'étendre facilement ; il suffit de la supposer démontrée lorsque le diviseur commun est de degré au moins égal à q, pour qu'on puisse rétablir, en appliquant le rai- sonnement précédent, dans le cas où ce diviseur commun est au moins de degré q-\-i. Si l'on désigne par R, le déterminant d'ordre m-\- p — 2i que l'on obtient en supprimant dans R, les 2« lignes et les 2t colonnes extrêmes (les i premières et les i dernières), on peut donc dire que les relations R = 0, Ri = 0, . . . R,^_, = 0 sont nécessaires et suffisantes pour que les polynômes f[x) et g{x) aient un diviseur commun de degré au moins égal à q. Il est aisé do donner, lorsqu'on fixe son degré, l'expression du plus grand commun diviseur des deux polynômes fix) et g{x). Considérons, en effet, la suite des déterminants R,, R2, ..., R^ dont chacun se déduit du précédent par suppression des lignes et des colonnes extrêmes ; nous désignerons par les coefficients des éléments de la dernière colonne de R. dans le développement de ce déterminant. On a évidemment les identités en x : Ba.iF, +. . . + B^,,F^,+ A„.,iG„.-h • • •+ .Aj.iG. = R,a; -+- S,,„ B3.2F3 + . . . + B^,2F,,+ A,„,2G„,4- • ■ ■ 4- A,,S, = Ro.r2 -1- S,,:a' -}- S,.,, B.-+i„F,+,-H. • •B^,,F,,-hA„,,„G„,4- • .+A;^,,,G. = Brr'-f-S.„.r'-'-+-. • •-+- S,„-, SYSTEM KS D EQUATIONS 501 (liiiii It" iiiiiulMi' ('s( l«' iiliispciil clos entiers m et p. Les cooflicienls S^., qui liguivnt dans les seconds membres, sont des dùlerminants qu'un déduit de R, en y remplaçant simplement les éléments de la dernière colonne par les éléments correspondants de la colonne de R, dont le rang surpasse de 1; celui de cette dernière colonne de R,. Ces identités monlroat immédiatement que si l'un a R=0. R, =0, ..., R,_, =0. mais non R,^ = 0, le degré du diviseur commun (jui est au moins égal à q ne peut surpasser q. Il existe donc dans ce cas un plus grand diviseur commun de degré y, qui, à un facteur près indépen- dant de X, est nécessairement le polgnome R^a-'^-h Si.^x'^-' + . . . + S,y,,/. 39. Le déterminant R, que nous avons appris à former, et qui, lorsqu'on l'égale à zéro, donne la condition nécessaire et sulUsanle de l'existence d'un diviseur commun à f{x) et à g{x), est appelé le résultant de ces deux polj'nomes. Nous nous bornerons à en signa- ler maintenant deux propriétés importantes. La première est exprimée par l'identité BiF, 4- ... -h B,.F^4- A„G„, + - • • -h A,G. = R, dans laquelle nous avons désigné par Bi, ..., B^„ A,„, ..., A, les coeflicients des éléments de la dernière colonne du déterminant R dans le développement de ce déterminant ; on l'énonce en disant que le résultant R est une combinaison linéaire des polynômes f{x) et g[x). La seconde, d'une nature toute difï'éronte, est relative à la consti- tution de R considéré comme polynôme en ai, aj, ... , a„,, />i, ^2, ... , bp : Lorsqu'on remplace dans R les symboles a^ et b^ respec- tivement par Oj-X' et è^^X''' pour toutes les valeurs de l et /c, on obtient un monôme en X de degré mp. Envisageons en effet le déterminant par lequel nous avons exprimé ce résultant ; il est clair qu'il sullit de multiplier respectivement par X, X^ ..., X'', X'», l'"-\ ..., X les éléments des lignes de ce déter- minant prises dans leur ordre naturel, pour que la colonne de rang r soit uniquement formée d'éléments de degré r par rapport à X. 202 ALGEBRE SUPERIEURE On obtient donc ainsi un monomo en ). de degré égal à la somme 1 -H 2+ ••• H- (jn H-/y), c cst-a-dire de degré 2 et si Ton remarque qu'on a multiplié R par une puissance de X d ordre égal a 1 , 1 on pourra en conclure que R était im monôme en ). de degré égal à (m-hp)(m + p — 1) p(p — 1) mim — 1) c'est-à-dire de degré égal à ynp. C'est précisément la proposition annoncée. Une autre propriété du résultant se laisse facilement déduire de là. Nous supposerons pour l'établir que les polynômes /"(a?) et g{x) sont décomposables en facteurs du premier degré ; nous voulons dire par là qu'on a les deux identités en x mil f{x) = {x — y,){x — î/o) ...[x — y g[x) = [x — Zi)[x — Zo) . . . {x — z^), dans lesquelles les y et les z désignent des entiers dont on ne fixe pas la détermination. Les a et les h sont alors, au signe près, les fonctions symétriques élémentaires des y et des z, et si l'on remarque que a, et hi sont précisément de degré i par rapport à l'ensemble des lettres y et z, on peut en conclure, en se reportant à la démons- tration précédente, que le résultant R est un polynôme entier par rapport aux y et aux z, dont les coefTicients sont entiers et le de- gré par rapport à l'ensemble de ces lettres égal à mp. Il est aisé de donner l'expression de ce polynôme. Si nous observons, en effet, que lorsqu'on remplace y, par Zu, quels que soient d'ailleurs i et k, les deux polynômes f{x) et g(x) ont le diviseur commun x — Za, on voit que le polynôme R est nécessairement divisible par y, — Z\. 11 ne peut donc difl'érer du produit TT TT [yi — Zk' qn»^ par w'i facteur indépendant des y et des z, et l'on s'assure immédiate- ment parla considération du terme a',',, ou du terme b"! que ce fac- teur est, au signe près, égal à l'unité. Nous pouvons donc écrire en faisant abstraction de ce signe SYSTÈMES D'ÉgrAÏIONS 203 U = Yl'jfy,) on hipii II = (- 1)"'''JJ/'(a) ; c'est en ces identités que consiste la pni[)iit'?(t'' aniKincée. Passons à l'examen d'une forme paiiiculière du résultant que l'on obtient dans le cas où l'un des deux polynômes f{x) et g{x) est le dérivé de l'autre. Soit par exemple /\.r) =: X'" -+- o,.x-"'-* H -+- a„,, g{x) = f'ix) = mx'"-' + (m — l)a,.r-'"-' -\ h«m-i ; le résultant des polynômes f\x) et f'{x) est, au facteur m'^ près, un polynôme entier en ûTi. a,, ..., o,,, à coefïicients entiers dont tous les termes sont en X dedegréégal à m(m — 1), lorsqu'on y remplace «, par a,X' ; on \& novame discriminant du polynôme f{x) et on le dé- signe habituellement par \f. Il résulte immédiatement de la défini- tion du résultant que la relation a^^ = 0 exprime la condition nécessaire et sufiîsante pour qu'il existe un diviseur commun à f(x) et à f'{x) et par conséquent aussi pour que le polynôme f[x) pos- sède des diviseurs multiples. Nous savons donc décider, par le seul examen du discriminant, c'est-à-dire sans rechercher le plus grand commun diviseur à f{x) et f'[x)^ si tous les diviseurs irréductibles de f{x) sont ou non distincts. Le discriminant du polynôme f{x) prend également une forme particulièrement simple et que nous devons signaler, lorsque ce po- lynôme est un produit de facteurs du premier degré. Supposons en effet que l'on ait l'identité en x : f{x) = [x— Xi){x — Xi) . . {x— x-„,), dans laquelle a:,, Xo, ..., x,„ désignent des entiers indéterminés. Une propriété du résultant, que nous venons d'établir, nous permet d'écrire v=n^'^^'-^' et si nous observons que l'on a nous en conclurons l'identité 204 ALGÈBRE SUPÉRIEURE L'expression du discriminant ainsi obtenue peut encore être simplifiée en associant les facteurs Xi — Xk et Xk — a;v, qui ne diffèrent que par le signe, et nous parvenons ainsi à l'identité w(ni—\) nn [Xi ■ à laquelle nous nous arrêterons. Elle nous montre que le discrimi- nant est à la fois une fonction symétrique entière à coefficients entiers des lettres ar,, a^o, ••-, Xn et le carré d'une fonction entière à coefficients entiers de ces mêmes lettres (*). 40. 11 convient, avant d'abandonner la question, d'appeler l'atten- tion sur la signification des résultats acquis dans la recherche des conditions de l'existence d'un diviseur commun à f{x) et à g'x), de degré déterminé, au point de vue môme où nous nous sommes pla- cés au début de ce chapitre. Ce problème nous a en effet conduits à un système de relations : R = G, R,,ï4-S,,, = 0, Roa;2 -i- Si,,^; + So,. = 0, qui sont toutes des conséquences nécessaires des relations f{x)=0, 9{x)=0, et si nous observons que nous n'avons fait usage pour l'obtenir que des propriétés de deux modes de composition des coeflîcients a,, ..., fl,„, /y,, ..., hj, entre eux et avec les entiers positifs, nous pouvons ajouter que les résultats acquis sont démontrés sous la seule condition que l'on conserve ces deux modes de composition. C'est là une remarque dont nous aurons bientôt ;i nous servir. C) 11 n'est pas inutile d'observer que cette proposition, ainsi d'ailleurs que la proposition analofi,ue établie à légard du résultant dans un cas particulier, sera démontrée pour tous les polynômes di's qu'on aura établi la possibilité logique de détinir les nombres algébriques ainsi que nous lavons fait. SYSTKMKS I) KOUATldNS 205 Le syslt'mo ([lU' ikhis venons d'écriri' posst'dc en oulre des pro- priétés remanjuables qu'il serait inlércssanl dapprofondir. Nous nous bornerons à signaler la suivante, dont la démonstration est immédiate dès qu'on a établi ([ue le résultant R considéré comme po- lynôme en rt,, Oo, ..., a,„, l>\, O,, ..., bi,esl Irréductible : lorscju'on suppose R, dilTérent de zéro, les doux premières relations : \ R = 0, ) H,.r-f- S,,, = 0, forment, vis-à-vis des symboles ai, a», ..., a,„, bt, />.>, ..., ùj, et .r, un système équivalent au système des deux relations f{x) = 0. 9{x) = 0. III. — Systèmes d'équations en .> et en y. 41. Nous allons maintenant aborder l'élude d(^s systèmes d'équa- tions renfermant deux symboles x et y et pour plus de netteté nous commencerons par le cas où le nombre des équations est précisément é^a/ à cJeuj;. Il s'agit par conséquent de rechercher toutes les rela- tions entières en x et en y à coefficients entiers qui sont des consé- quences nécessaires des doux relations F(.r, y) = 0, G(.r, y) = 0. Remarquons immédiatement que si l'on a identiquement Y[x,y)= F,{.x-, .v).F,(.r, ?/), Fi et Fo désignant également dos polynômes à coefficients entiers, qui renferment ou non les doux symboles x et ?/, los conséquences nécessaires des relations (I) sont ou bien des conséquences néces- saires des relations ( G(.r, ,j) = 0, ou bien dos conséquences nécessaires des relations (111) JF.(.,,) = 0. Réciproquement, los relations (II) ou les relations (III) entrai- 206 ALGEBRE SUPERIEURE lient nécessairement les relations (I), en sorte que le système (I) est équivalent, dans le sens donné plus haut à ce terme, à l'en- semble des systèmes (II) et (III). On peut donc se borne)' à considérer des stjstèmes de la forme (I) dans lesquels F(.r, y) et G{x, y) seront des polynômes irréductibles ; c'est ce que nous ferons effectivement. Supposons par conséquent F(a?, y) et G(a:-, y) irréductibles et diffé- rents, de telle sorte que le système (\) renferme bien deux équa- tions ; nous désignerons par ). le degré maximum de F par rapport à l'ensemble des lettres x et y (ce qu'on appelle quelquefois la dimension maximum de F) et par [jl le nombre analogue relatif à G. Nous allons, en suivant une méthode déjà employée pour les équations linéaires, rechercher les propriétés du symbole -, lié à X eiliy par la relation z = ux-{-vy, relation dans laquelle u et u représentent des nombres entiers dont nous ne fixons pas la déter- mination et que nous ne ferons jamais nuls simultanément. Remplaçons, à cet effet, dans les relations (I) ¥[x, y) = 0, G(x, y) ^ 0, multipliées respectivement par v'- et par t'-^, le produit vy par la dif- férence z —ux; nous obtiendrons les nouvelles relations Fi(ar, z, ^^, v) = 0, Gi{x, r, u, v) = 0, qui, lorsque u est différent de zéro, sont des conséquences néces- saires des relations données. On observe d'ailleurs que Fj et Gi sont homogènes et de dimensions respectivement X et |jl par rapport à M, V et z, et que ces deux polynômes renferment effectivement j\ l'un à la puissance X, l'autre à la puissance [x, les coefficients de ces puissances étant des polynômes déterminés en u et y, c'est-à-dire n^étant pas nuls quels que soient u et v. Si l'on exclut, par conséquent, les valeurs de u et v pour les- quelles ces coefficients s'annuleraient, l'on peut appliquera Fi et Gi les résultats obtenus dans la théorie du résultant. D'une manière plus précise, nous savons former deux polynômes entiers A{x, z, w, i') et B{x, z, u, v) de degrés respectivement égaux à a — 1 et X — 1 par rapport à ,r et tels qu'on ait l'identité en a- et en : : AF,4-BG, = R(.-, u, r), R désignant un polynôme entier en c, u et v qui n'est autre que le SYSTEMES D EQUATIONS 207 résultant (ios polynômes Fi et (l,. Faisons remarquer on passant que ce polynôme est liomogène par rapport aux trois lettres z, w et u et que son degré par rapport à : ne peut dci)asser le produit X}jl, ce qui est une conséquence immédiate des propriétés du résul- tant (•). La relation R(;, », u) = 0 à laquollo nous sommes ainsi par- venus d'une manière unique et déterminée et qui est une consé- (luence nécessaire des équations du système (I) a été appelée la résolvante gétiérale de ce système; nous allons en signaler ici les pro- priétés les plus importantes. 42. Nous observerons d'abord qu'il peut arriver que le polynôme H ;, II, y) qu'on appelle aussi (iuel([uefois le résolvant du système (I), ne renferme pas z. Il se réduira par conséquent ù. un polynôme en- tier en u et u, P(«, i»j, et il nous est facile d'établir que ce polynôme ne peut être identiquement nul. Si l'on avait en ell'et l'identité en X, z, u, V : AF,+BG, = 0, on pourrait en conclure que Fi et Gi ont, quels ({ue soient u et u, un diviseur commun renfermant x, ce qui est contraire à l'hypo- thèse faite au début sur F( x, y), et G(x, y). Il existe donc des valeurs de u et de u pour lesquelles le polynôme P(u, v) est différent de zéro, et par conséquent les relations (I) F(ar, y) = 0, G{x, y) = 0 nous conduisent à une contradiction. On en conclut que ces rela- tions sont incompatibles^ c'est-à-dirc qu'il ne peut exister de sym- boles X et y possédant les modes de composition que nous avons imposés à x et //, (jui vérifient les deux relations Fur, y) = 0, G(a^, y) = 0. Un exemple simple de cette circonstance, auquel tous les autres peuvent d'ailleurs se ramener, s'obtient lorsqu'on suppose identi- (*) Si Ton considère en effet les polynômes en x, V\[x, z, u, r) et Gi(j;, z, u, v), on voit quîiprès division du piemicr par v'- et du second par v^, les coefficients de x'- sont de degré égal à — i par rapport à l'ensemble des lettres z, u et ?; ; le résolvant des deux polynômes ainsi obtenus est donc de degré — a;j. par rap- port à l'ensemble de ces lettres. 11 suffit d'observer que multiplier l'un des deux polynômes par u'- et l'autre par v-"- équivaut à multiplier leur résolvant par o-'-H- pour retrouver un résolvant entier en », v et ; et de dimension Xii. 208 ALGEBRE SUPERIEURE quement G{x, y) = F(a-, 7/)4-a, a étant un nombre entier autre que zéro. Ce cas étant écarté, nous allons étudier les propriétés du résolvant en supposant en premier lieu que tous les diviseurs irréductibles de ce résolvant sont difï'érents ; en d'autres termes, le polynôme en z R[z,ii,v) eut sans diviseurs multiples lorsque u et v demeurent indé- tcrminés. La relation Hf:;, ?<, v) — 0, où l'on regarde z comme ayant été mis pour abréger à la place de ux + vy, est une identité en u et en v; si nous y remplaçons u par u-\-u' et y par u-j-u', nous obtiendrons par conséquent une identité en u, v et aussi en u' et u', identité qui sera une conséquence nécessaire de la première. Considérons plus particulièrement les deux identités en u et v qu'on obtient en égalant à zéro les coefficients de u et v' dans le développement du polynôme R[(?/+ n']j? +(u + y')f/, u-hu', u-f-u']; ces deux identités s'écrivent DuR{ux-i- vy, u, v) = 0, D^J{{ux-^vy, u, u) = 0, en désignant par les premiers membres les polynômes dérivés du polynôme Kiiix -+- vy, m, v) regardé successivement comme un po- lynôme en u et comme un polynôme en v. On voit d'ailleurs aisé- ment d'après la définition des polynômes dérivés, que l'on peut écrire ces deux identités sous la nouvelle forme : .xD;R(2, w, v) 4- D„R(2, u, v) = 0, ?/D,R(3, u, u) + D,R(2,w, u) = 0, où la combinaison z = ux -+- vy a été mise en évidence. Le système des trois identités en u el v : I R(:, u, v) = 0, (A) I .rl)Jl(=, u, u: +D„R(:, u, v) = 0, ( .vD,R(:, u, i,) + D,R(3, «, v) = 0 mérite de fixer un instant notre attention. Nous ferons d'abord remarquer que lorsqu'on y regarde u et v SYSTEMES D EQUATIONS :iU'J comme îles onliors délennincs, los trois relations ainsi ubleimes ne Sont point di>tinctos; c'est ce qui résulte de la relation 2D,R(:;, u, v) -f- u\)J\'z, »/, v) -■- vï),l\{z, u, v) = 0, relation qui d'une part est une combinaison linéaire des deux der- nières relations du système (A) et qui d'autre part, d'après l'homo- généité du résolvant, est visiblement identique à la première de ces relations. Cela étant acquis, considérons l'identité en ii et v l{{ux + vij, i<, r) =: 0 ; nuus savons que le résolvant est homogène en u, v et z, nous pou- vons donc en conclure que le polynôme R{iix-^-vy, u, v) est homogène en u et v. Si nous avons par conséquent, en posant u = 1, R'ux -+- y, n, I ) = M.g{x, y) -+- î{Mi(x, y) H- «^^^(x, ?/) + •••, l'identité R{ux -h vy,u, v) ^=^ 0 est équivalente au système des relations Mo(a?, y) = 0, Mi(x, ?/) = 0, . .' . . obtenues en égalant à zéro les cociïicients des diverses puissances de u. Si nous remarquons d'autre part que R(s, u, v) est une com- binaison linéaire des deux polynômes Fi(a-, ::, t/, v), G,(a:, -, w, u), et par suite aussi des deux polynômes F(x, y) et G{x, y) auxquels ils se réduisent, au facteur y" ou V'' près, nous pourrons en con- clure que les polynômes M, sont des fonctions linéaires et homo- gènes à coclficients entiers des deux polynômes F(.r, y) et G{x, y). Ainsi toutes les relations M; = 0 sont séparément des consé- quences nécessaires des deux relations données dont elles sont des combinaisons linéaires. Envisageons maintenant les deux dernières identités du sys- tème (A) ; elles s'obtiennent en dérivant la première soit par rap- port à u soit par rapport à u, lorsqu'on y a remplacé z par l'ex- pression iix-^vy. Si l'on y fait v = i, les coefficients des diverses puissances de u dans leurs premiers membres sont par conséquent, à des facteurs entiers près, les polynômes M,- déjà con- sidérés. Toutes les relations (A) sont donc, quels que soient les entiers u et u, des combinaisons linéaires des relations M; = 0 et par suite aussi des combinaisons linéaires des deux relations don- nées F(j;, y) = U, G{x, y) = 0. 14 THEORIE DES MOMBRES 210 ALGÈBRE SUPÉRIEURE Remplaçons dans les relations (A), m et u par des entiers déter- minés a et b choisis de telle sorte que le polynôme en c, R(-, a, h), n'ait point de diviseurs multiples. Il suffit pour cela de choisir a eib de façon que le discriminant de ce polynôme, qui est un poly- nôme entier en w et u à coefficients entiers, soit différent de zéro. Considérons alors le système R(z, fl, b) - 0, a:D,R(z, «, b) + DJl(:;, a, b) = 0, 7/D,R(z, aJj)-^ IWz, a, //) = 0, où .: représente la combinaison ax -\- b)j ; nous allons montrer que ce système est équivalent au système donné. 11 nous suffira évidem- ment pour cela d'établir que les relations données sont des consé- quences nécessaires des relations (A), puisque la réciproque a déjà été établie. D'après l'hypothèse, les polynômes R(z, o,b) et D;R(=. «. ^) sont premiers entre eux ; il existe donc deux polynômes entiers en ;:, à coefficients entiers, A.(z) et B(z), tels que l'on ail identiquement A(s).R(3, a, //) + B(s).D,R(z, «, b) = p, p étant un nombre entier diilérent de zéro, qui est le discriminant deR(::, o, b). On peut donc remplacer le système (A) par le suivant : I R(z, fl, b) = 0, (A') 1 px-i-B{z).D„\{{z,a,b)^0, ( py-\-B{z).\),\{[z, fl, ^) = 0, (jui lui est manifestement équivalent. Cela étant admis, lorsque la relation R(:;, a, b) = 0 est satis- faite, les deux polynômes entiers en x : Fifa*, :, a, b) et Gi(j', :, a. b) ont nécessairement un diviseur commun renfermant x. Ce diviseur devant diviser toute combinaison linéaire des polynômes considérés sera par conséquent, à un facteur entier près, identique au polynôme par H- B(z).D„R(z, a, 6) ; en d'autres termes, si nous prenons par exemple le reste de la division du polynôme p''Fi(x, z, a, b) par le binôme en x : p.r + B(c).D„R(z, a, b), nous obtiendrons un poly- nôme entier en r, à coeflicients entiers, qui s'annulera sous la seule condilion R(«, a, b) = 0. L'hypothèse failo au début sur SYSTEMES D EQUATIONS ^11 U(:, (i, h) nous permet d'en conclure (jue ce polynôme '!•(:, «, b) est divisible par R :, «, b). Considérons en effet un diviseur irréductible de R(:, a, b) et dé- signons-le par V[z,a,b)\ la relation V{z,a, b) = {i entraîne né- cessairement *(3, a, b) = 0. 11 est dès lors impossible que *(;, a, b) et P(3, a, b) soient premiers entre eux, car l'identité en z que l'on pourrait alors écrire A'(-).P(z, a, i) + B'(=).'K:, a, ^)=p', où Tp' est un entier différent de zéro, est contradictoire avec la con- clusion précédente. On peut donc affirmer que (r, a, h) est divisible par P(;, a, b) et que par conséquent le polynôme *(;, a, b) qui ad- met tous les diviseurs irréductibles distincts de R(-, a, b) est divisi- ble par ce dernier polynôme supposé ?ans diviseurs multiples. 11 existe donc une identité en z, de la forme p'-Vi X, z, a, b = N,(5).R(s, a, b)-\-'^i{z, J7)[px-hB(2).D„R(z, a, 6)J, et celte identité exprime qu'à un facteur entier près, Iv", ?/) est une combinaison linéaire des premiers membres des relations (A') ou encore des relations (A). La démonstration s'applique évidemment aussi à (j{x^ y). Ainsi, non seulement tout système de deux relations ¥{x, >/) = 0, G' j", y) = 0 dont le résolvant est sans diviseurs multiples est équiva- lent au système formé des deux relations R(z, a, b) = 0, .tD,R(=, a, b) ^ D„R;;, a, b) = 0, dans lesquelles z représente l'expression ax -+- by, sous la seule con- dition que le polynôme R{z, a, 6) soit sans diviseurs multiples, inais encore toute relation qui fait partie de l'un des deux systèmes est une combinaison linéaire des relations de l'autre système. Il est bien évident qu'il résulte également de là que les équations données sont des combinaisons linéaires des relations M4^, y) = 0 considérées plus baut, de telle sorte que le système donné est aussi équivalent au système formé par ces relations. 43. Les propositions précédentes nous ont montré la liaison intime qui existe entre un système de deux relations entre x et y 212 ALGEBRE SUPERIEURE et son résolvant dans le cas où ce dernier n a que des diviseurs dis- tincts. Il est aisé de voir comment on doit les modifier lorsque le résolvant Riz, u, v] possède des diviseurs multiples. rs'ous ferons observer qu'au point de vue où nous nous plaçons de la recherche des relations entières en x et y qui sont des con- séquences nécessaires des relations données : F{x,y) = 0, G{x,y) = 0, nous pouvons substituer à la relation l{{z, u, v)=0 celle que Ton obtient en égalant à zéro le résolvant débarrassé de ses facteurs multiples, c'est-à-dire divisé par le plus grand commun diviseur à R(s, M, V) et à DJl :, «, v). Si Ton désigne par S(v, w, v) le quotient de cette division, le sys- tème f S(z, u, v) = 0, (B) < .rD,S:;:, w, v) -f- D„S(3, u, v) = 0, \ ijD-'èi^, u, y)-l-DiS(3, w, v) = 0, où l'on regarde toujours z comme représentant ux-^vy, pourra remplacer le système (A). En particulier si le polynôme S(:, a, b) n'a point do diviseurs multiples, les deux relations S(s, a, b) = 0, xD,?>{z,a,b)-hD„S{z,a,b) = 0 nous donneront par de simples combinaisons linéaires toutes les conséquences nécessaires des relations données et en particulier ces relations elles-mêmes. Le système donné et le système (B) sont donc encore équivalents, c'est-à-dire conduisent aux mêmes conséquences relativement à x et à ;;, mais les relations du système (B), en par- ticulier la première, ne sont plus simplement des combinaisons linéaires des relations données. A un autre point de vue, si l'on s'astreint à ne considérer que les conséquences nécessaires des relations données qui en dérivent par des combinaisons linéaires, on parviendra naturellement à la rela- tion R(z, w, u) = 0 et par suite aussi à toutes celles qui s'en dé- duisent en écrivant l'identité en u' et v' R[{u-{-u')x-^ ^v-i- v')lj, u-T-u', v-\-v''=0 et qui en sont d'ailleurs des conséquences nécessaires, mais il est SYSTEMES D EQUATIONS -213 on gùnéral impossible croblonir ainsi la rolalion S(3, u, v) = 0 et lûules colles qui en dérivenl. Nous n'insisterons pas sur ce sujet (jui demanderait une étude beaucoup plus profonde dépassant le cadre de ces leçons. 44. Nous avons jusqu'à présent supposé égal ù deux le nombre des relations données entre x ci y : il est aisé de montrer comment les r^c'iltats obtenus se peuvent étendre au cas où le nombre des relations données est quelconque. Soient G,(t, y) = 0, G,(.r, ?/) = 0, ... G,{x, ?/) = 0 les relations données, entières ol à coefficients entiers, desquelles nous supposerons seulement que leurs premiers membres n ont point de diviseur commun. Désignons par ai, 2tj, . . . , ol^, ; p,, j3,, . . . , p^, des nombres entiers dont nous ne fixons pas la détermination ; il est clair que les deux relations ( aiGi -f- . . . -t- a^G;, = 0, ^^^ I p.G.4---- + PA = 0 sont, quels que soient ces nombres, des conséquences nécessaires des relations données et que si Ton y laisse les a et les p indéter- minés, elles entraîneront nécessairement toutes ces relations. En d'autres termes, le système formé par ces deux relations est, lorsque les a et les p sont indéterminés, équivalent au système donné. Si l'on observe que leurs premiers membres sont sans diviseur commun et même irréductibles dans cette hypothèse, on pourra les traiter comme on l'a fait pour les deux équations F(x, y) = 0, G(x, y) = 0. Soit par conséquent H(z, u, v, a,-, Pa) le résolvant du système (I) ; la relation H';, », y, a,-, ^,,) = 0, dans laquelle z représente l'ex- pression ux-hvy, est une identité par rapport à u, v, aux a et aux p ; elle est d'ailleurs une combinaison linéaire des relations données et par suite une conséquence nécessaire de ces relations. Développons son premier membre suivant les puissances des a et des p et égalons à zéro les coefficients de ces diverses puissances; nous obtiendrons un système d'identités en u et u, K,{2, w, v) = 0, K2(3, u,v) = 0, . . . 214 ALGEBRE SUPERIEURE qui sont également des combinaisons linéaires des relations don- nées. Les polynômes K{z, u, v) peuventavoir ou non, lorsque u et v demeurent indéterminés, un diviseur commun renfermant z. Sup- posons dabord que le dernier cas se présente ; il existera des poly- nômes entiers en :, u, u, tels qu'on ait identiquement A,(z, II, v).Ki{z, M, tO + Aofr, u, î;).K2(z, u, v) + --- = P(w, v), P étant un polynôme entier en u et v. Il suffît de choisir pour u et u des entiers a ei b qui n'annulent point le second membre, pour conclure de là qu'il est impossible que les relations Ki{ax -+- hy, a, h) = 0, 'KJ^ax -+- bij, a, h) — 0, . . . aient lieu simultanément. Les relations données entre x ei y sont donc incompatibles avec les hypothèses faites sur les symboles x et y. Considérons maintenant le cas où les polynômes K(r, w, v) ont un diviseur commun R(z, w, v) ; il sera possible de déterminer des polynômes entiers en :;, r<, v tels qu'on ait identiquement Ai(::, u, u).K/;:, u, v)^k3.{z, u, v).\Uz, u, v)-\- ... = R(:, w, r), de sorte que la relation R(:, w, v) = 0, dans laquelle - repré- sente toujours iix-hvy, est une combinaison linéaire des relations K(z, u, v) = 0 et par suite aussi une combinaison linéaire des re- lations données. Nous dirons que le polynôme R(z, w, u), auquel nous sommes ainsi parvenus d'une manière bien déterminée, est le résolvant du système donné. 11 est aisé de voir qu'il possède toutes les propriétés du résolvant d'un système formé de deux relations seulement En particulier si pour u = a, v — b il est sans diviseurs multiples, ce qui ne peut arriver que dans le cas où il a, lorsque u et V sont indéterminés, ses diviseurs distincts, le système des relations / R(z, a, b) = 0, (A) ] .tD,R(z, a, b) -4- D„R(z, a, b) = 0, .VD,R ;, a, b)-\-Bb^z, a, b) = 0 est lié au système donné de telle sorte ([ue (oulo relation d'un des systèmes est une combinaison linéaire des relations de l'autre sys- tème. Dans tous les cas, si S^z, u, v) désigne le résolvant débar- SYSTEMES D ÉQUATIONS 21o rassé de ses facteurs mulliiilos, le système / S(z, u, u) =: 0, (B) < a:D,S(;, w, v) -+- D,S(z, i/, v) = 0, ( ;/D,S(=, u, v] ■+- D,S(;, u, v) = 0 est équivalent au système donné, c'est-ù-dire conduit aux mêmes conséquences relativement à xclky. Nous ne nous attarderons pas à refaire les démonstrations, qui se déduisent facilement de celles données dans le cas de deux équations, et nous passerons à une notion très importante pour la suite, celle des systèmes irrrductihlcs. 45. Considérons un système do relations CT.(a% ?y) = 0, . . . , G,,{x, y) = 0 dont le résolvant R(::, u, u) est supposé sans diviseurs multiples lorsque u et t' demeurent indéterminés. Nous avons vu que la rela- tion \i{nx + ry, u, v) = 0 est, quels que soient u et v, une consé- quence nécessaire dos relations données, et que si l'on pose ï{{ux-i-y, u, 1) = Mo(ar, y) + idU{x, y)-\-trM2{x, ?/)+••• le système des relations M,(x, y) = 0, M,(x, j/) = 0, . . . est lié au système donné de telle sorte que toute relation de l'un des systèmes est une combinaison linéaire des relations de l'autre. Enfin, il est évident que le polynôme II :;, u, v) est également le résolvant de ce dernier système. Une circonstance bien remarquable, que nous avons déjà admise implicitement en supposant que le résolvant possède quelquefois des diviseurs multiples, se présente ici. Il peut arriver, bien que les relations données entre x cl y soient toutes irréductibles, qu'il n'en soit pas de môme du résolvant. Considérons dans cette hypo- thèse l'un des diviseurs irréductibles P(«, u, v) de R(:, u, u), et soit R(s, u, v) = P(3, u, v).Q{z, M, v). L'identité en u et v R(2, u, Vj =0 se décompose en deux iden- tités : P(z, w, V) = 0, Q(s, H, v) = 0, qui sont nécessairement vérifiées Vune ou Vautre^ lorsque les relations données sont satis- 216 ALGÈBRE SUPÉRIEURE faites. Ces doux identités sont d'ailleurs incompatibles, puisque les polynômes PCs, k, v) et Q(z, u, v) sont sans diviseur commun lorsque w et u demeurent indéterminés. Les conséquences néces- saires des relations M(x, y) = 0 ou des relations données se partagent donc en conséquences nécessaires de l'identité F{ux -\- vy^ u,v) =0 et en conséquences nécessaires de l'identité QUix-^ vy, u, y) = 0; on dit que le système donné se décompose. Si l'on a alors P(wa;-H?y, w, 1) = K^ix, y)-huKi{x, y) -h- -, Q{ux -+- II, w, 1) = Loi-x, ?/)-4-kL,(x, ?/)-+- ■•• , on en déduit identiquement en x et y : Mo = KoLo, M, = K^Li -^ KiLq, Ma = K0L2 + K1L, -f-K.Lo, et CCS identités nous montrent pourquoi et comment la décompo- sition se produit. Il semble inutile d'ajouter que P(ux +u?/, t<, v) est précisément le résolvant du système K„(ar, y) = 0, K,(a-, y) = 0, . . . , qui correspond au diviseur irréductible P(:, n, v) et que l'on peut séparer du système donné. On voit d'ailli'urs manifestement ([u'en raisonnant sur le polynôme Q(::, m, v) comme on a raisonné sur R(s, u, v) et ainsi de suite, il est possible de substituer à la considération de tout système dont le résolvant est sans facteurs multiples, celle d'un certain nombre de systèmes dont le résolvant est irrcduclible. Nous donnerons à ces derniers le nom de systèmes irréductibles et nous allons en signaler ici une propriété caractéris- tique, extrêmement importante. Lorsqu'on envisage un système quelconque de relations en- tières entre x et ?/, dont le résolvant est dépourvu de diviseurs multiples sans être cependant irréductible, on voit immédia- tement qu'il existe des relations entières en .r et y qui, sans être iiioompatibles avec les relations données, n'en sont point pourtant SYSTEMES D EQUATIONS 517 dos conséquences yiécessah'cs. Il est clair on eflVt (|iio si l'on ajoute aux relations données la relation Viax -+- hxj, a, h) = 0, on désignant par P(:, m, v) Tun des facteurs irréductibles du résolvant, on forme un nouveau système dont le résolvant renfer- mera certainement le facteur P(3, u, v) et qui se réduira à ce facteur lorsque les entiers a et b sont choisis de telle sorte que le polynôme en z, P(-, a, h) n'ait point de diviseurs multiples. Mais supposons maintenant que le système donné soit irréduc- tible, c'est-à-dire que son résolvant soit précisément P{z, w, v) et ajoutons aux relations données une relation entière quelconque, M{x, y) = 0. Considérons le système ainsi obtenu et formons son résolvant ; il peut arriver que ce résolvant ne renferme pas z et nous pourrons alors affirmer que la relation M(a:, y) = 0 est incompatible avec les relations données. Supposons que le cas contraire se présente et soit PiC, n, v) le résolvant du nouveau système ; on voit que la relation P(:, u, v) = 0 sera une conséquence nécessaire de la relation Pi(3, ii, v) = 0, d'où il résulte que Pi et P sont identi- ques. On conclut de là que la relation M(x, y) = 0 est elle-même une conséquence nécessaire des relations données et même une combinaison linéaire de ces relations. Nous pouvons donc énoncer la proposition suivante : Toute relation entière en x et y compali/jle avec les relations qui définissent un système irréductible est une consé- quence nécessaire et même une combinaison linéaire de ces dernières. Cette propriété, avons-nous dit, caractérise les systèmes irréduc- tibles ; nous avons en effet montré qu'étant donné un système quel- conque non irréductible, on peut former des relations entières en x et y à coefficients entiers, qui sans être incompatibles avec les relations du système n'en sont pas cependant des conséquences nécessaires. Il est donc permis de définir les systèmes irréductibles en disant que pour ces systèmes toute relation entière en x et y, à coefficients entiers.^ compatible avec les équations du système, en est nécessairement une combinaison linéaire ; on reconnaît d'ailleurs là la généralisation d'une propriété caractéristique bien connue des poly- nômes irréductibles. Signalons encore une conséquence immédiate des remarques pré- 218 ALGEBRE SUPERIEURE cédentcs : Soit P(:^ w, v) le résolvant irréductible d'un système d'équations entre x et y ; remplaçons dans ce polynôme « et u par des entiers déterminés a et ^. Il peut arriver que le polynôme P';, a,b) possède ou non des diviseurs multiples, mais ce qui est remarquable c'est que : 1° Lorsque P(2, a, h) n'a pas de diviseurs multiples, il est nécessaire- ment irréductible ; 2* Lorsque P(:;, a, h) a des diviseurs multiples, il est la puissance exacte d'un pohjnome irréductible. On observe en effcLque dans le cas contraire, il serait possible d'é- crire des relations de la forme Qfax-f- by, a, b} = 0 compatibles avec les équations du système sans en être des conséquences néces- saires. Enfin on peut affirmer que lorsque P':, a, b) est la puissance parfaite d'un polynôme irréductible, ce dernier est une combinaison linéaire des premiers membres des équations du système. IV. — Systèmes d'équations : Cas général. 46. Les résultats acquis dans l'étude des systèmes d'équations entre deux symboles x Qi y peuvent aisément s'étendre à des systè- mes formés d'un nombre quelconque d'équations entre des symbo- les a?!. Xi, . . , a?,,. Nous allons le montrer rapidement, sans in- sister sur des démonstrations qui sont identiques à celles que nous avons données dans le cas où l'on considère seulement deux sym- boles. Soient F,(xi, x,, ..., Xn) = 0, F2(Xi, Xi, ..., Xn) — 0, FjX'ï'i, a^o, ..., x„) = 0 les relations qu'on suppose satisfaites par les symboles jti, x^, ..., x„ et dans lesquelles F,- désigne un polynôme entier à coefficients entiers de degré X.par rapport à l'ensemble des symboles qui y figu- rent. Nous observerons immédiatement qu'on pourrait, sans res- treindre la généralité, se borner à étudier les systèmes de celte SYSTKMKS D ÉQUATMN'S 219 formo dans lesquels les pulynomcs !•' sont irréductibles; la raison de ce l'ait est évidemment la nii'nn' que dans le cas de tlrux symbo- les X cl //; néanmoins comme l'on peut sans inlroduire de compli- cations arriver à un certain nombre de résultats sans faire cette hypothèse, nous ne la ferons pas tout d'abord. Nous allons poser, comme dans le cas de deux symboles, : = î<,.r, H- ii^Xi H- ... -h J/„.r„, en désignant par ?/,, u^, ...,?<;, d(^s entiers indélerminés qu'on s'astreint à ne jamais choisir nuls sinmltaiiémcnt, et rechercher les propriétés du symbole :: ainsi délini. Désignons à cet effet par le polynôme entier en a?,, Xo, . . ., a:„_i, z et u,, i/,, . . ., w„ que l'on déduit du polynôme F,(.ri, Xi, . . ., x„) en multipliant ce der- nier par i/J;. et en y remplaçant ensuite w„.r„ par l'expression ~ ii\Xi — ... — Uf,_iX„_i ; les relations *.{a:,, a-î, ... , x^^i^z) = 0 (i = ^,2,...,p) sont, lorsqu'on suppose w„ différent de zéro, des conséquences né- cessaires des relations données, et la réciproque est également vraie. Nous ferons remarquer que ces relations ne renferment pas nécessairement toutes le symbole ;: — il est clair en effet que si le polynôme F, ne contient pas .r„, le polynôme 'l>i ne renfermera pas z — mais il importe d'observer que lorsque «l», renferme eflectivemcnt z, *^i est un polynôme en .r,, ajo, • . ., x„^i dont le degré par rap- port à chacune de ces lettres est égal à X;, dimension maximum du polynôme *, considéré comme polynôme en .Ti, .r^, . . ., x„_i et z. On voit également que *; est homogène et de degré X; par rapport aux lettres iiu w^, . . ., m„ et z, sans être nécessairement de degré h par rapport à-. Considérons les polynômes en z, 'l\(xi, .x,, . ., a7„_,, z) et for- mons leur plus grand commun diviseur; ce plus grand commun diviseur n'existera évidemment que lorsque tous les polynômes *j renferment effectivement z ; mais nous pouvons affirmer que s'il existe, il renfermera également les symboles Xi^ x^, ...,a?,,_i. On s'en convaincra immédiatement si l'on observe qu'il dérive du plus 220 ALGEBRE SUPERIEURE grand commun diviseur des polynômes enar„, désignés par F,, on y remplaçant aprrs multiplication par une puissance convenable de Un, UnXn par la dillérence ICiXi -+■... -h Un-i^n-l — '■■ Désignons donc ce plus grand commun diviseur par Ri(z, Xj, . . . , a?„_i) ; si nous appelons G/a-i, a?,, . .., ar,_i, z) le quotient de *„ par R,, les relations .l., = 0 (i=l,2, ...,p) pourront s'écrire RiGi==0 (i = 1,2, ...,p). Leurs conséquences nécessaires se partagent donc en conséquen- ces nécessaires de la relation Ri = 0 et en conséquences néces- saires des j) relations G, = 0 (t=l, 2, ...,;>); il est d'ailleurs évident que lorsque les relations de l'un ou de l'autre de ces der- niers systèmes sont vérifiées, il en est de même des relations 1', = 0 (2 = 1, 2, ... ,;j). Le système donné se décompose donc en deux systèmes dont l'un est constitué par l'unique relation entre n symboles Rj(2, a^i, X2, ... , a?,i_i) = 0, et l'autre parles j) relations G,(a?i, j-2, .-., Xn-i,z) = 0 (i = l,2,...,Jt9), dans lesquelles les polynômes en z qui forment les premiers mem- bres sont sans diviseur commun. Considérons ce dernier système ; nous observerons que si l'un des polynômes G,- renferme l'un des symboles a-,, .7%, . . ., vr„_i, il les renfermera nécessairement tous et sera en outre par rapport à chacun d'eux de degré égal à sa dimension maximum : c'est là une conséquence immédiate de la propriété correspondante des polynô- mes *;. Examinons le cas où aucun des polynômes G, ne renferme de symboles a-i, Xo, ..., a:„_, ; nous pouvons aflîrmer que ces poly- nômes qui ne renferment plus que - et qui sont, lorsque les u sont indéterminés, sans diviseur commun, ne peuvent s'annuler simul- SYSTEMES D ÉQUATIONS 221 tanémonl quels que soient les u. Los relalions G,3)=0 (« = 1. 2, ...,p), considérées commo relations en a",, x^, ...,x„, devant avoir lieu quels que soient les u, sont par conséquent incompatibles. Ce cas étant écarté, il peut arriver qu'aucun des polynômes G, qui renferment eflectivement a-,, Xî, ..., a;„_,, ne renferme z ; le système formé des relalions G, = 0, (i = 1, 2, ..., p) est alors un système de p équations entre les (n — 1) symboles Xi, X^y ..., ry,_l, et ces équations doivent avoir lieu quels que soient les entiers in- déterminés J ce chapitre. Cela étant admis, on voit immédiatement que t 226 ALGÈBRE SUPERIEURE relations du système donné sont également des combinaisons linéaires des relations Rn(-, a) = 0, XiDJiniz, a) + D«K„(c, a) = 0 {i=l, 2, ...,70, dont d'ailleurs n seulement sont distinctes. A un autre point de vue, Ton voit également que toute décompo- sition du résolvant R„ («, u) conduit à une décomposition du sys- tème donné, ou en d'autres termes permet une séparation des di- verses relations entières en x^, x^, ■•.,x„ à coefficients entiers qui sont compatibles avec les relations données. On est ainsi con- duit à la considération de systèmes d'équations dont le résolvant est irréductible, et il est clair que la propriété caractéristique de ces systèmes, donnée dans le cas de deux symboles x et y. subsiste dans le cas général, autrement dit : Lorsqu'un si/stéme est irréduc- tible^ toute relation entière en Xi, Xo, ...,x„ à coefficienls entiers qui n est pas incompatible avec les relations du s]istème en est une com- binaison linéaire, et réciproquement, lorsque toute relation entière en Xi, X2, . . ., x„ à coefficients entiers compatible avec les équations d'un système à solutions déterminées, en est une combinaison linéaire, c'est- à-dire une conséquence nécessaire, ce système est irréductible. Enfin il résulte également de là que lorsque R„ (2, u) est irré- ductible, R„(3, a) est irréductible ou puissance d'un polynôme irréductible qu'on peut obtenir par de simples combinaisons linéaires des premiers membres des équations du système. CHAPITRE IV LE CALCUL DES ENTIERS ALGÉBRIQUES I. — Formation dun domaine algébrique. d'e MÉTHODE. 48. Les développements dans lesquels nous sommes entrés au sujet des systèmes d'équations vont nous permettre de répondre aisément aux diverses questions ([ui se sont présentées au moment où nous avons défini les nombres algébrifjues. Ils nous sutïiront, en particulier, pour établir que la définition qui a été donnée de ces symboles ne peut conduire à aucune contradiction et qu elle suffit pour déterminer leur calcul (*) d'une manière uni(iue. On aura ainsi démontré Texislencc logique des nombres algébri(iues. Rappelons que n'-'-^ \-b„ nous formerons le résultant des doux polynômes en nx : (ux)"^ -+- a,M(z) -i- D(,P(^, a, A) = 0, dans lesquelles a et è sont des entiers choisis de telle sorte que le polynôme l\{z, a, b) soit sans diviseurs multiples. Ces dernières re- lations forment d'ailleurs, lorsqu'on y regarde z comme représen- tant la combinaison ax -+- by, Tun quelconque des systèmes irré- ductibles en lesquels le système (I) peut être décomposé. 11 résulte de laque le calcul des fonctions entières de £ et a; k coefficients entiers n'est pas complètement déterminé par les hypo- thèses faites sur ces symboles, puisqu'on parvient à des conclusions différentes suivant qu'on admet que les relations de l'un ou de l'autre des systèmes irréductibles qu'on vient de former sont vérifiées par ces symboles. Mais on peut ajouter immédiatement que si l'on assujettit des symboles ^ et t) à se composer entre eux et avec les entiers suivant les deux modes exigés et à vérifier les relations P(!;, a, b) = 0, ^D.P(^, a, b) 4- D„P(r, a, 6) = 0 , 7lDrP(^, o,b)-h\),,P{l,a,b) = 0, où K désigne l'expression rt^-H^ï], et qui comme on le sait se ré- duisent à deux relations distinctes seulement, ces conditions définis- sent d'une manière unique le calcul des symboles ^ et r,. Le calcul ainsi défini est identique à celui du seul symbole ^ as- sujetti à posséder avec les entiers et avec lui-même les mêmes modes de composition et à vérifier la relation irréductible P(^, o, ô) = 0. Enfin les symboles ^ et y^ déterminés par les relations précédentes vérifient les relations f{^) = 0, ^(t)) = 0, quel que soit le facteur irréductible du résolvant désigné par P(3, ti, v). On reconnaît ainsi q\ïil existe différents couples d'entiers algébri- ques (^, ■/)) qui satisfont aux deux relations /(£) = 0, g{r,) = 0 et que le calcul des fondions entières à coefficients entiers de ; et de T) 7i'est pas le même pour tous ces couples. Nous sommes donc amenés à préciser, en partant d'un symbole S assujetti à vérilicr la relation f(\) = 0, C(^lui ch^s symboles t; qui CAl.r.IL DKS ENTIKRS ALGEBRIQUES 233 {univoiil VL'iilior lu reUiliou Q[r,i ^ {), (\uc l'on vcul adjoindre ;iii domaine [V.. Nous venons démontrer «lu'il suflit poui- cela de donner le facteur irréductible V{z,a,b) du résolvanl ([ui dnil saniiuli'r quand on y remplace : par la combinaison (d-tfrr^. Celte oixMa- tion étant faite, li^ calcul des entiers al,uéb>.i(iues ; et r, est déterminé d'une manière unique; et nous avons établi ((u'il est idenlniue au calcul d'un seul symbole l — symbole qui est également un entier algébrique puisque s = ai-hbi] — assujetti à vérifier la relation irréductible 1>,^, a, h) = 0. Il convient d'observer ici qu'on pouvait prévoir les résultais que nous venons d'obliMiir. Il est évident en effet que pour être assuré de ne rencontrer dans le calcul des symboles ? et t) aucune ambiguïté, il est nécessaire et suffisant d'imposer à ces symboles des conditions telles que toutes les relations compatibles avec ces conditions en soient des conséquences nécessaires. Les relations par lesquelles nous définissons /eca/cj// c?e ; et de f] et par suite ces symboles eux-mêmes, en tant qu'ils nous sont accessibles, doivent par conséquent former un système irréductible. Nous venons de voir comment il faut les choisir pour qu'il en soit ainsi. En résumé, l'analyse précédente nous permet de remplacer dans tous les cas l'adjonction à l'ensemble des nombres entiers de deux entiers algébriques bien définis — et nous savons ce qu'il faut en- tendre par là — par celle d'un seul entier algébrique que l'on sait également définir dune manière précise. Nous pouvons donc conclure de là une manière de définir le cal- cul dans tout domaine [?, r,, ^, ] formé par des entiers algébriques qui vérifient les relations irréductibles à coefTicients entiers à condition de préciser si cela est nécessaire, comme on a appris à le faire, la définition du symbole que l'on veut adjoindre à un domaine dans lequel le calcul est déterminé d'une manière unique. Il est inutile d'ajouter que le calcul ainsi défini ne renfermera aucune contradiction puisqu'il est identique au calcul dans un domaine algébrique [a], oi^i l'entier algébrique a est défini par une seule re- lation irréductible à coellicients entiers, R(a) = 0, que nous avons appris à former. 234 ALGÈBRE SUPÉRIEURE 51. Revenons aux relations A^) = 0, g{r,) = 0, (I) ' P(i;, a, /j) = 0, où ^ représente la combinaison a^-\-/rr,, qui nous ont permis de définir d'une manière unique le calcul de deux symboles ; et r, qui satisfont aux relations Il est possible de substituer à ces relations I) un autre système plus simple à certains points de vue, auquel nous allons parvenir en traitant Tune des questions posées dans un chapitre antérieur relativement au problème dont nous venons de nous occuper ; nous voulons parler de la recherche de la réductibilité dans le domaine \V, dont nous rappelons ici Tobjet : On suppose que l'on ajoute à l'ensemble des nombres entiers un nombre algébrique entier ^, qui vérifie la relation irréductible d'ordre m : /"i ;) = 0 ; on demande de fixer ensuite le caractère de toute équation irréductible à coefficients entiers g{y) = 0, au point de vue de la décomposition de son premier membre dans le domaine algébrique [^]. F'ormons pour cela le résolvant R :, n, v) du svstème (I) '^^^^-^' et décomposons ce résolvant en ses facteurs irréductibles P,.(z, M, y), que nous supposerons en nombre égal à li. On a établi que ces facteurs sont essentiellement distincts et que le système (I) se décompose en h systèmes définis soit par une des identités en M et u : Pi{ux -+- vy, II, v) = 0 (i = 1,2, .. ,/0, soit par les relations P,.(s, a,b) = 0, a-D,P.{2, a, 6) + D„P.(c, a, h) = 0, yU,ï>,{z, a, 6)+ DtP,{=, a, h) = 0, soit enfin par les relations P,(«, fl, b) = 0, f{x) = 0, g{y)=0. CALCUL DES ENTIERS ALGEBRIQUES 235 Considérons maintenant les diMi\ pulynomos en y, Pi{ax-\-hr/, n, b) et g(y) ; nous ituuvons ext'culiM' sur ces pnlynomcs les opéralions qui Conduisent au plus i,'rand commun diviseur et, si nous dési{jfnons par F(aO le dernier reste, il suflit d'observer que la relation V{x) = 0 est compatible avec la relation f{x) = 0 pour en conclure que F(a:) est divisible par f{x). On est ainsi conduit à trois identités de la forme P,(fla: + /»)/, a, b) = ^idlx, y)-\- kif{x), 9{y) = PidlT,y)-^B;f{x), d,{x, y) = l,P,{ax + by, a, b) 4- :^-^(?/)H-^//'(-ï-), oii l'on désigne par a,, !B,, A,, B,, À-, fx,, v. des polynômes entiers en .r et y h coefficients entiers. Nous dirons que le polynôme rf,(x, y), qui est le dernier diviseur employé, est le plus grand commun divi- seur de P,(a.T + by, a, b) et de g{y) suivant le module f(x}, et nous entendons par là uniquement qu'on regarde comme nuls les mul- tiples de f{x). Considérons les identités en x et y qu'on vient d'écrire ; on en déduit immédiatement, en tenant compte des propriétés du résol- vant : J\di{x, y) = M(x, y).g{y)-hMx, y)-f[^) et g{y) = m{x, y).]][rf'(a", y)-\-n(x, y).f{x), en désignant par M, X, îh, n des polynômes entiers à coefficients entiers ; d'où Ton peut conclure en négligeant les multiples do f{x), c'est-à-dire en remplaçant x par un nombre algébrique ; qui vérifie la relation f[l) = 0, n(Xy).m{'z,y) = 1. Il suffit alors d'observer que dans le domaine [;] toutes les fonc- tions entières à coefficients entiers de ? dont le degré est inférieur au degré du polynôme f[x), sont des symboles distincts dont un seul est nul, pour conclure de là les identités en y : M(^, 7/) = 1 et m(,^îy)=l. On a donc l'identité en x et en y : 9iy) =XI^'(^' y) -^n{x, y).f[x), 236 ALGEBRE SUPERIEURE d'où il résulte que nous savons former une décomposition du poly- nôme giy) dans le domaine d'intégrité 'T, défini par la relation m = 0.' Nous ajouterons que la manière dont nous avons obtenu les po- lynômes di{x, y) montre que les relations dA^, y) = 0 c'f^ d,'^, y) = 0 sont incompatibles, c'est-à-dire que les divers polynômes di{x, y) sont difl'érents. 11 est clair en outre qu'il n'existe aucune décompo- sition de la forme d,Cz,y)=dl{^,y).d'%y), . d'i et d"i désignant des polynômes k coefficients entiers, sans quoi le système f{x) = 0, di{x, y) = 0 ne serait pas irréductible. 11 est donc légitime de dire que la décomposition donnée du poly- nôme g{y) dans le domaine ? est une décomposition en facteurs irré- ductibles. Nous ferons enfin remarquer que cette décomposition est unique. Si nous avons en effet l'identité g[]l) = JIe,(ar, y)-\-p[x, y).f(x) on en conclut que la relation e,;{x, ?/) = 0, où l'on peut supposer que X figure à un degré inférieur à celui de f{x), est compatible avec les relations f(x) = 0 et g{y) = 0, d'où il résulte qu elle est une ct)nséquence nécessaire des relations do l'un des systèmes di{x, y) = 0, f{x) = 0 et une combinaison linéaire de ces relations. Admettons on outre qu'elle soit irréductible, c'ost-à-dire qu'il n'existe aucune identité de la forme ek{x, y) = e'kix, y).el{x, y) + q{x, y).f{x) ; nous pourrons en conclure (jue le système f[x) = 0, ek{x, y) = 0 est irréductible, et par conséquent que rf,(.r, y) est égalomont une combinaison linéaire des relations de ce système. CALCUL I)1<:S KNTIKRS AD^.KHRIQUES t>37 Le l'iiisuniioniciil ciniil.iyi' luut à rin'urij inunlro alurs (iiiou a nécessairemcnl ek.-i:, y) ^ d,^^x, y), d'oii résiilU' roxisU-nce d'une seule décomposilinn do g{y) en fac- teurs irréduclibles dans le domaine [?]. L'analyse précédente permettrait de remplacer l'adjonclion au do- maine [V d'un entier alg;(''l)ri((ue r) yrrilianl lu relation g'jt) = 0 par celle d'un entier algébrique vériliaut une des relations <(;, r,) = 0, et l'on serait alors assuré, quand le degré de rfi(?, r^) par rapport à 7) surpasse l'unité, de la nécessité d'introduire le symbole ■/;, alors qu'il peut arriver en procédant comme on l'a fait plus haut que le domaine [;, r,] se réduise elfectivemcnt au domaine [:j ; mais il est préférable de raisonner symélri(iuemcnl sur les symboles ; et r^ et de rapporter toujours leur délinition à l'ensemble des nombres entiers. Le problème que nous venons de traiter a néanmoins une grande importance dans d'autres théories, telles que celle de la divisibilité des entiers algébriques dans le domaine [k] ; comme nous n'avons pas l'intention de parler ici de cette question, nous renverrons le lecteur aux beaux travaux de Kronecker et de M. Dedckiiid sur ce sujet. Ajoutons cependant que les deux relations f{x) = (), d^{x,y)=0 peuvent remplacer les trois relations Pi[ax -+- hy, a, h) = 0, f\x) = 0, g{y) = 0, par lesquelles nous avons défini le calcul des symboles ? et r,, et que ces deux systèmes sont liés de telle sorte que toute relation de l'un d'eux est une combinaison linéaire des relations de l'autre. Ces deux relations constituent la forme particulière des équations de définition de i et de r, que nous avions annoncée plus haut. II. — 2' MÉTUODE : Résolvante de Galois. 52. 11 a été établi dans les pages qui précèdent que le calcul dans un domaine algébri(iue est déterminé d'une manière unique et com- 238 ALGEBRE SUPERIEURE plètement connu, lorsqu'on sait constituer ce domaine par des ad- jonctions successives d'un seul symbole à un domaine dans lequel le calcul est déjà connu. Il ne se présente d'ailleurs dans ce calcul aucune contradiction. Nous allons montrer qu'il en est de même dans le cas où Ion ajoute simultanément, à un domaine dans lequel le calcul est déjà connu, tous les symboles distincts qui possèdent les modes de composi- tion que nous avons imposés aux entiers algébriques et qui vérifient en outre la relation f[x) = 0, où l'on désigne par f{x) le polynôme irréductible à coefficients en- tiers X" PiX""' H- • • • d= Pn- Nous avons déjà établi qu'il ne peut exister plus de n symboles distincts ci, :., ..., ç„ possédant ces propriétés et que ces symboles, mis respectivement à la place de Xi, ao, ... , a-,,, devront nécessaire- ment vérifier les relations Si = Pu S2 = Pu . • • 1 S„ = Pn, OÙ l'on a désigné par Si, So, ... , S,, les fonctions symétriques élé- mentaires des X. On sait enfin que, réciproquement, lorsque ces dernières relations sont vérifiées, les symboles x^, a\,, .... x„ vérifient tous la rela- tion f[x) = 0 et sont, à l'ordre près, identiques aux symboles ;,, Jo, ... , ?„. Il reste donc ù établir (jue les relations (A) S, = pi, ^2= pi, ..., ^„ = Pn ne sont pas incompatibles et à montrer qu'elles suffisent pour dé- terminer le calcul des symboles Xi, Xn, . . . , x„. Nous observerons d'abord que si le système (.\) possède des so- lutions, ces solutions sont déterminées, car tout élément Xi de l'une d'entre elles devant vérilier la rt^lation f{Xi) = 0 no peut être cboisi d'une façon arbitraire dans un ensemble de symbob^s connus, parmi les nombres entiers par exemple. Cela étant ac(iuis, la symétrie des équations (A) nous montre que lorsque les égalités Xi = Çi, X2 ^= ^i, • • ^^ «i";, = ■.(! CALCUL DES ENTIERS AL(iKHKIOUES 239 définissent une solution de ces équations, il en sera de même des égalités cil l'on a désigné par ?-i, ^:, . . . , r„ les entiers 1,2,..., n, pris dans un mode arbitraire de succession, La suite r,, l'n, . . . , »„ est dite former une permutation des en- tiers 1, 2, . . . , ?J, et il est facile d'établir ([u'il existe un nombre de permutations distinctes, c'est-à-dire différant au moins par les places occupées par deux entiers, égal au produit 1.2 ?j, produit qu'on écrit simplement » !. Nous conclu(»ns de là (jue jnisqnc le système (A) admet une so- lution, il en admet certainement n ! ; sa résolvante générale est donc au moins de degré n !, et il suffit d'observer que d'autre part le degré de cette résolvante ne peut dépasser le produit des dimen- sions maxima des premiers membres des relations (A) pour en con- clure (ju'il est précisément égal à ni. Considérons maintenant le produit n Z — UiXr — U^Xy • • • M„.X*,. ) étendu à toutes les permutations î'i, ?'2, • • ■ , ^'>, des entiers 1, 2, . . . , n ; il est clair que ce produit est une fonction symé- trique des X, car ses facteurs ne font que s'échanger lorsqu'on échange xi et Xk. Nous savons donc l'exprimer et cela d'une ma- nière seulement à l'aide des expressions S,, S^, . . . , S„ : n iiiX,.^ — luv,^ — ••• — u^x,.J = F(z, Si, Sa, ••-, S„) Envisageons alors l'identité bien connue de Taylor : ¥{z, S,, So, ..., S„) = V{z, 2h, Pi, ■-■^Vn) -t- Ï(S, —p-:)\)j,.V[z, Pu p,, ■■■,Pn] elle nous montre, lorsqu'on y remplace ;: par l'expression UiXi 4- U2X2 4- ••• H- u„x^,, auquel cas on a identiquement par rapport aux x : F(::, S„S„ ..., S„) = 0, que la relation F(z, pi, p^, ..., p„) = 0 est une conséquence nécessaire des relations (A) Si = Pu 82=^2, • • . , S/i = Pn 240 ALGEBRE SUPERIEURE et une combinaison linéaire de ces relations. Nous pouvons donc affirmer que celte relation F(z, p). /Jo, ... , p„) = 0 est la résolvante générale du système (A), et nous établissons ainsi que celle résolvante renferme eircctivcment -, c'est-à-dire que les relations (A) ne sont jamais incompatibles. 53. Il est facile de montrer que la résolvante F(3,Pi, V2, ..., pj = 0 n'a pas de diviseurs multiples, lorsque les u sont indéterminés. Consi- dérant pour cela le polynôme V{z, Si, So, . . , SJ = JX(- — "i-^r — ihx,. — u„x\) et rappelant que le discriminant de ce polynôme est le produit étendu aux ni {ni — i) combinaisons deux à deux des »! expres- sions UiX, + UoX,._+ h UnX,. , nous formerons dans ce discriminant, qui est homogène en î,, /o, . . . , p„) ou roniplaraul simplrmcnt S, par Pi, pour coiicluro (le là (juc le coeflicient du Icrmc considéré dans 11' discriminanl du résolvant est une jniissanco du discri- minant A, du i>(dyu(»uio /U). Ou ptMit donc dire (|U0 si le poh/nome f'x) est sans diviseurs vin/ti- ples, le discriminant du polynôme V{z, pi, p,, . . . , /)„), qui est homo^'ène en «,, »_>, .... it„, no sera pas identiquement nul et par suite que ce polynôme sera aussi sans diviseurs multiples, lorsque les u sont indéterminés. 54. Ces résultats étant acquis, rien n'est plus facile que de définir des symboles distincts ;i, :2, . . . , ;„ qui véridcnl la relation fix) ^ 0 et de montrer comment on déterminera le calcul de leurs ioncliuns entières. Désignons à cet effet par R(:;, u) le résolvant ¥(Z, pi, p., . . . pn) considéré comme fonction des z et des u, et par G{z, ii) l'un de ses diviseurs irréductibles lors(iue les u demeurent indéterminés ; nous savons que si les entiers a,, ao, . . . , an sont choisis de telle sorte que le polynôme R{z, a) n'ait point de diviseurs multiples, le polynôme G(:, a) sera irréductible. 11 suOira donc d'ajouter à l'en- semble des nombres entiers un symbole) ^ assujetti à posséder les modes do composition imposés aux ; et àvérilier la relation G(r, «) = 0, pour obtenir à l'aide des relations ?,D.G(:,a)-i-rUi(^, a) = 0 [i = 1, 2, ..., n) l'expression explicite de n symboles ?i, ;o, ..., ;„ (jui possèdent les modes de composition exigés et vérifient les relations (A). Ces symboles sont nécessairement distincts, car ils vérifient l'identité et nous savons ([ue le discriminant de /"(.r), qui est alors identique au produit I l(^/ — ^/>). est différent de zéro. Si l'on observe d'autre part que Ton a s = oiz^-i-a/zi-i +«„;„,, ainsi qu'il résulte de riioniogénéité du polynôme G(;, ai, a,, ..., an)- THÉORIE DES NOMBRES i ti 242 ALGEBRE SUPERIEURE on en conclut que le domaine algébrique [;,, ;2, •••, "^n] est identique au domaine constitué par le seul entier algébrique l, c'est-à-dire au domaine [!;j. Il résulte de là que dans ce domaine [;,, ;», . . ., ç„], le calcul est déterminé d'une manière unique, complètement coiuiu et qu'il ne renferme point de contradiction. 55. 11 convient de répondre immédiatement à une question que suggèrent les remarques précédentes : Lorsque le résolvant 11 3,u) est irréductible, il n'existe qu'une seule manière de délinir t, car la relation R(2, a) = 0, conséquence nécessaire des relations (A;, est irréductible; le calcul des entiers Çj, ;=,, ...,;« est donc déter- miné d'une manière unique par la définition que nous avons donnée de ces entiers, et la méthode ([ue nous employons pour les délinir à l'aide de C est nécessaire. Qu'arrive-t-il lorsque ce résolvant ad- mettant des diviseurs G^^z, u), nécessairement distincts, le pro- cédé que nous venons d'indiquer conduit à des définitions distinctes du symbole l, suivant que l'on part de l'un ou de l'autre des divi- seurs irréductibles du résolvant ? Nous observerons d'abord que la relation R(3, a) — 0, qui est une conséquence nécessaire des relations (A), entraine nécessaire- ment l'une des relations Gk'z, a) =0 et que cette dernière exclut toutes les autres relations de cette forme. Si l'on ajoute que les é(iuations [l(z, a) = 0, XiT),R{z, a)-hBall{z, a] = 0 {i = 1,2, ...,n) l'urnicnL un système équivalent aux relations (A), il sera clair qu'on ne peut déduire des relations (A) aucune raison pour égaler à zéro l'un des facteurs irréductibles de R(::, a) de préférence à un au- tre. 11 est donc nécessaire d'égaler à zéro l'un de ces facteurs choisi d'une manière arbitraire, et la relation ainsi obtenue compatible avec les relations (A) n'est pas une combinaison linéaire do ces re- lations. Supposons qu'on ait défini ~ par la relation G{^, a) =U ; nous pouvons prévoir aisément le changement produit lorsqu".4:; d'un seul oiilifT algùbriquc 0, (U'Iini p.ir uiic rdalidii im'HliKMiljlo à rooflicifiils ciiliers : 11(0. ô) = i), (\uo nous avons (raillcuis appris à luinitr. ()n(^st donc amonù à dclinir le calcul dans le domaine algébriciue [r, OJ, les symboles ^ et 0 étant assujettis à véiiiier les relations irréductibles à coeffi- cients entiers G(^, a) = 0, H(0, b) = 0. C'est là un problème que nous avons résolu au début de ce clia- pilre. On va établi ((ue le domaine [l, 0] est identique à un domaine [^] l'ormé par l'adjonction d'un seul entier algébri(jue o, défini par une équation irréductible à coefficients entiers que l'on sait former, entier algébrique qui est d'ailleurs de la forme ti(,Ç + y„0, w^ et u„ étant deux entiers ordinaires ; d'où il résulte que le calcul est déter- miné dans ce domaine et ne renferme point de contradiction. Il convient d'observer en passant que lorsque le résolvant du système G(z, a) = 0, H(^6) = 0 est irréductible, on est amené à préciser la racine de la seconde équation que l'on désignera par 6 et qu'on adjoint au domaine [Ç], c'est-à-dire à préciser encore la définition de cbacun des entiers algébriques i^,,, y,,, ..., r^^ qui vérifient la relation g{y) = 0, en tenant compte de la manière dont ils se comportent vis-à-vis d'une racine Z, de G(-, a) = 0. Nous ferons également sur l'entier algébri((ue o que nous venons de considérer une remarque importante. Il résulte de la propriété des résolvantes de Galois signalée tout à l'heure, que si l'on a G,C, a) = 0, H(0. b) = 0, on peut également écrire les identités en ^ et en < : m,b)=JJ[t-is.,{(i)], en désignant respectivement par À,(^) et pa(0) des polynômes en- tiers à coefficients entiers en C et en 0, tels que l'on ait 246 ALGÈBRE SUPERIEURE l,(X] = l, 1^,(0) = 6 , et qui représentent tous les nombres algébriques entiers qui véri- fient les deux relations G(s, a)=:0, H(/, *) = 0. On conclut de là que le résolvant du système formé par ces deux relations est décomposablo en facteurs linéaires de la forme uz + vt — nk,{t) — uix^fe), et par conséquent que si ^ et 0 sont des fonctions entières à coeffi- cients entiers de l'entier algébrique o, défini par la relation toutes les autres racines do l'équation résolvante qui sont les ex- pressions MoXi(Cl + Uofe|jL(6) sont également des fonctions entières à coefficients entiers de o. IJ'entier algébrique o est par conséquent un entier algébrique normal, qX la méthode que nous employons pour définir le calcul dans un domaine que l'on sait former en ajoutant simultanément, à un domaine formé de mi'me, tous les entiers algébriques qui vérifient une mrmo équation irréductible à coeffi- cients entiers, ne conduit à ajouter à l'ensemble des entiers ordi- naires que des entiers algébriques normaux. Tout domaine de cette nature s'obtient donc en ajoutant à l ensemble des nombres entiers, un seul entier algébrique normal convenablement choisi, d'où il résulte que le calcul y est défini d'une manière uni- que et ne renferme aucune contradiction. 58. 11 convient de faire immédiatement, sur ce calcul, quelques observations importantes qu'on développera plus loin d'une manière complète. Considérons le domaine [^i, L, ..., ?„] formé par les entiers algébriques ^i, ^2, . ., ?« que nous avons définis par les relations G{K, a) = 0, ?;DçG(:, a)-4-D„.G(r, fl) = 0 {i= 1,2, ...,«); nous savons que si l'on désigne par a le degré du polynôme G :. n^, les polynômes à coefficients entiers de degré inférieur à a CAI-Cri. DKS FNTIKRS ALGEBRIQUES 247 représentent tous les entiers algébriques qui vérilifiil la relation 0(:, a) = 0 ; proposons-nous de rechercher quel est TefTet de la substitution à V d'une autre racine Çfc=X/,(C) de la résolvante de fialnis sur la définition des symboles 5,, ?o, ••, ;,. et sur le cal- cul dr li'urs fonctions entières à coefllcienls entiers. On sait a priori ([uo les entiers algébritjues $i", $^, ..., ff, définis par les relations {i = i, 2, ..., n) sont simplement les entiers algébriques ?,, ^3, ..., ?„ rangés dans un ordre convenable, si Ion a par exemple en désignant par /i,, /.o, ..., /.„ une [xM-muIalidU (létormiiiée des entiers 1, 2, ..., n, la substitution de Ik h ^ équivaut à appeler, ?,• l'entier algébrique appelé z^,. dans la première hypothèse (*). En d'autres termes, aux diverses racines Çi = Ç, Ç,, . . , Z^ delarésol- vante de Galois correspondent diverses permutations des éléments Ml '2, •••, ^/i qu'on peut désigner par Pi, Pj, .., P^, et la sub- stitution de Kk à l remplace les éléments de P^. par les éléments de même rang dans P,. Nous observerons également que le calcul des fonctions entières à coefficients entiers de ^,, l,, • • , ^n, qui est déterminé d'une manière unique par la définition qu'on a donnée de ces symboles à l'aide de l, est nécessairement idenlicjue au calcul dos fonctions entières des symboles ^'i, ?2i • ■■, ^n^ ^l^i sont définis de la même manière à l'aide de Ca-. Cela résulte immédiatement de ce que tou- tes les relations entières à coefficients entiers en ^ restent vraies pour 0>, ou encore de ce que les deux calculs dont on vient de par- ler se déduisent uniriuement des relations identiques G{t, a) = 0, G{Kk, a) = 0. (*) II est bien évident qu'on ne peut avoir pour toute valeur de i £; = H^,, puisque C et %k sont distincts et liés aux ? par les relations Ç = fliÇi -I- h ff„E„, Ik = aiH/.-, + • • • -4- OnHt^ ; la sulistitution de ^k à ; produit donc véritablement un changement dans la défi- nition des ï. 248 ALGEBRE SUPÉRIEURE Un conclut do là que si l'on considère par exemple une relation entière h coeflicients entiers F('i, *2, . ., ^„) = 0, elle reste vraie lorsqu'on y remplace respectivement çi, ^2, ■■•■, ^n par ?*i. J/.2, ..., ^A„ et cela quel que soit k. Il existe donc dans le calcul des fonctions entières de ;,, Cj, ..., ?« une certaine symétrie dé- finie pai- les permutations P Po P symétrie que nous nous bornons k reconnaitre ici et que nous étu- dierons de plus près dans la suite. 59. Nous avons étudié dans les pages qui précèdent la constitu- tion des domaines algébriques par des adjonctions successives de l'une des racines d'une équation irréductible à coefficients entiers ou de toutes les racines d'une équation de cette nature. Il est facile de montrer que tous les domaines algébriques s'obtiennent néces- sairement par l'un ou l'autre de ces procédés. Considérons en effet un système irréductible quelconque de rela- tions entières à coefficients entiers entre des symboles nous désignerons par R(z, u) sa résolvante générale que Ton sup- posera renfermer c, le coefficient de la plus haute puissance de z étant l'unité. Nous savons qu'alors on peut substituer au système donné les relations Ri-, u) = 0, .r,.D^R(s, u)-]- D„R(::, u) = 0 (i- 1,2, ..., 71), où 3 désigne la combinaison UiXi -+- 11^X2 M- ... H- u„x„. Il résulte tlo là que si les a sont choisis de telle sorte que le po- lynôme R(3, a) n'ait point de diviseurs multiples, le système consi- déré aura autant de solutions dans un domaine ({uelconque que l'équation \{P:S KiVriERS ALflÉHRIQUES 249 \o syslémt' donné sera vérilié par los ontiors algébriques - t f ilcfinis par les relations ?,D.U(^, «)-^DJl(Ç, «) = 0 {i = 1, iJ, . .., n). On pourra donc exprimer d'une manière explicite les éléments de tuutes les solutions du système en introduisant dans le calcul toutes les racines de Téquation irréductible à coeflicients entiers H(;, a) = 0, et le nombre de ces solutions distinctes est précisément le degré de cette résolvante générale. Il convient enfln d'observer que le domaine algébri(iut^ défini par les éléments de toutes ces solutions est simplement le domaine formé en ajoutant aux entiers l'une des racines de la résolvante de Galois de léquation R(z, a) = 0 ; c'est donc un domaine algé- brique 7Jorwin/, c'est-à-dire un domaine constitué par l'adjonction aux entiers d'un entier algébrique normal. III. — Équations spéciales, leur groupe. 60. La définition que nous avons donnée des racines •=1, S2, . . • , Ç« de l'ériuation f{x) = 0, à l'aide d'une racine ^ de la résolvante de Galois G(3, a) =0, conduit de la manière la plus naturelle aune classification des équa- tions irréductibles, que nous allons maintenant présenter. Examinons d'abord une équation f(x) = 0 pour laquelle le sys- tème (A) S, = Pi, S. = po, ... , S„ = pn est irréductible, c'est-à-dire pour laquelle la résolvante générale de ce système : R(-, Wi, Wo, ... , u,t) = 0 est irréductible lorsque les u sont indéterminés. On a vu que la résolvante de Galois est alors Riz, fli, a,, ... , fl„) = 0 ; on observe qu'elle est de degré n\, d'où il résulte qu'eu rempla- 250 ALGEBRE SUPERIEURE çant ^ par une quelconque de ses racines, on peut remplacer les éléments de la suite ?,, ^o, ... , ;« par les éléments de même rang dans une permutation quelconque. Toute relation entière en ;,, ç^, ••-, ^« à coefficients entiers de- meure donc vraie lorsqiCon y reniplace respectivement '.\> ?2' •■•1 '.n par les éléments correspondants ç^j, ;^,, ..., ?^.^^ d'une permutation quelconque P^. C'est d'ailleurs ce que Ton peut conclure aussi d'une propriété des systèmes irréductibles signalée antérieurement : Toute relation en- tière en a^i, a?,,..., Xn -à coefficients entiers, compatible avec les relations (A), est une combinaison linéaire de ces relations. Il résulte de là que si l'on considère le domaine [zi, ^2, ••• , ^n comme constiluti par les fonctions entières de :i, ç^, ... , \n à coefficients entiers qui sont de degré au plus égal à (n — «' par rapport à l.i, aucun des éléments ainsi obtenus, si ce n'est zéro lui- même, ne peut être nul; tous ces éléments doivent donc être re- gardés comme des symboles distincts, et la forme que nous leur donnons permet de trouver et de représenter sans ambiguïté la somme ot le produit de doux d'entre eux. Les équations irréductibles à coefficients entiers qui possèdent la propriété précédente, c'est-à-dire pour lesquelles le système (A) S, = /),, S. = ;?, S„ = /7„ est irréductible, sont dites générales ; les autres sont appelées spé- ciales, c'est de ces dernières que nous allons maintenant nous oc- cuper. Psous supposons par conséquent le résolvant R(:, ?/,, u,, ..., «,,) du système (A) réductible lorsque les u demeurent indéterminés et nous désignons par Cti(-, u), G,'^:^, u), ..., Gc^:, w) ses divers diviseurs irréductibles. On sait qu'alors la résolvante de Ga- lois est toute équation Gi(z, n) =0, dans laquelle les a sont choi- sis de telle sorte que le polynôme en z qui en forme le premier membre n'ait pas de diviseurs multiples. .Ndmetlons ([u'i>n ait choisi d'une manière arbitraire la relation G.fr, a) =0 pour définir l et par suite les entiers algébriques ;i, U, . , ;„ CALCUL DES ENTIERS ALGÉBRIQUES "251 par li's fiirmulos ^.DkCmC a^ 4-n„r,,(r, a) = O ; nous lappi'luiis que si a désigne le degré du pulynunie Iji(3, a) et si les polynômes représentent los diviTs iMiliors algébriques qui vérifient réqualion G.U, a) = 0, la substitution do >^(:;) à ^ dans la (b'-finifion dos : étjuivaut à remplacer :, par le symbole ;/,. ([ui occupe le même rang dans une permutation convenable Pa des ^. Nous avons déjà fait observer que cette substitution de l^iK) h l ne cbange en rien le calcul dans le domaine [Z\ d'où il résulte que toute relation entière en ;,, ?2, ..-, VI à coefficients entiers demeure vraie lorsqu'on y remplace respectivement par les éléments ;,, ï^ ..., :„ delà permutation P, les éléments de même rang ^a-,, U., ..., ^a„ de toute permutation P/. qid appartient à la suite Pi, Pj, .,., P^. On peut aussi parvonirà cotte proposition do la manière suivante : Considérons l'équation Gi(:, a) = 0 où z représente la combi- naison at.Ti-{-a2X2-h ...-ha„x„ et qui définit quand on l'ajoute aux relations (A) l'un des systèmes irréductibles en lesquels le sys- tème (A) se décompose. Nous savons que et H^) = «i^fr.H hajk^ sont doux racines de cette équation, il en résulte que les égalités : Xi = -i. Xi = ;25 • • •■ ^« =^ •'ni a?i = ^A-,, Xi = ?Ay . . . , a-„ = Ïa„ définissent deux solutions du système irréductible considéré. Si l'on observe que la première d'entre elles est également définie par les égalités X/c^ ^A-,1 "^k., — •'t.i • • • ï "''^fr„ — Çfc^î on pourra en conclure que le système irréductible dont la résolvante générale est Gi{u\Xk -+- HîXk,^ -H h u^Xh^, u) — 0 admet une solution du système irréductible dont la résolvante géné- rale est 252 ALGÈBRE SUPÉRIEURE (J^(UlX^ 4- V^x-, -+-••• + U„X„, u) = 0, ol pur snito (|uo ces deux systèmes sont identiques. L'enseml)le des équations qui délinissonl le système irréductible considéré demeure par conséquent le même lorsqu'on remplace res- pectivement par a'i, x^, ..., Xn les éléments de même rang x^ , Xk„i • ■ -, 3^/.,, de la permutation P/.. des x. On conclut de là que toute relation Gi{aiXi,^ H- a.x,,^ -+■ 1- a„Xk , a) = U est une combinaison linéaire des (n + 1) relations : S] = p,, S2 = p,, . . ., S„ = /î„, Gifû'i.ri + a^Xi -+-■■■-+- o,,x,,, a) = 0, qui définissent le système irréductible considéré, ce qui établit la proposition annoncée plus haut. 61. Il convient d'appeler ici l'attention sur une propriété remar- quable du système des permutations P,, Po, . ., P^. Nous savons que si K = ni'i +r/.t_, + ... +f/i?,- désigne l'une des racines de la résolvante de Galois G/-, a) = 0, toutes les racines de cette équation sont Il résulte de là que la suite des polynômes que nous écrirons plus simplement représente également toutes ces racines ; cette suite est donc une simple permutation des éléments X,, Xj, ..., X^. Admettons que l'on ait par exemple ^/v^a) = \i.kh on désignant par [i, k) un entier convenablement choisi dans la suite 1, 2, ..., a; l'opération précédente remplacera respective- ment les éléments Xi, X,, ..., X^ par les éléments de même rang dans la suite X(,,;,). X^...^), ..., \^^^y D'autre part, substituer X;,.(i;) à C équivaut à remplacer par les éléments de Pi les éléments correspondants de 1\ ; on peut CALCI'L DlîS ENTlICIls AI.dKimioUES -2o3 donc dire s tiM'mos, le si/s- tème des permutations P,, P., ..., P^ se reproduit lorsqu'on 7 effec- tue sur les ? le changement qui conduit de 1\. à P,, et le changement qu éprouvent les P est inverse de celui qu'éprouvent les racines À(^) de la résolvante de Galois. A toute équation spéciale correspond donc un système de permu- tations de ?i lettres ?i, ç,...., ;„ parmi lesquelles figure Pi et (lui possède la propriété précédente ; nous verrons tout à l'heure comment on a fondé sur cette remarque la classification des équations spéciales. Pour Tinstant nous nous bornerons à signaler encore la propriété suivante du système des permutations Pi, P., . . ., P;, : On a vu ([ue lorsque représente l'une des racines de Téquation Gi{z, î/i. i/o, .... {/„) = 0, il en est de môme de î'i^/,,h-î<2;/,,4- ••■-hw,,;/,^^ ; il suflil d'observer qu'on peut écrire la première expression sous la forme pour en conclure ciuo l'on passe de la seconde à la première (>n remplaçant respectivement par «,, u,, .... u„ les éléments »/, , Le polynôme Gi(;, m,, u,, ... , u„) demeure par suite invariable lorsqu'on effectue sur les u le changement qui conduit de P/^ à P, en désignant par P^ l'une quelconque des permutations Pj, P., ..., P^. Nous venons de constater de diverses manières l'existence dans le calcul des fonctions entières à coefficicnis entie-rs de >• >■ >■ d'une certaine symétrie définie par les permutations P., P2, . ., P.; 254 ALGEBRE SUPERIEURE il est facile de montrer qu'il n'existe pas d'autres changements des ç qui transforment en elles-mêmes les tables d'addition et de multi- plication de leurs fonctions entières. Nous allons y parvenir en fai- sant voir comment tous les systèmes irréductibles qui correspon- dent à l'équation donnée dérivent de l'un d'entre eux, par exemple de celui que nous avons choisi. Désignons à cet effet par l'une des racines de la résolvante G,(-, r r par s; on reconnaît immédiatement alors qu'on a aussi r.s.l = r.(s.l), c est ii- dire que la composi- tion considérée est associative. En cfl'et, la substitution (r.s) remplace l'entier i par l'entier r^. et la substitution t remplace ce dernier par l'entier r, qui peut évidemment être obtenu aussi en rempla- çant dans î\ l'indice i par s,.. Nous ajouterons immédiatement que la composition dont il s'agit n'est pas commutaiive, c'est-à-dire qu'un n"a pas s.l = /.s, ainsi qu'il résulte do l'expressiGn des entiers s,, et t,. que ces opé- rations substituent à l'entier / ; c'est là une circonstance qui la dis- tingue de la multiplication des entiers ordinaires et qui est la raison de la dii'ficuUé, et aussi d'ailleurs de l'intérêt, que présente l'élude des substitutions au point de vue où nous les envisageons. Si l'on observe que la substitution identique peut être négligée dans un produit, soit comme multiplicande, soit comme multipli- cateur, on pourra la représenter par l'unité, et comme d'autre part le produit d'une substitution s par la substitution inverse est tou- jours la substitution identique, on est conduit à désigner cette der- nière par s~' et à écrire s. s-' = 1. Il résulte de là que les relations s.l = u, s' . / = u entraînent nécessairement s.t.t-^ == jf.r', d'où l'on conclut : s = s' ; on établirait dr mi'-me (]ue les rela- tions analogues s t = II, s.l' = u exigent t = i'. CALCUL DES liNTIMRS AL(iEHRlnUKS 257 Les remar(iucs (lui pir-cèdcnl, jointes ù ce l'ait que le produit s.t est dilléreiit de s et de t loisquaucun de ces facteurs nest ruiiité, établissent donc i|uc si l'on considère des suhstitutions distinctes et si on les multiplie, soit à droite, soit à r/nuche, jiar une même suhsfitulion on obtient encore des substitutions distinctes. tn résumé, lors([u"ou envisage au iminl di' \ur tic Irur conipo- sitiun par une multiplication les 7i ! substitutions distinctes de 71 lettres, les symboles qui les représentent se manil'estent comme possédant les propriétés suivantes : 1" De deux sr/inboles quelconques du si/slème, un peut déduire d'une manière déterminée un troisième symbole du même système ; H" La composition considérée est associative ; 3" Un même symbole composé avec des symboles différents donne des symboles différents. Nous reconnaissons là les propriétés qui, dans un chapitre anté- rieur, nous ont servi à déOnir un groujje ; les n ! substitutions de n lettres constituent donc un groupe liniilé lorsqu'on les compose entre elles par multiplication ; ce groupe est appelé groupe symé- trique de n lettres et va jouer dans la suite un rôle important. Si l'on se reporte maintenant aux résultats énoncés naguère à l'aide des permutations des entiers 1,2,...,/?, on verra immé- diatement (jue tous ces résultats peuvent s'exprimer de la manière suivante ; Soient : f\x) = 0 une équation spéciale d'ordre n, les racines de celte équation., définies en parlant d'une racine ? de la résolvante de Galois : G,(;, r/,, ao, ..., a„) = 0, dont C ordre est a, il existe un groupe de substitutions des n lettres ç, formé de a substitu- tions et tels que : Toute substitution de ce groupe laisse invariable l'ensemble des rela- tions entières à coefficients entiers entre ^,, ?_>, ..., ?„, ou toute portion de cet ensemble qui le détermine nécessairement. Toute substitu- tion n'appartenant pas au groupe substitue à cet ensemble un autre en- semble de relations incompatibles avec les premières. Si l'on considère les diverses résolvantes partielles en nombre ^ : Gi(s, i/i, Ui, ..., u„] = 0, ..., G,.:, ifj = U THÉORIE DtS NOMBUES 17 258 ALGEBRE SUPERIEURE toute substitution du même groupe effectuée sur les u, laisse invariable chacun des polynômes G ; toute autre substitution échange entre eux ces divers polynômes. Ajoutons qu'il résulte de là que le groupe de l'éfjuation est coni- plèteiiieut déterminé, soit par la relation entière entre les 5 : Gi(ai£, + a2;2+... + «,<;«, a^, a.,, ..., a„) == 0, soit par le polynôme entier en u : G,(;, u,, U.2, ..., u„). Ces résultats étant acquis, on a rangé dans une mrme classe toutes les équations irréductibles d'ordre », qui conduisent au même groupe, et il est clair que la classification ainsi obtenue est naturelle, nous dirons même nécessaire, puisque les relations qui lient aux entiers les racines de deux équations dune même classe ne ditrèrent jamais que par le nom de ces racines et les détermina- tions des coefficients et que cette circonstance cesse de se produire lorsqu'on passe d'une classe à une autre. 63. Il convient avant d'aborder d'une façon systématique l'étude des groupes de substitutions, de présenter encore quelques remar- ques générales au sujet des groupes limités et des rapports qui existent entre ces groupes et les groupes de substitutions. Considérons un groupe limité d'objets bien définis (p. 133) et appelons, pour fixer les idées, multiplication, la composition de na- ture déterminée que l'on sait effectuer sur ces objets ou éléments. Nous observons d'abord qu'il eriste toujours un élément gui, mul- tiplié 23oi>' un élément donné soit à droite, soit à gauche, conduit à un produit donné. Soient, en efi'et, a, b, ... l les divers éléments du groupe, / l'un quelconcfue d'entre eux ; les produits ai, bi, ... U sont tous différents ; ils font d'ailleurs partie du groupe, ce sont donc dans un autre ordre les éléments a, A, ... /, et l'un d'entre eux, /ci par exemple, est identique à l'êlémenl /. On établirait de même que dans la suite ia, ib, ... , il l'un des produits i/c' est aussi identique à i. Les égalités ki =■ i, ik' = i C.AI.CI'L 1»KS KNTIKRS AF.r.KnRInUES f)")») muniront (jue d'une part rélcniout /.• est négligeable dans la nuilli- plication à gauche />ar i et l'élément A' négligeable dans la multi- plication à droite jjar i. Je dis que ceci a lieu pour tous les éléments, mis ù la place de i; il sul'tit en ell'et d'appli(iuer la propriété associative de la multipli- cation pour écrire, par exemple : ia = {/ci)a = />{ia), ce qui démontre la proposition [inur réiénirnl lu, (jui est quelconque lorsque a est quelconque. Entin si l'on fait en particulier i = /•' et i = k dans les d. En sommie, au point de (*) L'isomorphisme ainsi défini est dit holoédrique, pur opposition à l'isomor- pliisme mériédrique que nous définirons plus loin. 2fi0 ALGEBRE SUPERIEURE vue abstrait auquel nous nous sommes placés jusqu'ici, les deux groupes sont identiques ou diffèrent tout au plus par les notations ; c'est seulement lorsqu'on considr-re des groupes portant sur des objets bien déterminés que cette notion peut avoir de rinténH. jNùus allons montrer que tout groupe limité est isomorphe à un groupe de substitutions ; nous pourrons donc nous borner à étu- dier les groupes de substitutions, et toutes les propositions que nous établirons ainsi et dans ïénoncé desquelles ne figurera pas explicite- ment la nature des éléments du groupe, s'appliqueront aux groupes limités quelconques. La démonstration de la proposition énoncée est d'ailleurs immé- diate : nous pouvons toujours désigner les éléments du groupe donné, supposés en nombre n, par une même lettre a, affectée des indices 1, 2, 3, ... , n. Écrivons ces éléments sur une même ligne : Oi, a^i ûii, ..., a,,-, et écrivons au-dessous leurs produits par un élément quelconque *a, ; soient a, , Ut, Qj . ... , a,- ces produits. Désignons par s, la substitution (jui remplace les in- dices 1, 2, 3, ... , n par les indices /i, io, ... , i„, qui ne dif- fèrent des premiers que par l'ordre. Il est clair que les substitu- tions Si forment un groupe isomorphe au groupe des a, ; en effet, la substitution .y, remplace l'indice a par l'indice a, lorsque le pro- duit de Ur, par ai est o,^ ; on peut dire que l'effet de la substitution 5, sur les indices considérés pour eux-mêmes est identique à l'effet do la multiplication par ai sur les indices considérés comme faisant corps avec les a ; il est bien évident par suite que le produit de deux substitutions correspond de la même manière au produit des cléments correspondants. Ilemar(iuons que le groupe de substitutions ainsi obtenu est de degré n, c'est-à-dire comporte n indices, et d'ordre ?i, c'est-à-dire renferme n substitutions. De plus, étant donnés deux indices ({uel- conqucs i et /.', il existe une substitulitm et une seub^ du groupe qui remi)lace i par k (en effet dans le groupe des a, il y a un seul élément qui, multiplié par a,, donne pour produit «a-i ; c'est ce que l'on exprime en disant que le groupe de substitutions est simplement transitif. Ainsi tout groupe limite d'ordre n est isomorphe à un CALCUL DKS KNTIKHS ALCiKURlgUES -2V)l f/rouj)i' triDisilif (II' sii/islilii/iims outre n lellrcs, dinil l'orilvo. rsl uiissi rgnl à ?j. Vn toi groupo ost ai>polé groupe riormal ot la raison do coUc donomiiialion aiiparail iinmôdialomont lorsqu'on obsorvn que lo groupo de toute é(|uali()ii nornialf» irréductible est nécessairement de cette espèce. Si on particulier nous considérons la résolvanic do (lalois 0,(2, n) = 0, duni les racines sont : h(X) = K, )./r^ K{K) nous savons que les transformalioins entières [z, X.(2)], [2, X,(z)], . . . , [z, Uz)] envisagées suivant le module 0,(3, a), constituent un groupe limité dont l'ordre est égal à a ; ce groupe est d'ailleurs isomorphe avec le groupe de l'équation f{x) — 0 ainsi qu'il l'a été établi par la considération dos permutations P,,P., • ,P. <\u\ définissent ce dernier groupe et qui correspondent d'une manière univo(|ue ol réciproque avec les X;(^). Ajoutons cnlin que la proposition précédente s'applique on parti- culier aux groupes de substitutions dont l'ordre n'est pas égal au degré et qu'elle sera pour nous d'une grande importance dans ce cas particulier. CHAPITRE V LES GROUPES DE SUBSTITUTIONS I. — Structure des substitutions. 64. Nous avons, dans le précédent chapitre, défini les substitutions et leur multiplication ; nous avons également montré comment on peut, à l'aide des n! permutations, former toutes les substitutions distinctes do n lettres, mais nous n'avons donné jusqu'à présent aucune indication générale sur la manière dont chaque substitution échange entre elles les lettres .ïi, Xa, . , a?„, c'est-à-dire sur la slructure des substitutions : il est aisé de combler cette lacune. Considérons une substitution quelconque et soit a, un indice pris au hasard dans la suite 1,2, ... , »; la substitution remplacera cet indice par un autre, que nous appellerons a^; elle remplacera de môme a, par fl;j, et ainsi de suite. Mais comme le nombre des indices est limité, on arrivera sûrement ainsi, avant n opérations, à un in- dice «A que la substitution remplace par le premier indice a,. Les termes de la suite «i, n.,, ... , Ou éprouvent parla substitution un changement très simple : si on les range, dans Tordre où on les li'ouve, sur un cercle décrit dans un sens déterminé, on peut dire que chacun d'eux est remplacé par le suivant. Pour consacrer cette interprélation on donne le nom d(^ cycle au système a,, a.^, ..., a^ et on (lit ([ue ces indices éprouvent une substitution circulaire. Si le cycle comprend tous les indices, c'est-à-dire si /( = n, on dit que la substitution considérée est circulaire. Sinon, un indice étranger au cycle donne naissance à un nouveau (iRMlPKS DH SrHSTITrXIoNS 263 cycle, ot ainsi df suite. Hrmarciuons oiiliii ([u'uno Ifllic iiiallérée par la subslitiitinn peut ètit' regardée comme l'ormanl à elle seule un cycle. Il résulte di' là «[ue tauli' sui>sfiluliun de )i ledn's est circulaire ou se décompose en sithslitulions circitlaires de moins de n l>-llrcs. lùilin il est clair qu'une telle décomposition n'est possible que d'une seule manière et que deux cycles qui y tigurent n'ont aucun indice commun. Pour avoir une représentation de la substitution qui mette en évi- dence l'efl'et qu'elle produit, il faut donc donner les indices de chaque cycle ; on convient de représenter une substitution circu- laire des indices Oi, Ao, ..., a^ par le signe (aj, a., ..., o/,), la signification de ce signe ne changeant pas lorsqu'on commence par écrire l'une quelconque des lettres du cycle. Toute substitution pourra alors se représenter de la manière suivante : (a,, ... , fl/.H/.'i, ... , ^a' ••• , en n'écrivant pas les cycles d'une seule lettre. 65. Deux subslilulions smil dites semblables lorsqu'à chaque cycle de Tune correspond dans Taulro un cycle déplaçant le même nombre d'indices. Il est clair que deux substitutions semblables ne peuvent ditlerer que par le nom des indices corrrespondants, c'est-à-dire par la notation ; on dit qu'elles appartiennent à un même type. On voit aisément qu'à toute décomposition du nombre n en entiers, de la forme n = i.h -t- p./î-t- Y./+ ... , correspondent des substitutions do n lettres, formées de a cycles de h lettres, 3 cycles de k lettres, etc.. ; le nombre des types dis- tincts est donc celui des décompositions distinctes de n ayant cette forme. On observe que l'on pourra ranger les nombres //, /.-, /, ... , qui sont nécessairement ditlërents, dans leur ordre de grandeur, de façon que pour que deux décompositions de n soient distinctes, il faut et il suffit que deux des termes de même rang dans les deux décompositions soient différents. Proposons -nous d'évaluer le nombre des substitutions de n lettres qui appartiennent à un type donné : n = a . A H- [i . /v -H Y . /h- ... 264 ALGEBRE SUPERIEURE Nous observerons que chaque substitution do ce type peut être écrite sous forme d'un produit de substitutions circulairi'S de manières ditrércntes : on peut en effet effectuer sur les cycles de h lettres une substitution quelconque et dans chacun d'eux une subs- titution circulaire, ce qui donne h manières distinctes d'écrire le cycle. Supprimons dans les expressions ainsi obtenues de chaque substitution du type donné, les parenthèses qui séparent les cycles; nous aurons des permutations dos x, et il est facile de voir qu'on obtient ainsi toutes les permutations dos x et chacune d'elles une seule fois. On conclut de là que /e nombre des subsiitulions des x qui appartiennent au type donné est égal an quotient de n ! par al/^^p!/^^Y!^... . Ajoutons qu'on en déduit immédiatement l'identité arithmétique où la somme qui figure au premier membre est étendue à toutes les décompositions : »? = a . /< + p . A- -H Y . / + . . . . 66. Soit a une substitution quelconque des x; considérons la suite des puissances a, a^, a^, ... ; il est clair que les termes do cette suite ne peuvent être tous distincts puisque le nombre des substitutions différentes est limité; désignons par a'"~' le premier des termes de la suite qui reproduit l'un des précédents ; on aura nécessairement car si l'on avait «'"+* =: a'^'^'K on en déduirait a"'~'^^^ = a, ce qui est contraire à l'hypothèse faite sur m. Il résulte de là que dans la suite a, a-, a', . . . , les mêmes substitutions se reprodui- sent de m en ?7î, ou encore que a'" est d'effet nul dans la multipli- cation; a'" est donc la substitution identique. Les subsiitulions n, a^, . . ., a'" = 1 forment un groupe d'ordre m, qu'on dit di'-rivé de la substitution a. Le nombre m est également appelé ordre de la substitution a. Il est facile di^ vnir qu'une substitution circulaire do p lettres est d'ordre p et il on résulte immédiatement que Tordre dune OROUPES DE SUBSTITUTIONS 565 >ul»s{ilution qui loiirpimo des cycles de //. /. , /. i-io. lettres est le plus petit Commun multiple des nombres //, /.-, /, etc. La connaissance de Tordre d'une substitution permet également quelquefois de trouver sa forme; par exemple toute substitution (l'ordre premier p ne contient ((ue des cycles de /) lettres, et si elle contient seulement /) lettres elle est circulaire. II. — Fonctions rationnelles de n éléments. 67. Représentons par les lettres Xj, aro, . . ., a-,, des symboles dis- lincls pour lesquels nous supposerons uniquement qu'ils se com- posent, entre eux et avec les entiers, suivant deux modes ditlérents qui possèdent les propriétés fondamentales de l'addition et de la multiplication des entiers ordinaires ; nous savons ainsi ce qu'on doit entendre par fonctions rationnelles, à cocnicienls entiers, de .l'i, a-j, ...,x„\ nous nous proposons d'étudier ici les diverses espèces de symétrie que peuvent présenter ces fonctions ou, d'une manière plus précise, d'étudier comment elles se comportent lors- qu'on effectue sur les lettres x, les substitutions d'un groupe donné. Nous ferons immédiatement observer, à ce sujet, que si Idn désigne par /),, p^, . . . , p„ les fonctions symétriques élémentair(>s des .r, ces fonctions, ainsi que toutes leurs fonctions rationnelles à coefficients entiers , demeurent inaltérées par toute substitution faite sur les x, cest-à-dire jouent, au point de vue où nous nous plaçons, le rôle d'éléments invariables. Il suffit alors de se reporter aux identités qui définissent pu Pi, ...,p„ pour en conclure qu'à toute fonction rationnelle des x, correspond une fonction entière des mêmes lettres, dont le degré en .r, est au plus égal à n — i et qui présente la même espèce de symétrie. Nous pourrons donc, dès que nous y trouverons un avantage quelconque, nous borner à con- sidérer ces fonctions entières, ou d'une manière générale toutes les fonctions entières des x k coefficients entiers. La question précédente est intimement liée à l'étude des groupes de substitutions et nous allons tout d'abord mettre cette liaison en évidence. Si nous désignons par s une substitution quelconque des indices 1, 2, ..., n (ou des lettres ai, x,, ... , x„, ce qui revient au 266 algebrp: supekietre même), nous définirons la transformée duno fonction entière o des n lettres par la substitution s. comme la fonction obtenue en rem- plaçant dans o chaque lettre par celle (pie la substitution s lui fait correspondre ; nous désignerons ce résultat par '^s. Il est clair que les substitutions qui laissent invariable une fonction entière de n lettres forment un groupe, car si s et s' sont de telles substitutions, on a les identités ■JjS = 9, os' = o, et par suite 'v ss' = os. a' = os' = o, cest-k-dire que ss' laisse aussi invariable la fonction o. Réciproquement, à tout groupe correspond une fonction o qui est invariable p)cir les substitutions de ce groupe et par celles-là seulement. Soient en effet a, b, ..., l les substitutions distinctes du groupe considéré G. Nous avons signalé précédemment la fonction V — niiXi + Wo-r, H- . . . + m„x„ qui prend par toutes les substitutions possibles n 1 formes dis- tinctes lorsque les entiers Wj, w^, ..., 7n„ sont convenablement choisis. Désignons par V„, Y,„ ..., \/ les résultats obtenus en effec- tuant sur V les substitutions de G. La suite V,„ Vi, ... , V/ est seulement permutée par une substitution // du groupe G, car elle devient et les substitutions ah, bh, ... , //«, toutes distinctes et appar- tenant à G, sont dans un autre ordre les substitutions a, b, ..., /. 11 résulte de là qu'une fonction symétrique quelconque de V„, Vfc, ..., V/ demeure invariable parles substitutions de G. 11 peut très bien arriver que, grâce à sa forme particulière, elle de- meure aussi invariable par d'autres substitutions que celles de G, nous en verrons plus loin des exemples; mais il est facile de former des fonctions qui vaii(>nl par titule substitution n'appartenant pas à G. Le produit (A — V„)(A — Y(,) . ... (A — Y/;, où A est un élément invariable par toute substitution, par exemple un nombre entier, satisfait évidemment à cette condition. C'est en effet un poly- nôme entier en .r,, .. , x,,, décomposable en facteurs linéaires rationnels; nous savons que cette décomposition n'est possible que cRorpES DK srnsTiTCTioNs 267 d'une seule manière, si donc le produit demeure invariable par une subslilulion g, celle-ci ne peut ([urflianj^'i-i- cnlre eux les l'acleurs linéaires et par suite apparlicnl ;i (i. Li»iS(|u"uii(' l'uiiclion o(a:,, a'2, . . . , .c,,) denit'iiic iiivai ialilf [Kir toutes les substitutions d'un groupe (i, on dit ([u'cile est un invariant du gToup(\ Si b' groupe (! (^sl le plus grand groupe dont les subs- titutions laissent o invaiiable, la l'onction o vaiie pai' toute autre substitution, on dit alors qu'elle est un invariant caractéristifjue du groupe. Le groupe des substitutions qui laissent invariable une fonction cf , pour lequel elle est évidemment un invariant caractéris- ti(|ue, est appelé groupe de la fonction cp. Nous pourrons donc énoncer les résultats obtenus de la manière suivante : Tonte fonction de .X|, a'j, ...,Xn est un invariant caractéristique d'un certain groupe de substitutions entre ces lettres. Tout groupe de substitutions possède des invariants caractéristiques et Von sait en former une infinité. Nous verrons plus tard qu'on peut les déduire tous d'un seul d'entre eux. Les deux propositions précédentes nous permettent une classi- fication dos fonctions rationnelles de a?i, 2^2, ..., x„: il suflit de regarder comme fonctions dun uK'me genre tous les invariants carac- téristiques d'un même groupe. 11 est clair que tous les invariants carac- téristiques d'un même groupe présentent par rapport à x^, x.,, . . .,Xn la même espèce de symétrie ; on peut donc dire qu'il y a autant d'espèces de symétrie distinctes que de groupes do substitutions entre a?i, a-^, . . . , a-„. La question ({ui so [lose maintenant est do construire e(1'(>ctive- menl la classilicalioii iiidi(iuéo, c'est-à-dire de donner un type de chaque espèce de symétrie dont sont susceptibles les fonctions ra- tionnelles de Xx, Xi, . . . , Xn. Cette question exige la formation de tous les groupes do substitutions entre n lettres. Si cette seconde question est résolue, nous savons enelfet à l'aide d'une fonction qui varie par toul(> sn])slitulion former un invariant caractéristique do chariuo groupe. Le procédé indifiué à l'aide de la fonction lin(''airo w,.Ti + m.,x., -h ... H- niiiXn paraît peu commode dès que le groupe renferme un certain nombre 268 ALGERRE SUPERIEURE de substitutions distinctes, aussi nous allons en indiquer un autre qui donne toujours des fonctions de môme degré en a-,, a?,, . , x^ et qui n'exige aucun calcul. Considérons la fonction xl^\.x\i. ... a:,"',», où v-x, a,, . . a„ sont des entiers distincts ; il est clair que cette fonction varie par toute substitution. Si nous la désignons par V, la somme V„ + Vb -t- + V/ sera évidemment un invariant caractéristique pour le groupe G dont les substitutions distinctes sont a. b, . . . , l. Cette somme est en effet un polynôme en a?i, rrj, •• -, -£„ formé d'autant de termes distincts qu'il y a de substitutions dans G, c'est-à-dire qu'il n'existe entre les différentes formes de V aucune réduction possible. De l'identité de deux valeurs de la somme Va -t- V/, -+- -h V/ on peut donc conclure l'identité des divers termes et par suite le fait que la substitution qui laisse invariable la somme permute seu- lement ces termes entre eux. Donc elle appartient au groupe G. En particulier, on peut prendre pour V la fonction a",a?|x3 ■•- ^"-p ainsi que Ta fait remarquer Kronecker. Malheureusement, on ne sait pas jusqu'à présent former tous les groupes de substitutions de n lettres. Il est donc impossible de réaliser la classification indiquée et nous devrons nous borner à étudier les groupes et les fonctions rationnelles particulières qu'il nous sera utile de connaître. Remarquons d'ailleurs qu'il n'est pas nécessaire de construire effectivement la classification précédente pour être édifié sur sa valeur; il suffit d'approfondir les rapports qui existent d'une part entre deux fonctions de genres différents, d'autre part entre deux fonctions du même genre. C'est ce que nous ferons dans le chapitre suivant. Parmi les fonctions rationnelles de .r,. .ro, .... x„. les plus sim- ples sont les fonctions symétriques qui sont des invariants pour un groupe quelconque et des invariants caractéristiques pour le groupe formé de toutes les substitutions possibles. Ce groupe, qui est évi- demment composé symétriquement avec les lettres a-i, .r. .r,„ est appelé groupe symétrique. Tous les autres groupes sont formés d'un certain nombre de substitutions do ce dernier; on dit (|u"il- GROIPES LHî srnSTlTtTIONS , 269 sont dos sous-groupcs du groupe syinéliiquf; nous signalerons seu- lement ici le plus grand de ces groui)es, pour kquel la fonction 0 = (j, — a-o) ... (a-, — .r„) . {Xi — x-j) ... (t„_, — x„) osl un invari;inl caractéristique. On sait qui' le carré de o est une fonction symélriiiue des x que nous avons appelée discriminunt du produit [x — Xi) ... {x — x„)\ il en résulte qu'une substitution quelconque faite sur les x ne peut que changer le signe de o et l'on voit par exemple que la substitution (x„_i, x„) change effecti- vement ce signe. Les n ! substitutions se partagent donc en deux classes suivant (lu'ellos changent ou non le signe de o, et il est clair qui' les di'ux classes comportent le môme nombre de substitu- tions. n\ Le groupe de — substitutions ainsi obtenu est appelé groupe alterné des n lettres; nous établirons plus loin quelques-unes de ses propriétés les plus importantes. III. — Propriétés générales des groupes. 68. Soit o[xi, Xo, . . . , a'„) une fonction non symélri(|ue des x \ désignons par p l'ordre de son groupe G, par a, b, . . . , l ses subs- titutions distinctes. On a la suite didonlités si donc s est une substitution n'appartenant pas à G, on a aussi les substitutions as, 6s, ..., Is sont distincles entre elles et aussi distinctes des précédentes, car as — h donne s—a~^h et s ap- partiendrait à G. Soit de même t une substitution nouvelle oaL =z oht = = oll, et Ton n'a pas at =bs, car on en déduirait t=cr^b.s. , n ! En continuant ainsi on voit que la fonction o prend — formes V distinctes par toutes les substitutions possibles. 270 ALGEBRE SUPERIEURE Le nombre des formes dislinclcs que peut prendre une fonction rationnelle des x est donc toujours un diviseur de n !, ou autre- ment : l'ordre d'un groupe quelconque est un diviseur de n \. Il s'en faut de bcaucouj) que la réciproque de cette proposition soit exacte, c'est-à-dire ([u'à tout diviseur p de n\ corresponde un groupe d'ordre p. On peut, par exemple, démontrer que, n étant plus grand que 4, si une fonction de a^j, .1.,, • . . , a-n a plus de deux formes elle en a au moins n, ce qui exclut l'existence de fonctions à moins de n formes autres que les fonctions symétriques et les fonctions à deux formes. On trouvera dans le savant ouvrage de M. Jordan (*) une foule d'autres propositions particulières. Nous ne donnerons pas ici ces développements qui ne seraient pour nous d'aucune utilité ; nous nous bornons à dire qu'on ne sait pas encore les conditions nécessaires et sullisantes que doit remplir un nombre p pour qu'il existe des groupes d'ordre p formés de substitutions de n lettres. Rappelons qu'un groupe H est dit sous-groupe dun groupe donné G lorsque toutes les substitutions de H appartiennent à G. Désignons par p l'ordre de G, par q l'ordre de H et par hi = 1, /«2, . . , hfj les substitutions distinctes de H. Si ^2 est une substitution (le G n'appartenant pas à H, G ren- fermera également les substitutions Ces q substitutions sont distinctes ; elles sont (Kailleurs différentes des précédentes, car d'une égalité .' pai" exemple g^^; nous obtiendrons la nouvelle identité c'est-à-diro que toutes les sul)stitutions de la ligne (jui contient ^^ transformeront *l' en une même fonction 'l'/y^. Toutes les fonctions ainsi obtenues sont distinctes, car dune re- lation on déduirait ^x, que nous désignerons simplement par * = *,, *o, . . ., ^. Ces fonctions sont dites conjuguées dans le groupe G. 69. Nous savons d'après les théorèmes fondamentaux établis au début do ce chapitre que 'l'o, 't'a, . . ., *^a sont les invariants carac- térisliqu(>s de certains groupes bien déterminés. Quels sont ces groupes et (|uels rapports nnt-ils avec lo groupe 11 de la fonction GROUPES DH .SIHSTlTlTloNiS 273 Coiisidt'ruiis ruiic des foncliuiis prûcécleiUcs, 'I', par l'.\l'IU1)1c, soit k une subsliluliuu ijui n'altère pas •!», ; un aura *.7a/'" = '''.7 a, cl l'on en dédiiil (Ml IraiislVirniaiit [uir la substiUilion g~^ : 'V.,M.' - 'I'. La subsliluliim gj>gj^ est donc une des substitutions qui n'altèrent pas «l», c'est-à-dire une substitution du groupe H : Multiplions à gauche par g^ ' et à droite par g^ ; nous obtenons c'est-à-dire que les substitutions (jui n'allèrent [las 'I'^ sont de la forme gz^hg^. Inversement, toute substitution de cette forme possède la même propriété. Hn effet, pour transformer 'l'g^ par la substitution gï^hg^^ on peut d'abord transformer cette fonction par gi\ ce qui donne ^g^g~^ = 'I', et transformer ensuite le résultat obtenu 'l' par la substitution hg^^. Or on a '!>%, = ^':7a; donc la substitution considérée reproduit 'i'^. Il résulte de là, que : 1° les siibsliiulions obtenues en faisant sur une suOstitutiun quel- conque h, de II, l'opération forment un groupe \\^; 2" ce groupe 11^ admet la fonction , comme invariant caractéris- tique. Examinons mainliMianl d'un peu plus près l'opération g~^hg\ on dit ([ue la substitulion que cette opération fait correspondre à la substitution A est la transformée de h par g. Soient : (x, p, y) un cycle de A, a', p', y' les lettres que la substitulion g substitue à a, p, y; il est aisé de voir quel est l'effet de l'opération g"^hg. La substitution g^^ remplace en effet respectivement les lettres '■''i t^') t' P^Ti' If's lettres a, fi, y, bi substitution h remplace ensuite '^1 ?i Y P'^i' ?5 ïi '■'■•> ^'t enfin la substitulion g remplace p, y? ^ par ^', y', ^'; la substitution g~^hg remi)laco donc a', !i', •(' par fi' y'i ^'i c'est-à-dire comprend le cycle (a', p', y')- 1' résulli^ de là fjue les doux Théorie des nombres 18 274 ALGEBRE SUPERIEURE substiluliDns h el f/~^hg sont semblables, c'cst-à-dirc ne difîérent que par les noms des lettres qui y figurent ; nous venons en ellet de montrer (juà tout cycle do Tune correspond dans l'autre un cycle portant sur le mémo nomljre de lettres. Les >- groupes Hj = H, H^ = g'^'H^/^,..., H,, =: g^^Rg,, qu'on ob- tient en transformant les substitutions de H par 17, ::= 1, lyo, ..., 7,. sont dits semblables. On dit aussi qu'ils sont conjugués dans le groupe G. En général ces sous-groupes conjugués sont distincts. 11 peut ar- river qu'ils coïncident; les X fonctions conjuguées 'l'i = 4>, . . . , '^-,. sont alors des invariants caractéristiques du même groupe H. Ce groupe qui se reproduit lorsqu'on le transforme par une substitution quelconque de G est appelé sous-groupe invariant de G. Revenons maintenant à la considération d'un invariant caractéris- tique * du sous-groupe H de G dont l'indice est À ; les substitu- tions de G font acquérir à «î», A formes distinctes *, = <1', 'l'o, ...,'î'>., la fonction «ta = '!', par une simple permutation des m^'uios éléments. On peut encore dire qu'à cluujue substitution 7 de G correspond une substitution y bien doli'rminée entre les formes de 'I' : _ /*! 'I'. . . . «^x ^ ~ V'\7 '''i'2.7 • • • '«'.'/kV Enfin il est évidentque si les substitutions 7 et ;/' conduisent aux substitutions y et y' entre les i>, la substitution gg' conduira à la substitution yy- Si doncon considère le systèmedes substitutions y, le produit de deux substitutions du système appartient au système, c'est-à-dire que les subslilulions •; forment un groupe V. Soit maintenant y une substitution quelconque de T; nous sa- vons qu'il existe une subslituiion 7 onlre les .»• (jui prodiiil outre les * la substitution y- Lorstiu'on donne la substitution 7, y '"'^t <-lé- GROÎ'PKS DE Sl'MSTlTrTIONS 275 terminé d'une nuiiiit'ic uniciue; on l'sl-il de même [mui' / Itirsiiuun donne y ? Nous pouvons représcnler [>ar /.v/ toutes les substitutions du groupe G, 7 étant la substitution considérée; imaginons donc (jue la substitution kij produise sur la suit(> 'l> le même eflet que 7. On aura, pour clia(|ur valeur di' / cnmprisc entre 1 el À, lidenlité rraiislnrnions les deux membres [)ar la substitution .7~\7r' ; nous nblieiidr«>ns en remplaçant 77"' i»ar 1; d'où il résulte que, quel que soit /, la subslitution (iJojT^ appartient au sous-groupe H. L'égalité nJ^''jr^ = /< dunno d'ailleurs c'est-à-dire que k appartient au sous-groupe H; quel ([ue soit i; k est donc une substilulion du sous-groupe K formé de luulos les substitutions communes à llj, IL, . . ., H>,. Inversement, il esl clair que toute subslitution /.'de ce sous- groupe, n'altérant aucune des fonctions «i»,, l'o, . . ., -,., la substi- tution hi, 'l'o, ••., 'I\ le même ellet (pie la substitution 7. Supposons alors que le groupe K soit d'ordio r; l'ordre du groupe r des subslilulions entre les 'I' sera P le (juotient -• r 11 existe donc entre les groupes G et r une correspondance dé- finie de la manière suivante : l" A une substitution 7 de G correspond une suOstilution y de V. A une substitution y de V correspondent r substitutions de G; 2° Au produit ;j(j' de deux substitutions de G correspond le produit Yy' des substitutions correspondantes de V. Lorsque deux groupes G et r sont liés de telle sorte, on dit que r est isomorphe à G. L'isomorphisme est dit mériédrique lorsque le nombre r est différent de l'unité ; les deux groupes G et r sont alors d'ordre difïerent. Si au contraire on a r = 1, c'est-à-dire si les deux groupes ont le même ordre, l'isomorpliismc est appelé holoédrique ; la correspon- 276 ALGEBRE SUPERIEfRE danco onlrc r el, G est alors réciproque et l'on peut dire que G est isomorphe à 1". Cette définition étant donnée, revenons aux groupes G et r qui nous y ont conduit. A la substitution 1 de r correspondent évi- demment les r substitutions /.• ([ui constituent le groupe K formé des substitutions communes à Hi, Ho, . . . , H-^; aune substitu- tion Y quelconque de r correspondront de même les r substitutions distinctes (jk ou /.vy, dans lesquelles expressions k représente une substitution quelconque de K et çj une des substitutions de G qui correspond à ■[. Considérons un élément (juelconquc 'J\ do la suite '^i, 'I>2, . ., 'l'x', nous savons ([u'il existe une substitution 9^ qui, appliquée aux x, remplace *i par '\\. et que toutes les substitutions hg^^ ou g-j-gr^'/t^, produisent sur 'l'i le même eflet; il résulte alors des remarques pré- cédentes qu'il existe précisément — substitutions du groupe r qui T remplacent 'l'i par 'l»^, chacune d'entre elles correspondant à r subs- titutions entre les .r, de la forme kq. On on conclut d'une manière générale qu'?V existe toujours dans r, — subslitulions qui trans- forment fJ'g en 'i\, quels que soient les indices a et p. Supposons en particulier que H soit un sous-groupe invariant de G, le groupe K' coïncidera avec H el on l'aura r = q. A une substitution y de r correspondront donc les 7 substitutions '//( ; l'ordre du groupe r sera -1 c'est-à-dire précisément le nombre >. des fonctions *. On sait qu'un groupe de substitutions de À lettres et d'ordre X est appelé groupe no)inal. 70. Terminons ces généralités sur les grou[>os do substitutions on donnant (pii^hiucs théorèmes dont nous aurons jdus loin à fain^ usage. Les suhslilnfions communes à deux grouj)es G^ et G;, forment évidemment un groupe qui est le plus grand sous-groupe commun à Gti et G/,. Ceci s'étend à un nombre quelconque de groupes. Si en particulier on sTippose (juo 11,, II,., .... ll^ aient, en dehors de la substitution idcnliiiue, des substitutions communes, ces substitu- tions fornicrunl uugriiu[ii' K qui sera un sous-groupo invariant do G. (iROUPES DE SIBSTITITIONS 277 Ce sera donc aussi n fnrtlovi un sous-groupo invariant di^ Il ou d'un <|uelc(>nqu<' dos conjutrut's do H. Soil H un sous-gnuipo invariant do ("i ; I.i substitution ^^'//^ Irans- l'mint'o d'uno substitution de || par une substitution quolconque de (i appartient à II. On peut donc la représenter par /rès du même groupe H, forment un groupe G dont H est un sous- groupe invariant. Des relations ha = ah', hb = bh\ 278 ALGEBRE SUPERIEURE on déduit en effet hab = a.h'b — ah. h"', ce qui démontre que les substitutions o, 6, . . . forment un groupe G. Le groupe H est d'ail- leurs un sous-groupe invariant de G, car pour toute substitution a de G on a a-'ha = h'. J'ajoute que le rjroujie G esl le plus grand parmi ceux r/ui possèdent H comme sous-groupe invariant. Soit en effet G' le plus grand de ces groupes et g une substitution quelconque de G' ; on a g~^hg = h' ou hg = gh.h", d'où il résulte que g appartient à G. IV. — Théorèmes de Lagrange. 71. Nous sommes maintenant en mesure d'étudier d'une façon précise la classification en genres donnée plus haut pour les fonc- tions rationnelles de o^i, .zo, . . ., x„ et de mettre en évidence l'im- portance de cette classification. On observe immédiatement que toute fonction rationnelle des x à coefficients entiers est le quotient d'une fonction entière, à coefficients entiers, des mêmt>s lettres, par une fonction entière à coefficients entiers des fonctions symétri(|ues élémentaires p,, /îo, • • • j fn ; nous pouvons donc nous borner îi con- sidérer ici les fonctions entières des x, à coefficients entiers; les résultats obtenus s'étendront d'eux-mêmes aux fonctions ration- nelles. Rappelons d'abord quelques-uns des résultats acquis : Toute fonction entière des x à coefficients entiers est invariant caractéristique d'un certain groupe de substitutions des a\ Tout groupe de substitutions des x possède des invariants carac- téristiques entiers en a-,, xy, . . ., x„ et à coefficients entiers ; nous avons appris à en former. Si l'on considère un groupe G et l'un de ses sous-groupes H, d'in- dice >., tout invariant caractéristique «l» de H prend, par les diverses sul)slitulions de G, X formes distinctes «1>, = «j., *.. . ., *.^, qui sont les fonctions conjuguées de «J» dans le groupe G. Chacune de ces fonctions *a est un invariant caractéristiijue pour l'un des groupes conjugués de H dans G, groupe que nous avons désigné GROUPES DF SIRSTITITIONS 271) par H,. Enfin, los diverses subslilulions des x qui consliluenl le jzroupe (1 font éprouver aux «l» des subslilulions formanl un gmupc isumoiphe I' el ce irroupe r renferme toujours des substitutions (jui remplacent '!•, par *i, ([uel (|ue soit '1',. Nous nous proposons de rechercher h^s relations qui lient entre eux deux invariants caracléristi(}ues dun nn-me groupe ou de deux groupes ayant entre eux des rapports simples, tels qu'un groupe et un de ses sous-groupes, deux groupes conjugués, etc. On commen- cera par étudier les liaisons qui existent entre les invariants carac- li'ristiques du groupe symétrique et ceux d'un groupe quelconque, c'esl-à-dire entre les fonctions symétriques élémentaires pi, p.2, . . ., p„ et une fonction entière quelconque des x à coefficients entiers. Soit donc 'l» une fonction entière non symétrique des x, elle est pour un certain groupe (] un invariant caractéristique ; désignons par À l'indice de ce groupe dans le groupe symétrique, c'est-à-dire n! supposons que ce groupe renferme ^ substitutions distinctes; à la fonction '!> seront associées (X — 1) fonctions 'î'i, *3, . . . , 'l',,, qui s'en déduisent par toutes les substitutions des x, et les éléments de la suite •!>, = '!>, *.,, . . ., «l^ sont seulement échangés entre eux par lune de ces substitutions. Le produit (X — 'l'OiX — i»,) ... iX — *x) demeure alors inva- riable par toute substitution des x et par suite les coefficients des diverses puissances de X y sont des fonctions entières à coefficients entiers de ;),, p^, ..., p„. On conclut de là que les «P sont les racines d'une équation de degré X de la forme X"- _ A,X"^-> -h Ar-X"^-- d= A, = 0, où les A sont des fonctions entières des p, à coefficients entiers ; celte équation porte le nom de résolvante de Lagrange relative à la fonction *!>. Nous allons en signaler immédiatement des propriétés impor- tantes : Il est clair que si nous regardons les x comme des indéterminées., assujetties uniquement à satisfaire aux conditions nécessaires pour qu'on en puisse définir comme on l'a fail plus haut les fonctions entières à coefficients entiers, toute relation entière à coefficients entiers entre les éléments f^|, 'K 'K, P\, Pi-, ■ ■ -, Pn conduit à une identité en a,-,, Xi, . . ,, x,, quand on remplace ces éléments par 280 ALGEBRE SUPERIEURE leur expression à l'aide des x. Cette identité se transforme donc en une autre identité lorsqu'on effectue sur les x une substitution quelconque, et si Ton remarque que, les p étant des éléments invaria])les par ces transformations, les 'I' subissent les substitu- tions d'un groupe S isomorphe au groupe symétrique S, on pourra en conclure que toute rPÀation entière à coefficients entions en 'l'i, <ï'3, ..., '!*>,, Pi^ V^i ■••iP» ^^ transforme en une cadre relation également vf'rifiée par les mêmes éléments, lorsqu'on effectue sur les fl> une substitution quelconque du groupe 2. Si l'on considère en particulier les relations qui peuvent exister entre 'l'i et les fonctions symétriques élémentaires, on voit que chacune d'elles sera également satisfaite par *2, *!';! '!'>.. puis- qu'il existe dans le groupe ï des substitutions qui remplacent 'I», l)ar 'l'j, (juol que soit x. On conclut de là (juc la résolvante de Lagrange relative à la fonction ^ est irréductible, lorsque pi, p^, ...^p„ sont des indéterminées, c'est-à-dire dans le domaine naturel d'intégrité Toutes les relations entières ou rationnelles à coefficients entiers entre *i et les p sont donc des conséquences nécessaires de la relation *! — A.'I'T' -H A,*r» ± Ax = 0. Inversement, considérons une i'onclion entière à coefficients entiers des éléments *i, 'l'j, . . . , *i'x, Pi, P2 p„ et supposons qu'elle demeure invariable par toutes les substitutions du groupe I, on pourra on conclure que la fonction des x obtenue en rempla- çant ces éléments par leur expression à l'aide des x demeure inva- riable par toute substitution. Cette fonction s'exprime donc et d'une seule manière, à l'aide de pi, p,, . . ., ?J«, sous forme entière à coef- ficicnls entiers. Les invariants entiers du groupe ï 50??/ par consé- quent des fonctions entières des p à coefficients entiers, et cette propo- sition rapprochée des précédentes montre que : La résolvante de Lagrange relative à la fonction 'I' appartient , dans le domaine [Pii ^^2, . . . , Pli]-, à la classe particulière définie par le groupe ï. 72. Désignons maintcnani par 11 un scus-gruupe de G, d'indice n : [i, c est-à-dire un groupe d'ordre -- ^ par 'l un invariant caracté- ristique, toujours entier, de H, et proposons-nous do déterminer GROUPES DE SIRSTITITIONS 281 It's relations qui existent entre ;i ot nous dési|;noroiis pai' T*! — T> V-'i • • • 1 V;- li>s (livcrsfs Innclions conjupriiées do en faisant sur les x les mêmes substitutions, expressions parmi lesquelles d'ailleurs 1 seulement sont dislincles; il est clair que la fonction entière !/ — '^ y — % où l'on a posé E,il) = (y — >l,)(y — 'l,) ... iy-'l,), demeure invariable par toute substitution des x. On a donc idenli- qni'ment par rapport aux x et h y : y — 't'i y — '^9 le second membre étant un polynôme entier à coefficients entiers. Comme on a. d'antre part. %) = (î/-4'.)E'('i',) + j^(y-,:- _ Bi'V^-' + Bo'V^-- — ■ • • ± B^ = 0, dont les coefïicients sont des fonctions rationnelles de p,, p^. . . ., pn et d'un invariant caractéristique de G, par exemple ^\. Si l'on considère une relation entière quelconque à coedicients entiers entre -i/,, . . . , ^^, «t'i et les fonctions symétriques p p„ comme elle se transforme en identité lorsqu'on y remplace ces élé- ments par leur expression à l'aide des x, elle restera vraie quand on effectuera sur les x une substitution quelconque. Effectuons en particulier une substitution du groupe G; les éléments *i,;Ji p„ demeureront inaltérés et les <^ seront transformés par une substi- tution d'un groupe r, isomorphe à G; on en conclut que toute rela- tion entière à coefficients entiers entre O;,, . . ., 6.^, «I*, et les p demeure vraie lorS(/u'on effectue sur /es <\> une substitution du groupe r. En particulier toute relation de cette nature entre ^l,, *, et les p. QROÎPKS 1)K SrUSTITITIONS 283 sera égalomont vérifiée par -Vi, . . ., 'l.^, -' -h B.Y'^-' ± Bj, = 0 est irréduclifile dans le domaine •!•,, pi, Pi, . .,7^11], domaine formé par l'adjonclion au domaine naturel /;,, . ., p„^ d'une fonction algé- hricpn», 'I',, dos ;), délinie pai' la relation irréductible •l"; — A,'l-, ' ; • :± Ax = 0. Réciproquement, loulc Innctinn miirre à coedicients entiers de •l,, .... •l._,, 'l'i o( /',, . . , p„, (jui demeure inaltérée par les substitu- tions du groupe r, est également une fonction entière des x qui demeure inaltérée par toute substitution du groupe G, c'est-à-dire peut s'exprimer sous forme rationnelle à l'aide de 'I', et des p. On peut donc dire que Prquation \> — B.V^-'-h-dzB^ -0 (ipparlient dans le domaine [l'i, p^ ..., p„] à la classe particulière définie par le groupe V. Nous savons d'autre part que s rapports qui existent entre les groupes X,;, r et ï„, en désignant par S^ le groupe représenté jusqu'ici par ï ; nous nous bornerons à faire à ce sujet la remarque suivante : Si l'on représente par '},,_, (/ = 1, 2, . . ., \x) les diverses formes de ^ qui vérifient l'identité v;-_ B,('n>-' -f- •■• ± ^/> = 0, où les B' sont des fonctions rationnelles de 'l',, toule substilulion des 0.' qui laisse invariable 'I',- échange entre elles ces diverses formes et toute subslilution qui remplace 't>, par 'l'^, remplace aussi l'ensemble des éléments 'lij (j = 1, 2, ...,t^) par l'en- semble des éléments 'h/,. j (j = 1, 2, . . ., [jl). 73. Les résultats que nous venons d'acquérir ont été obtenus en supposant que les x ouïes p sont des indéterminées ; ils expri- ment, si l'on veut, des propriétés qui sont vraies pour l'ensemhle des équations qu'on obtient en fixant les jd ; mais ils ne sont pas applicables, du moins sans préparation, dans le cas où les p sont 284 ALGEBRE SUPERIEURE (lélorminés. II importo donc rie chercher comment ils doivent être modifiés et c'est ce qu'il est facile de trouver. Nous considérerons d'abord le théorc'me relatif à l'expression explicite d'une fonction «l», des x à l'aide d"une autre fonction 'l, et des p\ il est aisé de voir que ce théorème devient illusoire lorsque l'on a E'('j^,) = 0, c'esl-à-dire quand le discriminant D(/)j est nul. Nous allons montrer qu'il est toujours possible de choisir la fonc- tion entière ^^i de telle sorte que ce fait ne se présente pas, c'est-à- dire qu'// existe dans tout f/em^e, sous la condition unif^ue que les x soient distincts, des fonctions à discriminant non nul. Observons, dans ce bul, que le discriminant de 6,, c'est-à-dire le produit "[J(,i,._.v.,.) (i,z' = l,2,...,X) 0-,/=l,2, .. , (.), où l'on exclut les cas i = i', j=j', peut s'écrire à un facteur près sous (orme de déterminant do la manière suivante : Ajoutons aux éléments de la ligne do rang ,ul les éléments corres- pondants des (iJL — 1) lignes précédentes ; procédons de même pour toutes les lignes dont le rang est multiph^ de jjl, de telle sorte que la ligne de rang iij. devienne '^-,/.- ^ (•k.)^ i?.-,A- VklL On voit que les éléments do la ligne do rang j[jl sont dos invariants pour l'un des groupes conjugués de G dans le groupe symétrique; si l'on considère, par conséquent, l'oxprossion A— ii- Xl = Wî.^ -^LA + Wls^^l ('^'•' VU 2l^..AV^^ GROUPES DE SUBSTITUTInNS 285 OÙ les )n (li'siLriK^ul des mliors iiidétcrmiiiés, /i ost un iii\;iri;iiil (lu groupe Cl. Aduielloiis mainlenaul qu'ayaul \i\é les di'lermina- tions des ;>, on ail pu choisir rinvariaut caractéiisliquo '^/i du groupe H de telle sorte que son discriminaul ne soit pas nul ; il existe alors dos entiers m pour losqutds les expressions /i, ...,/;,. prennent des détorminalions disliuclos sans (juoi le déterminant écrit plus haut aurait des lignes idenli(iues c'est-à-dire serait nul, ce qui est contraire à riiy[)(illièse qu"on vient de l'aire. On en eouclut qu'on peut former un invariant caractéristiciuc /i, d'un gioupe (1 (|ui renferme 11, dont toutes les déterminations sinil distinctes. Mais tout groupe renferme la substitution identique et nous avons établi dans le eha[)itre précédent, <|ue si le discriminant des x est dill'érent de zéro on sait former des fonctions à n\ iovmes dont toutes les déterminations sont distinctes; nous savons donc former pour tout genre des fonctions à discriminant non nul. On déduit de là , en fonction de 'ii et des p^ en choisissant convenable- ment l'invariant caractéristique 'li. Passons maintenant aux théorèmes relatifs aux divers rapports qu'ont entre elles des fonctions entières des x, à coefficients entiers; on voit clairement que tous ces théorèmes sont des conséquences immédiates du fait ({ue toutes les relations que l'on peut former sont des identités en Xi, x-2, . . . , x,,, c'est-à-diro demeurent vraies quand on les transforme par les substitutions du groupe symétri(iue S. Nous savons qu'il n'en est plus toujours de même quand les p sont déterminés et que les seules substitutions qui transforment des relations vraies en relations également vraies sont les substitutions d'un certain groupe G, appelé groupe de l'équation a-" — 7},.r"-' + -- ±p„ = 0. Les théorèmes applicables ici sont donc ceux quti l'on a obtenus en introduisant explicitement dans le calcul, avec les fonctions symétriques élémentaires p,, pi, . . . p„, un invariant caractéris- tique, l»!, du groupe G. C'est ce qui sera exprimé d'une minière plus nette encore dans le cha[)ilr(> suivant. CHAPITRE VI LES GROUPES RÉSOLUBLES I. — La résolution algébrique des équations. 74 Etant donnée une équation algébrique entière irréductible f{x) = G, nous avons vu qu'elle définit 71 symboles et nous avons appris dans quelle mesure il était possible de distinguer ces symboles entre eux. Nous savons que, les notations étant fixées, les diverses substitu- tions permises entre les lettres Xi, a-,,. . ., a;„ sont précisément les substitutions d'un certain groupe, le groupe de l'équation; toutes les relations rationnelles entre les racines restent vérifiées lorsqu'on efTcctue sur elles une de ces substitutions, et toute autre substitu- tion les transforme en nouvelles relations incompatibles avec les anciennes. Les résultats obterms dans le chapitre pn-ciklent relativement aux liaisons qui existent entre les diverses fonctions rationnelles de n (''l(''nienls distincts, vont nous permettre de préciser les diverses méthodes que Ion peut employer pour parvenir à une expression explicite des x en intj'odnisant, dans le calcul, d'autres tiomlircs algc- Oriipies bien définis, c'est à-dire de traiter la (jnestion de la résolution algébrique des équations. Nous commencerons par examiner le cas où les nombres algé- bri(|ues, (|ue l'on intnxlnil (Kins \o calcul, s'expriment ralionnelle- monl il l'aide dos x, c'est-à-dire mi l'on ne fait appel (juà îles élé- ments pris dans le domaine de rationalité [Xi, a.%, . . ., x,,]. GROUPES RESOLUBLES 287 Désignons par (1 le groupe do ICqualion f{x) = 0, nous savons que si une fonction rationnelle o de x,,Xo, ..., j„ est un invariant caractérisli(iue d'un sous-groupe de G d'indice X, elle prend par les substitutions de G, X formes distinctes o„ o.,, . . , çx- Nous savons de plus que si les sous-groupes conjugués du sous- groupe donné ont en commun un sous-groupe (invariant dans G) d'ordre A', les substitutions opérées sur la suite lorsqu'on lui applique les diverses substitutions de G, forment un groupe r isomorphe à G, mais renfermant k fois moins de substitu- tions. Si A- est égal à l'unité, c'est-à-dire si les divers groupes conjugués n'ont en commun que la substitution identique, l'iso- morphisme est holoédrique, de sorte que l'indétermination des o est exactement de même nature que l'indéterminalion des x; de plus lorsqu'on fixe le sens des o, le sens des x se trouve lixé. Au contraire lorsque le nombre k est supérieur à 1, l'indétermination des Y est de nature plus simple que l'indétermination des x, mais, d'autre part, lorsqu'on iixe le sens des o, les x ne se trouvent pas absolument déterminés, vu que l'on peut encore effectuer sur eux les substitutions d'un groupe d'ordre A-. D'une manière plus précise, si la fonclion o est choisie de telle sorte que ses diverses formes prennent des déterminations dis- tinctes, l'ensemble des relations rationnelles entre les o demeure invariable par toutes les substitutions d'un groupe r isomorphe à G, isomorphe holoédriquement lorsque k est égal à 1, mériédrique- ment dans le cas contraire. On peut encore dire que les o sont les racines d'une équation irréductible à coefficients entiers dont le groupe est précisément r. Si Ton considère l'ensemble des relations rationnelles entre les o et les X, cet ensemble varie par toute substitution des x ou des o, et conduit à des relations incompatibles avec les premières lorsque A- est l'unité ; il demeure invariable par les substitutions des x qui appartiennent à un groupe K d'ordre A, lorsque k est dillerent de l'unité, mais il varie toujours par toute substitution des o. Dans le premier cas les x peuvent s'exprimer rationnellement à l'aide des o; dans le sec(jnd ils son! racines d'une t'Mjualion irréductible dans le domaine ,0,, o,, ..., o-^j et qui appartient dans ce domaine à la classe définie par le groupe K. 288 AL(JÈBRE SUPÉRIEURE 75. J'Aamirioiis mainlenant le cas général où Ton introduit dans le calcul dos nombres algébriques quelconques , définis par une équation irréductible h(y) = 0, n'ayant a priori aucune relation avec Tcquation donnée g{x) = 0. Xous avons vu qu'étant données deux équations irréductibles g{x) = 0, h(y) = 0, de degrés m et n, dont nous désignons les racines par Xi, x^, . . . , Xm\ Vil î/2i • • • : Î/'M il correspond à chacune de ces équations un groupe, le premier de degré //<, le second de degré n; nous savons obtenir ces groupes, à l'aide de la résolvante de Galois de chaque équation. Si nous considérons à la fois les symboles x et les symboles ?/, il est clair que^ pour savoir quelle est l'indétermi- nation de l'ensemble de ces symboles, il nous suffit de former la résolvante générale du système Ti = hi, . . ., T^, = bj„ et d'étudier cette résolvante; on retombe ainsi sur un problème posé dans le chapitre IV et dont nous allons mainlenant approfondir la solution. Nous observerons immédiatement que la résolvante con- sidérée est aussi celle du système (jifon obtient en écrivant les relations entre les coefficients et les racines de l'équation rcdiiciible g{z)lt{z) = 0. Si nous désignons par r le groupe des substitutions des x et des y (jui n'altèrent point l'ensemble des relations rationnelles entre ces symboles, il sera par conséquent légitime d'étendre la définition donnée plus haut du groupe d'une équation et de dire que r c^l le groupe de l'équatton réduclih/c g(z).h{z) = 0. Dailbnu's il est l)icii évident ([uc luutos les substitutions du groupe r de degré m -h p que l'on obtient ainsi, devant laisser invariantes toutes les relations rationnelles entre a"i, Xo, ...,x,„, j/i, î/2, . ., ?/^„ devront se borner à échanger les x entre eux et les y (Milrc eux, car ces relations rationnelles conduisent aux identités en X cl (/ : GROUPES RKSOLIBLES 289 ç,{x) = [x — x,){x - .r.) ... [x — x,„) , ^' .'/) = (.y — i/iV,7 — Ui) ■ ■ (,'/ — ?/ J • Le irroiipc r csl dil itilransilif car il ne renfeiiiK^ par exemple aucune subsliluliun qui remplace a-, pai' y,; «ui a|)p('lle au eun- Iraire ^'roupe /?y/h,s-////" un groupe dans lecpu-l se Irouvc au moins une subslilulion remplaçant une lettre donnée, mais quelconque, par une Iftlrc quelconque. Nous venons de voir ([ue le yrou^je (Tune équation réductible est inlransitif; réciproquement, si le groupe d'une é(/uation est 'nilramitif, icqualiun est réductible; il est en ellel aisé de voir i\w dans ce cas les racines de Téquation se partagent en plusieurs séries telles que les substitutions du groupe échangent entre elles les racines d'une même série ; dès lors il est clair que les fonctions symétriques des racines de Tune quelconque de ces séries sont invariables par les substitutions du groupe et i)ar suite ration- nelles; donc ré(iualion est réductible. De ces deux propositions, il résulte que la délinition donnée plus haut du groupe d'une équation réductible, ne peut donner lieu à aucune contradiction. Revenons au groupe l" de ré({ualiou çj[z)h{z) = Q, et soient G et H les groui>es des deux équations fj{,x) == 0, hijj) = 0 ; nous désignerons d'une manière générale par les lettres y^ 9^ h, affectées d'indices, des substitutions appartenant aux groupes r, G, 11. Je dis d'abord que toute subslilulion y est de la forme gh, c'est- à-dire que toute substitution de r revient à une certaine substitu- tion de G, accompagné(urunc certaine substitution de 11. En elle t, nous savons déjà que la substitution y échange d'une part les x entre eux, et d'autre part les y entre eux ; on peut donc poser Y = ;•/), la substitution ; déplaçant seulement les x et la substi- tution r, seulement les y. Nous savons que la substitution y pos- sède la propriété do laisser invariante toule fonction des x et des y qui est égale à un nombre rationnel ; si nous considérons en parti- culier une fonction o des x seuls qui possède cette propriété, on a ?ï = ? ; THÉORIE DES .NOMBRES 19 290 ALGEBRE SUPERIEURE mais la subslilulion t, ne déplaçant que les y et 9 ne dépendant que des .r, on a aussi ' _ j, _ j . donc Ci? = o, et par suite la subslilulion ; appartient au groupe G de l'équation qui admet les x pour racines ; on verrait de même que T; appartient au groupe H ; on a donc y = gh. Soit i = (jK une autre substitution de l' ; on a yf ^= ghg' h' ^ gg' . hh ^ car les substitutions g' et h déplaçant des lettres différentes sont échan- geables. Nous pouvons dire que celle relation établit entre les grou- pes G et H un isomorphismc doublement mériédrique \ voici ce que nous devons entendre par là : faisons correspondre à une substi- tution g àe G toutes les substitutions h telles que gh soit une substitution de r et de même à une substitution A de H toutes les substitutions g telles (jue gh appartienne à r ; il est clair d'après ce qui précède, que si g et h se correspondent ainsi et aussi g' et h', gg' correspond à hh'. Il est d'ailleurs possible d'établir une telle correspondance entre deux groupes quelconques ; il suflit en effet de faire correspondre à chaque substitution de l'un d'eux toutes les substitutions de l'autre. Si ce cas se présente ici, les substitutions de r sont toutes les subs- titutions de la forme gh ; donc si l'on suppose que les y soient fixés, c'est-à-dire si l'on considère les substitutions de r qui ne déplacent pas les y, elles sont de la forme ^.1, g étant une subs- titution quelconque de G : l'indétermination des x est donc la même que si l'on considérait à part Téqualion g{x] = 0. Dans ce cas, l'introduction dans le calcul des symboles x et des symboles y peut se faire d'une façon complètement indépendante. On remar- quera que l'ordre du groupe r est égal au produit des groupes G et II ; nous verrons tout à l'heure que cette circonstance caractérise le cas que nous venons d'étudier. 76. Supposons maintenant que la correspondance dont il a été question entre les groupes G et H soit telle, qu'à la substitution identique de h correspondent seulement un certain nombre de subs- titutions de G ; il est d'abord clair que ces substitutions forment un groupe, car 1(> produit de deux d'enlrt^ clli's correspond au pro- duit de la substitution identique par elle-m«"'me. Je dis que de plus ce groupe est un sous-groupe invariant de G ; on peut dire (jut- liRorPES HKSnLriîl.lOS -2\)\ cela résullc iiuiucdiatcmriil ilr ce (luc la subsliluliuu ideuli(iiie est un sous-groupe invariant de 11 ; on peut aussi le démontrer ainsi : soit 7.1 une subslilulion do P, 7' une subslilulion <[uelcon(iue do (i. Je dis d'abord «lu'il existe dans r une substitution au moins de la forme i/'h; il est clair en ellel ([ue si dans les substitutions de I' on supiirime tout ce (jui est relalit aux 1/, on doit n-lrouver le groupe (.i. Or on a (.'//').i:/.iji^/'r' = yV/~'-i; donc ,7',7.7'~' appartient au sous-groupe considéré ; ce sous- groupe K est donc invariant dans G. Désignons par X son indice el par p et y les ordres des groupes G et H, le groupe K est d'ordre /• = — ; je dis qu'il y a dans le groupe r précisément r substitutions de la l'orme yh, h désignant une substitution déter- minée de H. En elfct, soit (j'h celle des substitutions de cette forme dont nous avons démontré l'existence et (jh une autre quelconque de la même forme ; la substitution appartient à r; elle est de la forme (jg'~\l ; donc 7'^"' ap- partient au groupe K et l'on a ^ = /.g', /. désignant une cer- taine substitution de K. Il est clair d'ailleurs que /- étant une substitution quelcon(iue do K el la substitution ;/'li appartenant au groupe r, il en est de mémo de la substitution (X.l)(^'/i)=/-.J/'./i. On obtient donc toutes les substitutions de la forme gh on multi- pliant l'une d'entre elles successivement par les r substitutions de K et on obtient ainsi /■ suljslilutions distinctes. L'ordre du groupe r est dune r.rj =. ^- • Nous arrivons ainsi à cette conclusion que si dans le groupe r la substitution identique du groupe H se trouve associée avec les substitutions du groupe G formant un sous-groupe invariant K PQ d'indice X, l'ordre de r est d'indice h^- Il est clair ([w la réci- A proque de celte proposition est vraie, c'est-à-dire que si Itjrdre de r est -^, il correspond à la substitution identique de il un sous-groupe invariant d'indice À dans G; do [)lus il correspond de 292 ALGÊBRK SrPÉRIEIRE mi'me à la substitution identique de G un sous-groupe invariant d'indice À dans II. 77. ^ous sommes maintenant en mesure de préciser l'intluence produite sur le calcul des symjjoles x par Tinlroduction des sym- boles î/, ou mieux, en quoi le calcul simultané des symboles x oA y diffère du calcul séparé de chacune de ces séries de symboles. Pour con/îa?/?r le calcul des symboles x, il nous est nécessaire de former une table de structure du groupe (infini et commutalif) que constituent ces symboles et leurs fonctions entières, vis-à-vis des deux modes de composition connus : addition et multiplication. Nous savons que si nous fixons les notations d'une manière arbi- traire, mais précise, il subsistera encore dans cette table une cer- taine symétrie, précisément indiquée par le groupe G deVéquation^ c'est-à-dire que les substituti(jns de ce groupe pourront être effec- tuées sans rien altérer. Il en est de même pour ce qui concerne les y et le groupe H. Mais si Ton considère simultanément les x et les ?/, il ne sera pas permis d'elfectuer séparément sur les x les opérations du groupe G et sur les y les opérations du groupe H ; les seules substitutions permises sont en effet, par définition, les substitutions du groupe r. Si d'ailleurs nous convenons de fixer les symboles y, c'est-à-dire de renoncer à les permuter entre eux, les seules substitutions permises seront les substitutions du groupe r qui n'altèrent pas les //, c'est-à-dire les substitutions du groupe K. Nous exprimerons ce fait en disant que par Vadjonction des y le groupe G de l'équation g[x) = 0 est réduit à son sous-groupe invariant K. L'étude du groupe r, laquelle comprend celle du groupe G comme cas particulier, se ramène d'après ce qui précède à l'êtudo successive des groupes H et K ; c'est-à-dire que lors- f[u"ou a étudié l'équation h{y) = 0, l'étude de l'équation g[x) = 0 ne dépend plus que du groupe K, et non plus du groupe G. A un autre point de vue, on peut dire que le fait de considérer comme connues les racines de l'équation irréductible h',y) réduit le groupe de y{x) à un de ses sous-groupes {invai'iant) d'indice X ; il est d'ailleurs clair, à cause de la symétrie de tout ce qui précède, que, réciproiiuemenl, Vadjonction dos racines de yix) réduirait le groupe de h[y) à un de ses sous-groupes invariants d'indice X. On a vu d'ailleurs, ([u'èlanl dnnni' un sous-groupe invariant K GHOIPKS RKSOM HI.KS 293 diiulici' A (iii ^rniipc fi d'uiK' tMiualinii (iniint^i', il ost litujours pos- sil)lt' (le lainonor rélmli' du groupe de l'équation à l'élude de ce sous-groupe et d'un auln* groupe d'ordre )> ; si nous désignons en ellVl par '■^ un invariani caraelt'risli(|ue de ce sous-groupe, cel inva- riant earacléris(i([ue prend par les suljslilulions de (î, X formes distinctes ^pi, 'fî, ..., Çx et si l'on applique à ces X fonctions toutes les substitutions de (J on obtient seulement X permutations dillé- rentes , c'est-à-dire qu'il correspond à ces fonctions un groupe d'ordre X. Si d'ailleurs on fixe l'une de ces permutations, les seules substiluliiius permises sur les lettres a-i, x*, ..., Xn sont les substi- tutions du groupe K. On a ainsi ramené l'étude du groupe G à l'étude du groupe K et dun groupe rFordre X. Ainsi loH(e réduction du groupe oô tenue par Vndjoncthm des racines d'une équation irréductible iiuelconcpie peut être obtenue aussi par r adjonction d'une certaine fonction rationnelle des racines de l'équation donnée. D'ailleurs une telle réduction n'est possible que si le groupe G admet un sous-groupe invariant ; nous avons vu en effet que si des fonctions conjuguées sont des invariants caractéristiques dégroupas n'ayant en commun que la substitution identique, le groupe des substitutions possibles sur les indices de ces fonctions est holoé- driquement isomorphe au groupe G. Ainsi do quelque manière que l'on opère, que l'on cherche à intro- duire dans le calcul des nombres algébriques quelconques (*), ou bien seulement des fonctions rationnelles des racines, on ne peut espérer une réduction ou pour mieux dire, une décomposition de l'étude du groupe d'une é(iualion donnée, que si ce groupe admet un sous-groupe invariant. D'ailleurs si un groupe admet un sous- groupe invariant, nous avons déjà vu que son étude se ramène à l'étude de deux groupes plus simples, dont l'ordre a pour produit l'ordre du groupe donné. Nous approfondirons dans le chapitre suivant certaines des ques- tions algébriques qui se rattachent à cette décomposition du groupe ; nous allons l'étudier ici en nous plaçant uniquement au point de vue (*) 11 est clair cfiie, du moment qu'il s'agit ici de résoudre une équation, c'est- à-dire de distinguer le plus possible entre les symboles qu'elle définit, il ne peut être question d'introduire une racine dune équation irréductible sans les intro- duire toutes comme nous pouvions le l'aire dans l'étude d'un domaine algébrique. 294 ALGÈBRE SUPÉRIEURE de la théorie des substil niions ; d'ailleurs^ an point di' vue purement abstrait, nous aurons ainsi complètement traité le problème de la résolution des équations, c'est-à-dire de l'élude des symboles qu'elles définissent. Nous aurons en effet analysé autant qu'il est possible de le faire la nature de l'indétermination qui subsiste dans la définition de ces symboles, indétermination représentée par le groupe. II. — Décomposition d'un groupe. 78. Soit G un groupe composé, c'est-à-dire un groupe admettant au moins un sous-groupe invariant (un groupe non composé est dit simple) et soit II un sous-groupe invariant de G. Supposons qu'il n'existe aucun sous-groupe invariant de G renfermant toutes les substitutions de H et différent de H ; nous dirons que H est un sous-groupe invariant maximum de G ; on remarque que cela ne veut pas dire que G n'a pas de sous-groupe invariant d'ordre supé- rieur à H, mais simplement qu'il n'a pas de sous-groupe invariant d'ordre supérieur à II et comprenant H. Il est clair d'ailleurs que si H n'est pas un sous-groupe invariant maximum do G, il existe un sous-groupe invariant de G compre- nant H et admettant II comme sous-groupe invariant maximum; il est donc possible de former une suite de groupes G, Gi, G,, ... , Ga, h, tels que chacun d'eux soit sous-groupe invariant maximum du pré- cédent. Lorsqu'on a une suite de groupes , G, Gi, Gi, ... , G„, 1, commençant par un groupe G, se terminant à la substitution identique et telle que chaque groupe soit un sous-groupe invariant maximum du précédent, on dit que cette suite est une suite de com- position de G. Tout groupe composé a une ou plusieurs suites de composition, et il résulte de ce qui précède que II étant un sous- groupe invariant quelcnnqun de G, il y a une suite de composition de G qui compn^id le groupe II. Soit (1) G, H, I. J, ..., M, l c.HoiPKS HKSoi.i i:i,Ks ^2;)") iino suili' (11' ciinipositidii de Ci ; (Irsij^nons par X liiulico île II chms G, par ;jt rindico de I dans II, ..., par p rindic»' do la subslitu- tion idonliquc dans M (c'est-à-dire l'ordre de M) ; les nombres X, u, ... , p sont dits les facteurs de composition de G, relatifs à la suite fl). Nous pouvons énoncer à leur égard la proposition sui- vante : Ijirsfjii'on passe d'une des suites de composition (Tun ,,, 0 ne dépendant que de a et p. On a donc giha.Qfih = r/ô-hdha'h ou encore (iJia.rf'Jh, — ihJh- On a ainsi défini une composition des Hunes de G, puisqu'une subs- titution quelconque de la ligne g^ composée avec une substitution 296 ALGÈBRE SUPERIEURE qiK'lcoiiqno (lo la ligne fj,. donno toujours uno siibsliluUon de la ligne r/j. Soit op. a Tune quelconque des substitutions de la ligne gji, la multiplication des opérations ainsi définies est associative, c'est-à- dire ((ue pour obtenir op. y.X op. ^ X op.Y il sufïlt d'efroclucr op. a X op. 3, ce qui donne op.o, puis la nouvelle multiplication op. 0 X op. Y- Enfin, parmi les opérations considérées il y en a une qui n'a au- cun effet, c'est l'opération qui correspond à la ligne hx = 1 , /î2, . . . , ^p. Ce sera l'opération identique du système. Nous avons donc défini un système d'opérations, jouissant des propriétés suivantes : 1° Par un moyen de composition quelconque (multiplication) on passe d'une manière uniforme de deux opérations du système à une au- tre opération du système ; 2° La multiplication des opérations est associative ; 3° Une même opération composée avec des opérations différentes donne des opérations différentes. Nous savons que dans ce cas on dit que ces opérations forment un groupe (§ 5) et que les propriétés principales des groupes de subs- titutions s'étendent à de tels systèmes. Nous désignerons ce groupe par G|H et nous l'appellerons quo- tient de G par H. 79. Deux substitutions de G seront dites équivalentes lorsqu'on passe de l'une à l'autre en la multipliant par une substitution de H. Grâce au fait que H est un sous-groupe invariant, on a gjh = h,.g^ , c'est-à-diro qu'on n'a pas besoin de spécifier dans la définition si on multiplie à droite ou à gauche. Il en résulte d'abord que récpiiva- Icnce est réciproque, et ensuite que le produit de deux substitutions équivalentes est encore une substitution équivalente à ces dcux-là. Les substitutions de G sont ainsi partagées en classes de snhstilu- (io7is équivalentes. GROIPES RKSOI.l MLKS '297 Aux sulislitulinns ^/i,, i/li, .... <|h^. do 11 corrospond niic mr-mo opération du groupe (ropéralions (î|ll; co nouveau groupe est donc isoviorphe mériédriqucmeiit nu premier. Si le groupe (i|ll ne renferme pas dans ses opérations toulos les classes de G, les substitutions des classes qu'il contient fornnui un sous-groupo invariant H' de G. Ce sous-groupe contient le groupe II, car les subslilulions de H donnent Topéralion identique qui appartient à (i|ll. Si H est un sous-groupe invariant maximum de G il n'y a pas de groupe tel que H' ; le groupe d'opérations G|H ne peut avoir de sous-groupe invariant, sans quoi on en déduirait un groupe H'; donc il est simple Enfin ajoutons que Tordre de G est le produit des ordres de II et de G|H et que le gioupe G|H est précisément isomorphe au groupe d'ordre X dont il a été question plus haut. Si maintenant nous considérons un groupe G et une suite de com- position de ce groupe G, H, 1, .1, K, ..., M, 1, à cette suite correspond un ensemble de groupes d'opérations G|H, II I I, qui sont tous simples. On appelle ces groupes, groupes facteurs du groupe G ; leurs ordres sont précisément les entiers que nous avons appelés précédemment facteurs de composition de G. 80. La suite des groupes facteurs est seulement permutée lorsqu'on passe d'une des suites de composition de G à une autre. Supposons en efîet que G possède deux sous-groupes invariants maxima H et H'. Les substitutions communes k H et H' forment un groupe r, et comme la transformée d'une substitution de V par une substitution quelconque de G appartient à la fois à H et à H', r est un sous- groupe invariant de G, H et H'. Soient maintenant a el ô des substitutions quelconques de il et de H' H = [a, «', a", . .], IV = [h, //, b", ...], et c une substitution (iuelc(jnque de G. Si on combine les subsli- 298 ALGEBRE SUPERIEURE lui ions a, a', ... avec les substitutions ^, //, ... de toutes les ma- nières possibles, on obtient un groupe (pii est contenu dans G et qui contient H et H'. D'ailleurs la transformée d'une substitution a.h.d.b' par la substitution c peut s'écrire forme sous laquelle on reconnaît qu'elle appartient encore au groupe précédent. Ce groupe est donc un sous-groupe invariant de G qui doit renfermer H et H' ; ce ne peut être que le groupe G lui- même. Lo groupe G se partage d'ailleurs en classes de substitutions équivalentes qui dérivent l'une de l'autre par une substitution de r. Si nous considérons ensuite les groupes H et H' qui contiennent r, ils contiendront entièrement cliaque classe de substitutions dont ils contiennent une partie ; donc H et H' sont aussi partagés en classes de la même manière. Les opérations qui composent entre elles ces classes forment donc des groupes G|l\ H|r, H'|r; nous les appellerons Gj, H^, H„. On sait qu'ils sont respectivement isomorphes à G, H, H' ; on peut en déduire que Gq est engendré par ll^ et li;, (jui sont deux de ses sous-groupes invariants maxima. D'ailleurs comme II et H' ont en commun l', H,, et Ho auront en commun la seule opération identique. Soient S, Si, S2, ... les opérations de Hq, T, T,, T.. ... celles de Il'o. Le produit T-*S-*TS peut s'écrire d'une part (T-'S-»T)S, et d'autre part T~'(S~'TS), en vertu de la propriété associative de la multiplication. Il appartient donc à la fois à W^ et à Hq et par conséquent c'est l'opération identi(iue de (i^, d'où TS = ST : Les opérations S e< T sont échangeables. Toutes les opérations de G^ peuvent alors se mettre d'une ma- nière et d'une seule sous la forme SaT^j. En effet, une relation de la forme Sa 1 g = Sj' Ig' donne S.-'S, = T,.T-' , ce qui montre que ces deux opérations, communes à 11^, et II[,, se réduisent à l'opération identique. Donc a' - a, p' = p. «^.ROIPKS RKSOLUBLKS 29'.) I/twprossion S,Tj roprésonto drtiic une fois o[ iino fois soulomonl chiKiiio op»''ralii>ii »lt^ d^. I.a ciiinpi>sili<»ii de ces opôralions osl nia- nil'fslt' : (S,T,)(S,.T,.) = (S.S..)(T,T,.). Les opérations de G^ se partagent ainsi nalurclli'nn'ul en classes, lellt^s i|iie deux opérations d'une même classe ne didV'rent (|ue pai' l'opération S de 11^,. Chacune de ces classes est donc caractéris(''e par une opération T, et le groupe de classes ainsi formé G„|ilo est identique avec le groupe H(, formé des opih'ations T. On verrait de même que G^IHo est identique à ll^. On dit quelquefois que Gq est le produit des groupes Gylll^^ et l\g, c'est-à-dire de Hg et HJ, ; celte dénomination se comprend (relle-m<''me. Nous venons de partager en classes les opérations de G^, c'est-à- dire les classes de première espèce de G relatives à F ; cette division peut (''trc faite directement. Deux opérations do G^ seront d'une même classe si elles ne diffèrent que par une opération de II,, ; donc deux substitutions de G seront d'une même classe de seconde espèce si elles ne diflèrent que par une substitution de H, c'est-à-dire si l'on a Ce = nCj. On déduit de là CgCj-* = a, c'est-à-dire que Cç.r^~^ appartient à H. Il résulte de là que GJlIo est identique à G|1I ; mais on a dé- montré que GçlHu est holoédriqucment isomorphe à H^, c'est-à- dire H'|r ; on peut donc en conclure que (i|ll est isomorphe ho- loédriguement à \\'\T et énoncer le résultat suivant : Si un groupe G possède deux sous-rp'oupes invariants maxima II et H', si r est leur plus grand commun diviseur, G | II et G | II' sont respectivement isomorphes holoédriquement à II' | r et II | r, e/ G | F est le PRODUIT de II | F et H' | F. D'ailleurs il est clair que F est un sous-groupe invariant maximum de H et de H'; nous venons de voir en effet que H'IF et H|r sont holoédriquement isomorphes à G|II et (i'|H ; ce sont donc des groupes simples ; or, il est clair que c'est là la condition pour que F soit un sous-groupe invariant maximum de H' et de II. 300 ALGÈBRE SUPÉRIEURE 81. La démonslralioii de intlro proposition : La suite des groupes fadeurs est seulement permutée lorsqii'on passe d'une suite de composition à une autre est maiiiloiiaiit immédiate. Supposons le théorème vrai pour les groupes d'ordre inférieur ou égal à N (il est évident pour les groupes d'ordre assez petit, 4 ou 2 par exemple). Nous allons le démontrer pour les groupes d'ordre au plus égal à 2N. Soit G un groupe d'ordre au plus égal à 2N, (1) et (2) deux suites de composition de ce groupe : (1) G, II, I, J, ..., M,1, (2) G, II', 1', J', ..., M', 1. Nous supposons évidemment H et H' différents, sans quoi on commencerait à I et I' ; soit r leur plus grand sous-groupe com- mun. On peut former les deux suites (3) G, M, r, .. , 1, (4) G, H', r, ..., 1, où l'on a iniroduit r et qui sont des suites de composition de G supposées identiques à partir de l\ D'ailleurs le théorème démontré précédemment fait voir qu'elles sont formées des mêmes groupes facteurs, puisque G I II est isomorphe holoédriquement à H' | r et G I H' — — II I V. Considérons maintenant les suites H, I, J, ..., 1, H, r, . .., 1; l'ordre de II étant évidemment inférieur ou égal à N, ces deux suites contiennent les mêmes groupes facteurs, donc (1) et (3) conduisent au même ensemble pour ces groupes. De même (2) et (4) conduisent également au même ensemble. 11 en résulte que (1) et (2) donnent lieu aux mê'mes groupes fac•l^^ur^ pris dans un ordre diflérent. 82. Nous voyons ainsi que l'étude d'un groupe quelconque se ramène ù l'étude d'un cerlain nombre de groupes simples, ses r.ROUPES RKSOLUni.KS ;{l)l 'iroupca fucti'tirs ; (railli'Uis un nhlicnl les in^'iucs LMoupos riicli-iirs, <|U('l <|tio soit lo procédé que l'on suive pour li-s lurmer. Oe plus un sous-gr<>ui)e invariant ([uelcontiue faisant partie d'une suite de composition du groupe, on voit qu'il n'est [las possible d'obtenir dautr"' décomposiliiMi du piubli nu' i[ue celte décomposition en grou[ies facteurs ; seulement si l'on ne considère pas un sous- groupe invariant maximum, plusieurs de ces groupes facteurs se trouvent encore multipliés entre eux : la décomposition csl incom- plète. Le problème de la résolution dos équations se ramène ainsi aux deux problèmes suivants : décomposer un groupe en groupes fac- teurs ; étudier les groupes shnjjles. ISous éLudii'rons d'abord, sans d'ailleurs l'approfondir, le second de ces problèmes, car il est indis- pensable d'avoir étudié les groupes de substitutions pour pouvoir décomposer en facteurs des groupes donnés ; de plus, nous ap- prendrons ainsi à connaître une classe parliculièremont intéres- sante de groupes simples, les groupes cycliques, dont la structure est intuitive et qui sont à peu près les seuls groupes simples pour lesquels il en est ainsi. IS'ous pourrons alors, au lieu do consi- dérations générales sur la décomposition d'un groupe en facteurs, étudier des problèmes particuliers, par exemple le suivant : à quelles conditions un groupe admet-il uniquement des groupes cycliques comme facteurs ? et nous le résoudrons dans des cas assez étendus. III. — Groupes particuliers. 83. Dans le paragrapbc précédent nous nous sonmies uniquement occupés de la structure des groupes au point de vue abstrait, c'est-à-dire sans nous inquiéter de la nature intime des substitutions qui les composent; nous allons maintenant étudier quelques groupes dont la structure, particulièr(nnent simple, dérive facilement do la Connaissance des substitutions qui les composent. riappelons que nous avons appelé groupe transitif un groupe tel qu'étant donné deux indices (iuelcùn(|ues a (H fi, il renferme une substitution qui remplace a par p. Il résulte immédiatement de cette délinilion que tout sous-groupe invariant d'un groupe transitif, ou 302 ALGÈBRE SUl'EKIEURE bien se réduit à In subslilulion idenlUjiie, ou bien déplace tous les indices. En cfret, s'il déplace un indice a, il déplace un autre indice (|ii('lconque [J ; car si s est la substitution qui déplace y., la trans- formée de s par la substitution l du groupe transitif (\m rem- place a par p, déplacera ^ ; or cette transformée est une substitu- tion du sous-groupe, puisque celui-ci est un sous-groupe inva- riant. Supposions qu'un sous-groupe invariant d'un groupe transitif soit intransitif et soient a, j3, 7, ..., À et a,, ji,, ..., )., deux des séries d'indices que ce sous-groupe intransitif échange entre eux ; l'une des substitutions de ce sous-groupe renferme par exemple le cycle (a, [i, y) ; transformons-la par une substitution t du groupe transitif donné qui remplace apar a,. La substitution transformée ren- fermera un cycle de la forme (a,, f;', 7', ; or, par hypothèse, cette substitution appartient au groupe intransitif, et les substitutions de ce groupe ne peuvent remplacer a, que parles indices Pi, 7,, ..., Àj ; nous pouvons donc supposer que l'on a ?' = ?i et 7' = 7,, c'est-à-dire que la substitution t remplace dans a, p, 7 respective- ment par a,, pi, 7i. Considérons maintenant une substitution du groupe intransitif qui échange la lettre p avec d'autres lettres que a et 7, par exemple avec 0, on verra en la transformant par la substitution t que cette substitution remplace 3 par une des lettres 0,, £1, ... , À,, par exemple par o,, et en continuant de même on verra ([ue la substitution t qui remplace a par a, remplace toutes les lettres a, j3, 7, ... , À par les lettres a,, |3,, ... , ),i. ^'ûus en concluons d'abord que le nombre des lettres de ces deux séries est le même ; de plus, ce raisonnement s'étend évidemment au cas où il y a plusieurs systèmes «, [î- T >^ 0(1. 3.. Yi À.. a,M P/i '■»' tels que le sous-groupe intransilif échange seulement entre eux les lettres de l'un des systèmes. Nous dirons que le groupe proposé est imprimitif et que ces divers systèmes de lettres sont les systèmes d'imprimilivité du groupe ; on voit ([ue toute substitution t de ce groupe ne peut iiroduiic qui' les deux ell'els suivants : permuter en- GHiH l'KS HKSDLIbLES " MOH tii.' t'ux li's imliccs di' cli;icuii dos systèmos iriiMiuiiiiilivili'' cl pei- imili'i' ces syslt'UK.'S ende eux. Ilûciprocjucmoul. (oui gioui)e Iran- >ilircl impiimilif adinol ui» soiis-^MOupo invariaiil inlransilif ; c'est le sous-grou[)e l'ormé dos siibslilutioiis (|ui lu' pormuleiil pas oiilrc eux les divers syslèmes diiniiiiiniliviltj : il [mmiI d'ailleurs se ré- duire à la subslilulion id('nlii[uo. C'osI im-nie ce deruier cas qui se pri'seiilera iiécossaironioul lors([U(! le degré du groupe esl un iiom- liri' pi-omior, car alors les divers syslèmes d'imprimitivité ne peu- vi'iii ronfermer qu'une seule lellre. Donc tout sous-groupe invariant d'un fjroupe transitif de degré premier, ou bien est transitif, ou bien ■>e réduit à la substitution identique. 84. Nous démonlreruns enlin sur les groui>es Iransilifs la propo- silion iniiiorlante qui suil : Cordre de tout groupe transitif est un nuilii/ile de son degré. Soil en ellet G un groupe transitif de degré quelconque ?/<, entre les lettres .^1,0:0, ...,x,„. On peut partager les substitutions de G en 7n classes en rangeant dans la /c''""' classe celles qui rempla- cent Xi par Xh (celles de la [jr^mière classe laissant Xi invariable). Il existe des subslituticjns dans chaque classe; dans les m — 1 dernières, parce que le groupe est transitif; dans la première, parce ({uc la subs(iluli(jn identique fait partie de tout groupe. D'autre part il est clair que si S/^ désigne une substitution déterminée de la A;"'"" classe, on obtient toutes les substitutions de la première classe, et chacune une fois seulement, en multipliant par s^' toutes les substitutions de la /c"""' classe. Il en résulte que chaque classe renferme le même nondjre de substitutions ; si on désigne ce nombre par [j., le groupe renferme mix substitutions ; son ordre est donc un multii)le de son degré m. 85. Les groupes les plus simples sont les groupes formés d'une substitution circulaire et de ses puissances ; dans le cas où la substitution circulaire déplace p indices, ils sont de degré et d'ordre égal à p ; leur structure est intuitive. D'ailleurs dans le cas où p n'est pas un nombre premier, ces groupes sont com- posés et sont des produits de groupes de même nature ayant pour ordre et degré les divers facteurs premiers de p. IS'ous pouvons donc, au point de vue qui nous intéresse, considérer seulement les grou- 304 ALGÈBRE SUPERIEURE pes de substitutions circulaires déplaçant un nombre premier de lettres. D'ailleurs tout groupe dont l'ordre est an nombre premier est un groupe de cette nature, car il est clair que l'ordre d'un groupe est un multiple de l'ordre de tous les cycles qui figurent dans les substitutions du groupe ; donc si un groupe est d'ordre premier p, ces substitutions ne renferment que des cycles d'ordre p ; elles peu- vent d'ailleurs en renfermer plusieurs si le groupe n'est pas sup- posé transitif. Nous verrons bientôt que le groupe simple d'ordre le moins élevé et non cyclique est d'ordre GO ; c'est le groupe de Cico- saèdre, dont nous dirons quelques mots plus loin ; son étude est d'ailleurs assez compliquée. On comprend dès lors l'intérêt particu- lier qui s'attache aux groupes cycliques et l'importance que pré- sente la (juestion de savoir à quelles conditions un groupe peut être décompose en produit de groupes cgcliques. Nous disons qu'un toi groupe est résoluble et (jue l'équation correspondante est réso- luble ; il est clair en effet que lorsque cette décomposition est effec- tuée, la nature de l'indétermination des divers symboles définis par l'équation saute aux yeux d'uno maiiirre immédiate. Nous allons d'abord étudier la question et la résoudre d'une façon complète pour les groupes de degré premier. 11 est clair que pour qu'un groupe soit résoluble, il est nécessaire et suffisant que tous ses facteurs de composition soient des nombres premiers ; or si on a un groupe transitif de degré premier p, tous ses sous-groupes in- variants sont transitifs et ont par suite pour ordre un multiple de p; donc le dernier des groupes de la série de composition a pour ordre un multiple de p ; cet ordre est d'ailleurs le facteur de compo- sition correspondant (puisque la série de composition se termine par la suljslilulion idonti(iuo; ; d y» li-ltres, les lellres a, [^, ..., X no ropré- >«nlonl pas autre chose que les nombres 1, 2, ..., p pris dans un ordre dillérenl. Nous savuns construire une l'onction 'l'(:), de degré au plus égal ù p — 1, (|ui prend pour z=i,-l,...,p les valeurs a, !3, ..., X ; si l'on pose en ed'el o{z) = i^z-lf{z-2) ... [z-r), 1 on a ^ ' (:-l)?'(l) (3-2)'-p'(-2) Les coefficients de cette fonctionne sont pas nécessairement entiers; on peut, à l'aide d'une conventi(jn simple et naturelle, s'arran- ger pour qu'ils le soient. Les indici^s que nous considérons ne peuvent prendre que les valeurs I, 5, ...,p ; les autres valeurs n'ayant pas de sens, nous sommes libres do leur donner tel sens ([u'il nous plaira et de convenir, par exemple, que deux indices congrus suivant le module p seront considérés comme équivalents. Dès lors nous pouvons, à l'expression analyliiiue '!'(;), qui repré- sente des indices, ajouter ou retrancher un multiple de p et il est facile de voir, d'après les remarques faites dans la théorie élémen- taire des congruences, qu'on peut ainsi s'arranger de manière que tous les coeflicients soient divisibles par p. D'ailleurs la simplifi- cation peut se faire d'une manière immédiate, dans le cas oi^i p est premier, en utilisant le théorème de Fermât et les proi)osilions étalilies sur le calcul des fractions (mod. p). On a en ('H'cl cp(:.; = z'' - z • (mod. p), et par suite o'(:) ^ — 1 (mod. p). d'(j(i Ton conclut r '-« ''^ ^- 1 *(s)^o(: i ■ \- 1 (mod./;). Le polynôme *(zj est de degré p — 1 en z ; calculons le coef- ficient de z''~' : c'est évidemment + X = 14-2-1- •••4-/3 p(p — 1) TIIEOIUE DES .NOMBRES 306 ALGÈBRE SUPÉRIEURE p élanl un nombre premier impair, ce nombre est divisible par p ; 'l'(3) est donc congru (mod. p) à un polynôme de degré p — 2 au plus. C'est là une propriété très importante des polynômes à coefïî- cients entiers (pii peuvent représenter des substitutions ; mais celte propriété ne suffit pas à les caractériser. M. Hermile a démontré une proposition plus complète : considérons une fonction *(-) et ses p — 2 premières puissances ; ce sont des polynômes en z dont nous pouvons abaisser le degré au-dessous de p à l'aide de la congrue nce identique s'' ^ z (mod. ;3). Soient oi(z), oofsj, . . . , 0;,_2(2) les polynômes de degré /) — 1 ainsi obtenus. Le théorème de M. llermite est le suivant : Pour que 'i»!^) représente une substitution, il faut et il suffit que datis chacun des polynômes o,, «p^, • • , ?/--2, l^ coefficient de z''~^ soit conrp'u à zéro (mod. //). Soit en ell'et o,„(-) = Mz)Y = A,„ + B,„: + C,„;^ + • • • + L„,=^'-* (mod. p) ; donnons à z les valeurs successives 1, 2, ..., p et ajoutons les relations obtenues ; on aura v[*(..)]'" =2x\,,-hB,„:i:: +a,I=^ + ----i-L„ï:''-i (mod. p). Mais les sommes ^z' = V + 2' 4- ... -{-p' sont toutes con- grues à zéro (mod. j^) tant que i est inférieur à p — 1. Pour i = p — 1, on a ^z''~^ ^p — 1 (mod. p), car pour : dillërent de p on a r^'-' ^ 1 (mod. p) et pour z = p, s''~' ^ 0. Il reste alors S[*(-)r-(p-l)L„, (mod. /j). D'autre part, d'après riiypothèse faite sur *(:) les termes de 2[*(z)]"' sont, à l'ordre près, ceux de la suite Ï3"', donc S[<ï>(s)]"' = 0 ^mod. p). On peut donc en conclure L„, ^ 0 (mod. ^j) pour m = U, 1, 2, . . . , (p — 2). Réciproquement, si les coellicients Lq, L|, . ., L;,_i sont congrus à zéro suivant le module p, les expressions ï) sauf k' premier, cl se léduira à Z'— aZEEO (mod. ;j). Mais les racines de celte congruence satisfoni aussi d'a[tr(S le lliéort-mi- dr l'i rmat à la congruence Z' — Z = 0 (mod. 79) t'I par suite à la congruence (a — 1)Z=0 (mod. p) Lcnombre a ne peut diilerer de ruiiilé, sans quoi le [lolynonie [tour les ;» valeurs 1,2, ...,p. Donc a=l i^t les quantités *(1), (pj sont res[>ectivcment congrues aux nombres 1,2, . . ., p. A l'aide de ce théorème , on peut trouver aisément les fonc- tions ^'{Zj propres à représenter une substitution ; on facilite cette recherche en remarquant que si "i'iz) représente une substitution, il en est de même de a, h, c étant des constantes ; ceci permet de simplitier la forme des fonctions cherchées *(:), en prolitant des arbitraires a, h, c ; on les rétablira ensuite pour avoir la solution générale. Mais nous ne vou- lons pas traiter cette question intéressante et encore incomplètement étudiée ; pour plus de détails à ce sujet, nous renverrons au mé- moire de M. Hermilc {Annales de Tortolini). 87. Il est facile d'exprimer analytiquement qu'un groupe, formé des substitutions 0,(2) [t = l,2, . . . , r] reste invariant par une substitution /(:;) ; il est clair que Ton doit avoir identiquement f[oiz)] = o,[f{z)] (mod. p), i étant un indice quelconque et k dépendant de i. Proposons-nous de chercher tout d'abord un groupe; admettant comme sous-groupe invariant le groupe (i formé des puissances d'une substitution cir- culaire d'ordre p. Si on écrit cette substitution elle est représentée analytiquement par la fonction z H- 1, ou, 308 ALGÈBRE SUPÉRIEURE suivant un usage assez général, par la nutatiun iz \z + i). Ses puissances successives sont (^h + i), (. 1.-4-2), (; I z^p-i). Il s'agit de trouver dans quel groupe H ce groupe G peut être invariant; soit f{z] une substitution du groupe H; on doit avoir, d'après une remarque faite plus haut, /•u.+ !) = /•(:) + a, a ne dépendant pas de z ; en changeant successivement ; en : -i- 1, : + 2, . . . , z -\- X, on obtient fiz -^ 2) = /•(= + 1) + a = f{z) -h 2a, f{z -h ./•) = /'i :■ + a' — 1 ) -H fl = /■(;) H- xa ; d'où, en faisant ;: = 0, /'(O) = /> : f{x) = a.r + ^. Le groupe 11 ne peut donc renfermer que des substitutions de la forme (:• 1 az + h), c"est-à-(lii(' des substilulions linéaires. Supposons a différent de ruiiilé, (le manière à avoir des subslitulions dirtérentes de celles dont nous sonuiics partis ; il est aisé de délerniiner l'ordre d'une substitution do cette forme, c'est-à-dire l'exposant de la première puissance de cette substitution qui se réduit à la substitution iden- tique. Soil en ellèl .s- = (:. i az-\-/)); on a *2 = (: I a{az -hh)-+-b) = (z \ a'-z 4- a(> -f- In. De même s" = {z I (t"z -+- a"- ^ù -+- a"--l> H hah-i-li). lN>uri|ue .s" se réduise ;i la subslilulidu ideiilii[ui', il faut et il >ullit (|ue \\)i\ ail r.ROUPES HKSoI.UIlLRS ;{()'.) a" i^ l (n»n(l. ji), ^(a"-* -t- a"-- H \- a -{-1)^0 (mud. //), Si, cnmine nous lo supposons, osant au([uel appartient n relalivemeni an nombre premier }). I/ordrc dos subslilulinns dans lesquelles a dillV'i(^ de l'unilé est donc inférieur à p. il <^st maintenant facile de continuer, c'est-à-dire de recliorclier dans ([uel groupe H' le {^^roupe H peut èlre invarianl ; soil ' une subslilulion de H', la transformée par t d'une subslilnlion d'ordre p de II (>st encore d'ordre }) et de plus appartient à 11, puis(|ue II est invariant ; mais nous venons de voir (|ne les seules substitutions d'ordre p de H sont les substitutions de (i ; donc G est invariant dans H' (*). Donc H' ne renferme que des substitu- tions linéaires. Le cjroxipe d'une équation résoluble de degré pre- mier se compose donc exclusivement de substitutions linéaires. 88. Aous allons démontrer la réciproque, en faisant voir que les facteurs de composition d'un tel groupe sont nécessairement pre- miers. Il est clair d'abord que toutes les substitutions linéaires (: I a: H- p) forment un groupe et que Tordre de ce groupe ost jjip—i'j^ puisque l'on peut donner à a et p toutes les valeurs incongrues (mod. jj) sous la réserve que a est différent de zéro (mod. p). Désignons par 7 une racine primitive Imod. p) et par s et / les deux substitutions, d'ordres j> et /) — 1, {z I gz). (0 II est aisé de voir que toutes les substitutions du groupe peuvent se mettre d'une manière et d'une seule sous la forme, s"t'', dans la- quelle on donne à a p valeurs incongrues (mod. p) et à b, p — 1 valeurs incongrues (mod. p — i). On voit ainsi une fois de plus que le groupe se compose de p{p — 1) substitutions distinctes. (*) Remarquons en passant (|iitr dans une série de com].ositi(in qut'U:o)}qui\ ciia- que groupe est par définition \m sous-groupe invariant du précédent, mais non de tous les précédents. 310 ALGEBRE SUPERIEURE Pour connaître complètement la structure du groupe, il nous reste à savoir comment ces substitutions se composent entre elles. Il sullit, pour cet objet, de vérifier Fidentité s'^.i'' = tKs'"i\ En effet, s" remplace z par r -+- a, et /'' remplace z -i- a par g''{z-\-a); le produit s"t'' remplace donc z par — î = md) correspond un sous- groupe do (î troniro iiip, formé dt'S substitutions l\ /-'', .. ., /""'= I et de leurs produits par les diverses puissances de s. D'ailleurs il est clair que si d' est un diviseur de rf, le sous-groupe correspon- dant à d' renferme le sous-groupe correspondant à d. On en conclut que les facteurs de composition de G sont les facteurs premiers de }) — 1 dans un ordre arbitraire, et le nombre p (*). Donc, pour qu'une équation irréductihle de degré premier soit réso- luble, il faut et il suffit que son (p'oupe ne renferme que des substitu- tions de la forme (3 I a: H- i3). Ces équations sont dites équations métacycliques ou équations do (îalois. 89. L'élude des équations de degré composé est beaucoup plus difficile , car la représentation analytique des substitutions, (jui nous a été si utile, devient moins simple; on est en effet obligé, dans le cas le plus simple où le degré do l'équation est une puis- sance p' d'un nombre premier, soit de prendre pour indices les /)'' valeurs incongrues d'une imaginaire de (îalois, racine primitive de la congruencc ?■''' ^ i (mod. ;)), soit d'affecter chaque racine de v indices, dont chacun prend p va- leurs incongrues (mod. p). C'est encore plus compliqué lorsque le degré n'est pas une puissance d'un nombre premier. Aussi n'entre- rons-nous pas dans cette étude, nous contentant de renvoyer aux (•) Remarcpions que, si l'on a démontré que le passage d'une série de compo- sition à une autre permutait les facteurs de composition, on n'a nullement prouvé que toute permutation de ces facteurs pouvait être ainsi obtenue, ce qui n'est d'ailleurs pas exact ; nous signalons ici l'arbitraire qui subsiste dans leur ordre, dans le cas particulier considéré. 312 ALGÈBRE SI PERIET'RE savantes recherches de M. Jordan (*;. Nous démontrerons seulement le théorème qui a servi de base à ces recherches et qui est dû à Galois ; ce théorème met d'ailleurs en évidence la constitution du groupe d'une équation résoluble, aussi tenons-nous à le donner : Pour qu'une équation soif résoluble, il faut et il suffit quon puisse dériver son groupe G d'une échelle de substitutions 1, a, 6, . . ., / telles que : i" le qrovpe dérivé d'un nombre quelconque des jyremières l, a, b^ ...,h soit un sous-groupe invariant de G ; 2° la première puis- sance de chacune des autres k...l qui soit contenue dans ce sous- groupe soit de degré premier. Soit N Tordre du groupe G de l'équation ; désignons par G, H, 1...M, 1 une suite de composition de G et soient X, a, ..., p les facteurs de composition, qui sont ici des nombres premiers. Soient /<,,/i2, ...,/<; les substitutions de II, g une substitution de G ne faisant pas partie de H, g"" la première puissance de g qui appar- tienne à M. Le groupe Gi dérivé de la combinaison de g avec H N aura évidemment a • — substitutions distinctes , puisque 1 ordre A de H est y • Mais Gj est contenu dans G, donc l'ordre de G, doit diviser l'ordre N de G, ce qui exige, puisque X est premier, a = X. Donc G résulte de la combinaison de H, sous-groupe invariant (le G, avec 7, et la première puissance de g contenue dans II est (l'ordre premier X. On voit de même que H résulte de la combinaison dun de ses sous-groupes invariants I avec une substitution /*, telle ((ue la pre- mière puissance de f contenue dans I soit d'ordre premier ;). etc. . . Uécipr(i({ui'menl, si G résulte de la combinaison des substitutions 1, rij)^ . ., / vérifiant les conditions énoncées au théorème, on aura une suite de groupes, d'ordres N N A A a X, [Ji, ... étant premiers et chacun de ces groupes étant un sous-groupe invariant du précédent ; X, a, . . . sont donc les facteurs de compo- sition de Ci, et comme ils sont premiers, lÏMiuation correspondante sera résoluble. (') Traité des Substitutions. fiRoupp:s' HKS(>LrHi,Ks :n:i 90. Nous allons Pxamim.T ici lo cas où lo ^ronpo de l'i-qua- lion donnée est lo groupe symétrique, c'est-à-dire ou léqualinn proposée est ijéncmle : nous allons chercher à déleruiiiier la suite (le composiliou du ^.M'oupe syniélri; qu'on obtient en mettant d'une part au lieu de a,, a^, aa les trois lettres P;,, 8,, p,, ou ^:j, |32, Pi, et d'autre part (mi remplaçant dans h toutes les antres lettres d'une manière quelcoiuiue, la même pour kl et Â-o. Ces deux substitutions ki et ki sont par construc- tion semblables à h; elles appartiennent donc à H et il en est de même du produit k^.kj' qui se réduit visiblement à la substitution circulaire {^l'^o'^-.t)- Le groupe II contient donc une substitution circulaire quelconque de trois lettres. Plaçons-nous ensuite dans le second cas où tous les cycles de /* sont de deux lettres (ou transpositions) et supposons que n soit supé- rieur à quatre. D'abord ond(jit supposer ([ue // contient plus d'un cycle, car si li contient une transpositi(jn, il les contiendra toutes et par suite sera identique à G,,.. Soit donc h = {^i'^2){^i'^2)-h\ en mettant en évidence deux trans- 344 ALGÈBRE SUPÉRIEURE positions; désignons par y,, 72, Ys, '{■, quatre loUrr-s quolconques et considérons les deux subslilutions ^•1 = (yiT2)(ï3Yv) ^, ^2 =(YiY3)(Y2Yv)-A% déduites de h comme il a été dit précédemment. Le groupe H con- tient /m et /.•,, donc aussi /mAt^ = (yiyOCysYs)- Il contient donc également la substitution ^■3 = (YiY;)(Y2Y3). Y3 étant une cinquième lettre arbitraire, et par suite le produit kjcï'k, = (YiYvYi), c'est-à-dire comme précédemment une substitution circulaire de trois lettres quelconques. Nous pouvons donc affirmer que, dans tous les cas, n étant supérieur à 4: Tout sous-groupe irivariaut du groupe symétrique contient toutes les substitutions circulaires de trois lettres. 91. iSous sommes ainsi amenés à rechercher quels groupes peu- vent renfermer toutes les substitutions circulaires de trois lettres ; ce qui précède montre qu'ils renferment aussi le produit de deux transpositions quelconques [on a : (xia-^Ts) (XiXiX^) = {xix.^) {x^Xs)] ; ils renferment donc toutes les substitutions qui sont le produit d'un nombre pair do transpositions. Or. il est aisé de voir que toute substitution peut être décomposée en un produit do transpositions (pouvant avoir des lettres communes) ; cette décomposition est d'ailleurs possible d'une infhiité de manières, mais la parité du nombre de transpositions est invariable : on peut le montrer de bien des manières (*). Considérons, par exemple, la fonction déjà étudiée 0 = {Xi — XiYxi —X3) ... (a-, — x„) {Xi — X-j) .. . (Xi — X,,) {x„_i — x„) . Il est facile de voir que roffot d'une transposition est de changer (*) Une démonstration est basée sur la division des iiermutations en deux classes, que Ton effectue dans la théorie élémentaire des déterminants GROITES RESOLUBLES 315 1<^ signe de o; ditiic une substilnlion se ccmiposc diiM iiomlire pair ou impair de transposilions suivant quelle laisse ^. invari;inl ou ri! quelle change son signe. On rentnnait ainsi qu'il y a — substitutions qui se composent d'un nombre pair de transposilions; elles forment un groupi^ dont o est un invariant caractéristi(|ue ; ce groupe a t'té nommé groupe alterm'' et ses invariants caractéristiques sont appelés fonctions alternées. Il résulte donc de ce qui précède que : Le seul sous-i/ruupe invariant du jroupe symétrique est le groupe alterné ; son indice est égal à deux. 92. Nous Connaissons déjà le premier terme de la suite des groupes que nous cherchons à former, il s'agit maintenant de recliercher les sous-groupes invariants du groupe alterné. Ceci va être très facile en appliquant un procédé analogue à celui qui nous a conduit au premier résultat. Soit II un sous -groupe invariant de G„, ; d'abord H comme Ci„. ne pourra renfermer que des substitutions paires. Parmi toutes ses substitutions, considérons-en une de celles qui modilient le moins de lettres et décomposons-la en cycles ; dans aucun cycle il ne pourra y avoir plus de trois lettres. Si on avait en effet h = (ot,a2a.,a, ...). /*', la transformée de h par la substituiion (aoaja,) qui appartient à (}„. appartiendrait aussi à H. Soit k cette nouvelle substitution : k= (aiïaa.a, . .). h' ; le produit /<-'/.•=: faïXjai ...) ... appartient encore à H; or il ne renferme plus ni x, ni les lettres de h\ c'est-à-dire modifie moins de lettres que h, contrairement à l'hypothèse. Donc il est nécessaire que h soit composée de cycles d'au plus trois lettres. Comme la substitution h est paire, elle renfermera un nombre quelconque de substitutions circulaires de trois lettres et un nom- bre pair de transpositions. On peut d'abord y supposer les trans- positions disparues, car elles n'existent plus dans fï- qui contien- drait moins de lettres que h, et qui, si h renferme une ou plusieurs substitutions circulaires, ne se réduit pas à la substitution iden- tique. On a donc simplement à examiner le cas où h se compose d'un 316 ALGEBRE SUPERIET'RE noml)re pair de transpositions cl celui où cette substitution con- siste en permutations circulaires de trois lettres. Soit dans le premier cas h = ('y,x,)(?,P2)A'; transformons h par la sul)slilntion (^ti^api) qui appartient au groupe alterné; nous obtenons la substitution k : qui apparlient aussi à il ; il en est donc de môme du produit /("'/.-, c'est-à-dire de («ipi) {^■i^2)- Uonc la substitution Ji ne doit contenir que deux transpositions et il est alors évident qu'en la transfor- mant par toutes les substitutions de même forme, qui se trouvent en efï'et dans G», on obtiendra toutes les substitutions formées de deux transpositions. Le groupe il qui doit les contenir toutes est donc identique avec le groupe alterné. Soit de même, dans le second cas, en supposant que h contienne au moins deux substitutions circu- laires de trois lettres. Transformons h par la suljslilution («laîPi); nous obtenons /.■ = (a,pix,)(a,p,p3). h\ qui appartient ù H ainsi que kh = [oi^^i^^jx^^'^^)- h'^. Mais cette dernière substitution contient une lettre «j en moins que A, donc il est nécessaire que h ne contienne ([irune substitu- tion circulaire de trois lettres. Soit donc h = {^i^2^:t) et ^i, {u, % trois lettres quelconques; on peut transformer à l'aide d'une substitution du groupe alterné h en (jB, p2Îii:j). Il suftit en effet de transformer par la substitution /.• = (-^|3,ï) Y dillérant de ot,, 7.0, a.,, p,, pour obtenir {'^^^^■x■.) h laquelle on appli- querait un procédé analogue. Donc le groupe 11 coudent toutes les substitutions circulaires de trois letlri^s, c'esl-à-dire se confond avec le groupe alterné. Nous arrivons donc à ce résullal (juiMe grou|M' alhM'né ne possède pas de sous-groupe invariaiil : l'ii (raulrcs trrmes : Le (jvoupe alfenir est siinple. 11 résullt' inniKMliatcnieiil de 1;\ (pic la suilctlc cnniposilion du (iRori'KS HKSOU'RLES 3I7 groupe symélri<|u<' il- [ilus de (jualr.- Ii-llivs est formée du ^'loiipo symélri(|ii(', du j-'r..upo allorné et di' l;i subslilulinii id.Mili.pKV Le groupe allerné eï^l d'indice premier '2 dans le groupe syméui- (jue; mais comme Tiiulice de la subsli(ulieul choisir les groupes suivants pour la série de com[)osition : 1" le groupe symétrique, d'ordre ii ; 2^ le groupe alterné, d'ordre 1:2 et par suite d'indice 2 ; 3" le groupe 11 formé des substitutions 1, (fi.r2-(.r;,.r.J, (j-i.rj)(a?,.r.), {xiX.XxoXs), et [lar suite d'ordre -4 et d'indice 3 dans le précédent; -4° le groupe H, formé des subslitulions 1, {x^Xi){x■,X,), d'ordre 2 et d'indice t2 dans le précédent; o" la substitution identique, d'indice 2 dans Hi. 93. On voit que le groupe simple qui s'offre immédiatement à nous, après les groupes cycliques, est le groupe all(M^né de 5 lettres; il ,. , 1.2.3.4.5 est d ordre =()(); on le nomme groii[)e de ricosaè- drc parce ([u'il est isomui'[ilie au groupe des (le[ilac(nnents ([ue l'on [leuL elfectuer sur un icosaèdrc régulier pour le faire coïn- cider avec lui-môme; cette coïncidence est possible de 00 manières dilférentes puisque l'icosaèdre a 20 faces triangulaires et que l'on peut par suite faire coïncider une face déterminée avec une face quelconque de trois manières dillérentes ; les déplacements qui réa- lisent cette coïncidence forment évidemment un groupe, le(iuel est d'ordre GO. Pour démontrer son isomorphisme avec le groupe alterné de l) lettres, on remarque que les 15 droites qui joignent au centre de l'icosaèdre les milieux de ses trente arêtes forment 5 trièdres trirectangles ; et (pie si l'on numérote ces trièdres 1, 2, 3, 4, 5, à 318 ALGEBRE SUPERIEURE tout déplacement de licosaèdre correspond une substitution du groupe alterné efîectuée sur ces numéros, et réciproquement. Nous laisserons ce point à démontrer à nos lecteurs et nous les renver- rons pour plus de détails sur le groupe de Ticosaèdre à l'intéres- sant ouvrage de M. Klein (*). Xous avons voulu seulement donner une idée de la complication qu'atteint l'étude directe des groupes non cycliques, même dans le cas uù on est aidé par une interpré- tation géométrique relativement simple. Xous justifions ainsi, à un point de vue purement abstrait, le nom de résolubles qui a été donné aux équations dont le groupe est un produit de groupes cycliques. (*) Vovlesuwjcn iiber dus Icosaedcr und die Auflosunn der Gleicliungen vom filnflen Grade. CIIAPITUE Vil APPLICATIONS - CONCLUSION I, — Équations normales. 94. Nous avons dans les pages qui précèdent étudié d'une ma- nière précise la symétrie que présente l'ensemble des relations ra- tionnelles entre les racines d'une équation irréductible quelconque ; nous avons déduit de cette étude les diverses manières de parvenir à une expression explicite de ces racines à l'aide d'autres nombres algébriques bien déterminés, c'est-à-dire les diverses manières de résoudre algébriquement l'équation. Les résultats obtenus prennent une forme particulièrement simple lorsque l'équation que l'on con- sidère est une équation normale : il est clair, en elTet, que toutes les racines d'une telle équation F(.) = 0 s'exprimanl rationnellement au moyen de l'une d'entre elles C, toutes leurs fonctions rationnelles sont des fonctions rationnelles de s\ d'où il résulte (jue toute réduction possible du groupe de l'écpiation i)eut être obtenue en introduisant dansle calcul des fonctions rationnelles de C, lesquelles sont toutes les racines d'une équation irréductible à cœfticients entiers. Si l'on observe que toutes ces racines peuvent s'exprimer rationnellement à l'aide d'un nombre algébrique normal, qui en est une fonction linéaire à coefficients entiers, on en conclut qu'il sullit, pour obtenir la même réduction du groupe, d'introduire dans le calcul ce nombre algébiique normal, qui est visiblement fonction rationnelle de l. Nous sommes donc amenés à rechercher 320 ALGÈBRE STI'KHIETRP] les moyens do réduire le iiroupe d'une (Mjualion normale par l'intro- duclion dans le calcul d'un nombre algébrique normal, lonclion ra- tionnelle de Tune de ses racines. Nous complétons ainsi un résultat essentiel obtenu dans le Chapitre IV ; nous y avons en efîet établi ([u'on doit rechercher parmi les nombres algébriques normaux les symboles-fi/pes qu'il est nécessaire d'introduire dans le calcul pour que toute équation irréductible ait un nombre de racines égal à son degré ; on voit ici que l'élude de la na- ture algébrique de chacun de ces nombres, ou de la réduction du groupe de Tcquation normale qu'il vérilie, n exige que la considéra- tion de nombres algébriques normaux qui en sont des fondions ration- nelles. C'est cette étude (pie nous allons aborder directement. 95. Soit donc F(;) = 0 une équation normale irréductible de deuré n, dont les coefficients peuvent même être supposés entiers, le premier d'entre eux étant l'unité ; désignons par ^ l'une de ses racines ; on obtiendra toutes ces racines, /,,(c)=r, i,[i), ..., vç), qui sont des polynômes en t à coeflicients entiers, en décomposant dans le domaine algébrique \Q le polynôme F(;) en ses facteurs irréductibles. Considérons alors une fonction entière de t à coeflicients entiers 9(0 ; les diverses expressions o(X,(!;)) peuvent être distinctes ou non: lorsqu'elles le sont, C peut s'exprimer à l'aide de o(0 sous forme de polynôme entier à coefficients entiers, les entiers algébriques l et o(C) sont des nombres algébriques de môme nature et l'étude de ré(iuation irréductible que vérifie ç.(Q est équivalente à celle de l'é- quation donnée. Dans le cas contraire, le nombre p des détermina- lions distinctes de oi}-i[K)) est un diviseur de n ; soient n = p.q. et ces di'lcrminations distinctes ; chacune d'elles reste invariante jtar q transformations de la forme [C, ^^/(C)], lesquelles forment néces- sairement un groui)e. Ces groupes, en nombre égal à p^ sont précisément ceux que nous avons nommés groupes co»/M^ués dans le groupe G, formé par toutes les transformations [^, \[^)]\ on pourrait en établir ici directement lo^ principales i)ropriél(''s. Pour (luo l'entier alg('brique ç ' soit nor- M'IMICA noNs 'Mi mal, il (•^l iiocosairc el sutlisaiit (jut- ces p j:rtiU|ii's cnïucidfiil ; o(Ç) est alors un iiivarianl carael('risli(jue d'un sous-^iniipo iHfor/a»f il fin irnuipe (i. ]>"<'(|nali(tn iiToducliblc (pu' vt'iili(> o(^i est do doj,M-é /) et le {rroupo de celte éfpialion normale est le iri-onpe d'ordre ;> ioriné des substitutions (jne suhil la suite i,. 'fj. ...,'ij, par les Iranslormaliuns [Ç, X,- (Ç)]. Sup|M»s(ins (pie l'on introduise dans le calcul Tenlicr ali^ébritpie •^ C<\ le polynôme V zi peut être décomposé dans le domaine alut'liriipie ainsi obirnu en /> l'acleurs irn'duclibh^s, tels ([ue cliai'uu deux demeure invariable parles transformations du i^roupe II. Ces l'acleurs égalés à zéro donnent visiblement des équations normales dont le groupe dans le domaine ['/, dont le groupe ( i admet un sous-groujje invariaul II d'ordre q, il sultit d'étudier successivement deux équations noruudes : la pre- mière d'oidre p dont le groupe est le quotient de G par H, désigné plus liant par G | H, la seconde d'ordre q dont le groupe est le sous- groupe Il lni-iii(''mc. Cette métliode de n-duclion peut évidemment être applifiuée à cbacune des deux, équations normales qu'on vient d'obtenir, et l'on pourrait continuer ainsi jusqu'à ce ([u'on })arvienne à des équations simples, c'est-à-dire dont le groupe n'admet point de sous-groupe invariant. L'étude de la décomposition du groupe G, laite dans le cbapilre précédent, fournil un procédé plus régulier pour obtenir le même résultat. Il est clair en effet, (lue si nous connaissons une suite de composition de G : (i. II, I, .1. ..., 1, il suffit de choisir le groupe II comme premier sous-groupe inva- riant jjour que l'équation dont le groupe est G | II soit simple, d'après la définition même d'une suite de com})osition. Il suffira ensuite d'appliquer la méthode à l'équation dont le groupe est H ; on choisira pour cela le sous-groupe I, invariant maximum dans H, et on con- tinuera de même. On obtiendra donc à chariue opi'ration une équation normale simple ; ces équations normales se pr(''S('nl('nl d'ailleurs dans un onlrr iel THÉORIE DES NOMBRES il 322 ALGEBRE SUPER1P:URK que les coefficients de chacune d'elles soient fonction entière des racines des précédentes. Tout entier algébrique normal jpeut ainsi s'obtenir par l'introduction successive, dans le calcul, d' entiers algébriques normaux^ racines d'équa- tions normales simples. On peut observer que les groupes de ces équations normales sim- ples sont précisément les j/roa/îes /acteurs de G; on en conclut que ces ij-roupes sont déterminés lorscpi'on donne G et ne dépendent pas du procédé particulier emjjloyc pour les former, procédé (jui ne peut faire varier que Tordre dans leriuel ils se présentent. L'étude d'un domaine algébrique quelconque se trouve ainsi ramenée à Tétude successive d'un certain nombre d'équations nor- males simples, donl les groupes sont iixés lorsqu'on donne le do- maine. 96. Nous venons de voir que, dans le cas des écjuations normales, à toute réduction du groupe correspond une décomposition de l'équation en facteurs, exactement équivalente. Il n'en est pas tou- jours de même dans le cas général ; il peut arriver que l'introduc- tion dans le calcul d'un nombre algébrique réduise le groupe d'une équation non normale, sans pour cela la rendre réductible ; nous allons préciser les conditions dans lesquelles un tel fait peut se })r(Mluin'. 11 est clair (pi'une équation irréductible ne peut devenir réductible que si son groupe est réduit à l'un de ses sous-groui)es invariants intransitifs. Or nous avons vu (83) que lorsqu'un groupe G admet un sous-groupe invariant intransitif, G est imprimilif. La décomposition en facteurs d'une équation ne pourra donc se pro- duire que lorsqu'il se trouve dans l'une des suites de composition de son groupe, un groupe imprimitif. Nous allons voir d'ailleurs que dans ce cas, on peut elfectivement réaliser cette décomposition. Étudions en elfet la résolution des équations à groupe imprimitif; désignons par X,a le degré de l'équation et supposons que ses racines se classent en X systèmes d'imprimitivité, comprenant chacun ij. racines : 0^1, Tji •••! ^;jLi Vi' î/2' •••' Vh^' î'i, i'2 Î-Vl AI'l'I.lCATIoNS 323 \o nombiv des lottros x, 7, ..., v étant égal à X. Par liypulliôse le {^Moupe li di' réquation se compose de substitutions de la tonne si, les substitutions s portant sur les indices 1, "2, ..., [x des lettres .'•, y, ..., V et les substitutions / perniulaiit rnln' elles ces lettres a-, //, ..., V sans touclier à leurs indices ; les substitutions s lor- inent d'ailleurs un groupe S de degré [x et les substitutions l un groupe T de degré À : l'ordre de G est égal au produit des ordres des groupes S et T, ordres que nous désignerons par ? et -. Soit X une fonction symétrique ([uelcontiue des lettres J'i, J'j, . . . , x.^, V la même fonction symétrique des lettres etc..., \ la niiine fonction symétrique des lettres v. Il est clair que la fonction o{z)^{z-\yz-\)... (z-\) reste invaiiable par les substitutions du groupe G ; elle sNvxprimc donc rationnellement au moyen des coefticients de ré((nalion i)ro- posée ; c'est-à-dire (jue les expressions X, Y, ..., V sont racines d'une équation de degré À à coefficients rationnels. Il est facile de voir ([ue le groupe de cette équation est précisément le groupe T, car les fonctions rationnelles de ses racines invariables par les substitutions de T sont précisément les fonctions rationnelles des racines de la proposée invariable par les substitutions de G. D'autre pari, d'après ce que nous avons vu plus haut, il est tou- jours possible de choisir la fonction symétri(iue \ de manière que toutes les fonctions symétriques des x s'expriiuenl nilionnelle- ment au moyen de X ; dés lors les fonctions symétri([U('s des y s'expriment rationnellement rfe la même manière ^wxnoyvn de Y, etc. On en conclut que l'on a : [x — x{)[x — Xi) ... [x — x.^) = F{x, X) , (y_y,)(y_y,) ... {v — V.^) = F(y, V), en désignant par F(.r, X) une fonction entière de x et de X ; d'ail leurs lorsqu'on adjoini X, le groupe de l'équation ¥{x, X) = 0 324 ALGEBIU-: SUPERIEURIi est préciséiacut lo groupe S ; on le voit comme précédemment. On conclut immédiatement de là que l'équation proposée peut s'écrire F;, X)F(ï, Y) ... ¥{l.,\) = 0. Son premier membre est le résultant des preiniers membres des équa- tions ?;z) = 0, la première de ces équations est de degré À et son groupe est dordrc - ; la seconde est de degré ;jl et son groupe d"ordre 7. La réciproque de cette proposition est immédiate : toute équation résultant d'un tel calcul a son groupe imprimitif et constitué comme nous venons de le voir au moyen des groupes des équa- tions (a). II. — Équations abélieunes. 97. Nous avons ap})elé groupe a /jé lien un gvon\)e dont les substi- tutions sont échangeables entre elles; il résulte de cette définition que tout sous-groupe d'un groupe abélien en est nécessairement un sous-groupe invarianl. On iieul })révuir que cette propriété sim- plifiera l'étude de la structure du groupe et Ton est ainsi amené à considérer une classe importante d'équations normales, celles dont le groupe est un groupe abélien. Les résultats acquis dans le jjaragraphc prt'cédent relativement au groupe» d'une équation normale nous pernu'ttent alors de dire ({u'une équati(jn irréductible f{x) = 0, est abélienne lorsque : 1° ses racines s'expriment en fonction rationnelle de l'une d'elles .ar /",'.«•) et /".(.n deux facteurs irréductibli^s di' F, rn supiiosanl [lar ('xcinplc ([uc x^ soit racine de réqualiou L'équation l\{x) = 0 admet les racines r,, o(a-,\ ... ; elle (>si donc manifestement ahélienne. Une racine de Taulrc équation fi[x) = 0 est alors de la forme 0(x,), et dans ce cas les deux éciualions mx)] = 0 ont une racine comnmne .r|. L'équation ^iO(x)] r= 0 admet (b^ic toutes les racines de fi{x), c'est-à-dire 9(0-,), <|'(^i) ••• '> ^i ' 'Jii pose O(ari) = X2 les racines de f. .;) (jui s'écrivent 6(rr,), 0[?(J^,)], 0>(a'i)i,... seront à cause des relations de la lorme e[cp(.r,)] = o[0(.rO]. D'autre part ces racines vérifient des relations analogues ; on a, par exemple, o[^{x,)]^^[o{x,)]. Cette relation peut en effet se déduire de la suite d'égalités 11 reste ;i montrer que l'on oblienl ainsi toutes les racines de [^{x) ; pour le voir, consid(''rons le produit [x — 0{x,)][x-(i[o{x,)]][x-(i'Mx,)]] . . 326 ALGÈBRE ST'PÉRIEURE étendu à loules les racines de l'équalion l\{x! = 0 ; c'est une fonction symétrique des racines de cette équation ; elle s'exprime donc rationnellement au moyen de ses coefficients; or d'après ce que nous venons de voir, Téquation obtenue en l'égalant à zéro admet une racine de l'équation son premier membre est donc divisible par f^lx) puisque ce poly- nôme est irréductible. 98. Nous pouvons donc nous borner à l'étude des équations abéliennes irréductibles. Soit f{x) = 0 une telle équation, .r, une de ses racines ; les autres racines sont de la forme Les transformations [j?,, o(a?])], [.z-i, 4'(^i)]' ■••> [^i' ^-i"!)] sont toutes les transformations distinctes d'un groupe qui est précisé- ment isomorphe holoédriquement au groupe de l'équation f{x) = 0. Nous allons mettre en évidence la structure de ce groupe, c'est-à- dire celle d'un groupe abi'licn (ludconque. Nous observerons pour cela, en désignant par 0(xi) l'une quelconque des racines de f{x), que si la transformation [x^, <à{xi)] est d'ordre n, c'est-à-dire si le groupe formé par ses puissances est d'ordre n, et si Ton a n = p.q, la transformation [.Tj, 0«(a?,)] est d'ordre p. Si l'on considère égale- ment deux transformations [x^, cp(a?,)^ et [a?,, '\>{xi)] dont les ordres respectifs a et b sont premiers entre eux, la transformation [a?!, (f[^}^(a;i)]] est d'ordre égal à ab . Il résulte de là que si nous désignons par a, ô, . . ., / les ordres respectifs des transformations correspondant à 0,4/, . . ., ra, et par m, leur plus petit commun nnilliple, qui décomposé en facteurs premiers peut s'écrire vii = p'q''' . . ., Ton peut former une trans- formation du groui)e dont l'ordre est ??i,. En etfet, p^ est diviseur de l'un au moins des nombrils a, b, ...; supposons par exemple que l'on ail a = }>''. a\ la Iransfoi'inalion (jui correspond à o'''{Xi) est d'ordre /y^ ; si l'on a de même b = g^.b\ la transformalion cor- I AIM'L1(.AT[0NS 327 rosixtiidant il 'V'\a-,) sera ddidiv ("gai à 7-% olc. . . I.a liansfornialiuii ./•,, Wi(Jij]. oii li'ii a |MiSL' H = o"''l,''' spra évidcninn'ul une Iranslorinalinii l'éïKniihini ;i la iincslinn. Soit N lo clo};i('' tlo ré(Hiali()n f{.ri = 0; si l'on a ;», = N, loules los racinos do l'iVinalioii liiruronL ol figuronl nno l'ois soulo- inont dans la siiit(> .r,, H,(.r,), HÎ(a:,), . . . , H',"i-'(x,) ; dans co cas li^ iironpe (î dos Iransforniations (|n'admel l'équalion /\x) = i) csl rorini' dos pnissanccs d'une seule Iransforniation [x, e,(.r)i. ol lo groupe de l'équation est formé de toutes les puis- sances d'une mémo substilulion : celle quéprouvonl les t'd(''monls do la suite lorsqu'on y remplace or, par 6i(xi). Lorsque ?«, n'est pas égal à N, il en est un diviseur et les puis- sances de la transformation [a?,, 61(0:1)] forment un sous-groupe II, de G, nécessairement invariant ; les transformations de G peuvent donc être partagées en classes telles que deux transformations d'une même classe puissent s'écrire sous la forme [■Ti, ài (a:,); et [j-„ fc)î'J^,(.ri)], c'est-à-dire ne diflèrent que par une transformation de H,. Choisis- sons dans chaque classe une Iransformalion, et soient a,, A,, ..., los ordres respectifs de ces transformations ; ces ordres sont com- pris dans la suite a, /*, . . ., c'est-à-dire sont des diviseurs de nii ; nous savons former une transformation \xi, e2(a?i)], dont l'ordre est égal au plus jx^il niulliiih^ commun nii dos nom- bres fl,, 6,, . . ., qui est aussi un diviseur de ï?(i. Si l'on considère alors les expressions 0î.0|ii?no ■= N, on recommence le 328 ALGEBRE ST'PKRIKri'.E partage en classes des transformations do G en partant du sous- i;roupe Hj engendré par toutes les transformations qui correspon- dent aux racines déjà obtenues. Il est clair ({non parvient ainsi à mettre toutes les racines de l'équation donnée sons la forme eî.e^e . . . ^^x,), 011 Ton a a,: = 0, 1 , . . . , (m; — 1), ^i = 1, 2, . . ., i^), et 011 les entiers ?7?.i, m^, . . . m.^ ont pour produit N, chacun d"eux étani (l';iill('iiis diviseur du préctklenf. 99. L'expression que nous venons d"obtpnir pour les racines de l'équation abélienne f{x) = 0, conduit aisément à la résolution algébrique de cette équation. Nous commencerons par examiner le cas où toutes ses racines peuvent se mettre sous la forme Xi, 0(.ri), «'(xi), . .., e»'-'f.x,), c'est-à-dire où toutes les transformations ([irclle admet sont les puissances de Tune d'entre elles. Le groupe de l'ériuation est form('; des vti puissances de la substi- tution qu'éprouvent ces racines lorsqu'on y remplace Xi par B (x,;, c'est-à-dire des puissances de la substitution circulaire (.xi, e(x,), ...,e"'-\xi)). Si le nombre /y;, est premier, ce groupe est simple : IT^quatiou est de celles (pie nous avons appelées r(''S()lul)les : sa résolution consiste pour nous dans f expression de ses racines sous la forme xi, e{x^), . . ., 0'".-'(ari) avec la relation r. Réciproquement, si le groupe d'une équation est cyclique, c'est- à-dire formé des puissances d'une substitution circulaire, l'équation ai)parlient à la classe de celles que nous venons d'i'dudier et il t^sl facile de li'ouver la loni-tidu h. Df'signcuis en (Mfet par .r,, T;, . ., a-,,, Al'I'l.lCATlO.NS :\-2\) SOS racines rt par . .r,, X:, . . . , -r,,,) la ■ii ciiciilaiic dont les puissances rniiurnl !•■ 'jiniiiir ili- r»''iiuati(»n ; en p((sanl f{x) = {x — Xi)(x — X2) . . . (a- — a-,,,) et H(.r) =. ^■^/''•^) _^ V^^) _^ ^ -ï-i A(3^) (a;— a-,)/*'(a:,) {x — X2)/'{x2) {-r — x,„)/'{x„,) la iVinclion 6(a?) reste invariable par les snbstiinfions du groupe de ré(pialii)n, c'est donc une l'onction rationnelle de .c ; on a de plus e(x,) = Xn, eCr,') = X:u . . , H{a'„,_,) = a-,,,, ot qu'on ]irul luu- jf»urs prendre pour/) un nombre premier. Un trouvera, en t'Ilcl. par la mrme méthode un snus-jiroupe invariant (rindice premier du sous-groupp obtenu, et ainsi de suite On voit de plus, par cette inan-he, que l'ordre dans lequel se pri'- sentent les facteurs de composition peut être choisi arbitrairement dans le cas parliruliiT d'un i:roupe abidien. 101. Nous ne voulons pas Icruiiner sans signaler parmi les ('(pia- tions abéliennes celles (jui ont la forme x" — 1 = 0, où n est un entier ([uelconque. cl donc les facteurs irréductibles sont des é(|UM- tions cycliques. Lclude de ces équations, faite parGauss,a été l'ori- gine de travaux qui ont illustré Kummer etKronecker et qui se ralla- eh(Mil aux théories les plus profondes de l'Algèbre cl de l'Analyse ; p(nir [tins de détails, nous renverrons le lecteur à ri^xccUcnlc mono- graphie de M. Bachmauu : Die Lehrevon der KreisUieiLung. faisons enliu ol)scrvcr (pic rc(piation x^ — A = 0, où /) est premier et où A n'est pas la i)uissance ^j'ème (\\xx\ nombre ration- n(d appartient à la classe des équations métacycliques et devient abélienne par l'introduction d'une racine de l'équation aji'-t _(_ a;;'-2 -4 ha? -+- 1 =0. On sait f|ue rtés bien connues des en- tiers positifs ont montré immédiatement qu'elles n'étaient point contradictoires, nous n'avons pas cherché à les réduire au nombre minimum. Il serait facile d'ailleurs de procéder en ne faisant jamais que des hypothèses indispensables : Les entiers positifs seront, par exemple, les symboles déduits de l'un d'entre eux, le nombre un, par une composition répétée de ce symbole avec lui-même, cette comjjosition possédant les (piatre proi)riétés alti-ibui'os à l'addition : il es! clair en effet que ces hypo- thèses sont nécessaires et sullisantes pour construire pour ces sym- boles une table carrée d'addition. Le nombre zf'ro sera un nouveau symbole d'etVel nul dans sa composition par addition av(N' lui- même ou avec loul nombre entier. Les entiers nt'gatifs seront tous les symboles (pii se composant entre eux o\ avec les entiers en suivant les lois d(> l'addition v(''rilient des relalinns de la tnrnie a-\-x-=[), oi'i II (h'signe un entier positif. On montre ([u'il est possible de trouver (Miire ces syudjoles un s(^cond mode de compo- sition (pii possède les pid[»ri(M('>s de la iiiullipli<'ation des entiers positifs d<^ sorte (pi(> h^ calcul additif et multiplicatif est complète- ment délini \nmv l'ensiunlile des enli(Ms positifs et négatifs. Les nombres rationnels seront entin Ions le-- syniimlfs ipii. [lossé- dant entre eux el avec les enlitu's itosilifs ou m'-galifs un mode do (;i>N(;i,iM'.\ ;{;{;{ cuinp.isitinii ;i(iiiirll;iiil lr> ([iialic luoitiiOli'S de la inulli|»lic;ilinii, viTiliout firs rplalii'iis dr la l'i'iiui' u.r — 1, (m'i o ({('sitiiic un oiilicr posililnii iiégalir, ol tous li's svinbnlos ([iii n-siiUeiil di' la coinpusi- liuii (lo ces dcrni(n's onlro eux ol avec 1rs onliiM's |iai' lt> modo con- siclt'n''. On t'tahlit (|u'il est pussiltio do di'finir iiu sctond mode do Coiii|)(isili(iu d(^ cos syiiibidos fiilir eux lit' à la iiiiilliplicaliou df la momo inaiiiôn^ ([iio ladililion pour los oiiliors ol (lui possodo lospio- piit'tt's do raddilion dos onliors : le oalenl additif ol nuilli[)lioatif osl ainsi ooinplrtoiiioMl diMini [juiir rciisoniblo dos entiers positils et m''- galifs et des nombres ratiuimels. • Nous avons procède' do mémo pour introduire dans» le calcul h^s nombres ali:('bri(pios ([ui sont pour nous tous los symboles r (pii. se oom|)osanl entr(^ ou\ par addition ol par niultipliralion m suivant los mémos lois (pu- los onliors, vérilieut dos relations df la l'orme où /V.ri d(''si,un(' un polynôme irréductible. Un établit d'abord que s"il existe elléctivemeul un symbole satisfaisant à ces conditions, il existe pour ce polynôme un nouiijro <\o symboles p(jss(''(lanl ces propriétés égal à son degré' //. Ces symboles vt'rilionl nécossairi^- ment les relations (-2) Si = Pu S. = p,. .. , S„ = ;)„, Al Si, S., . . , S„ désignent leurs lonctions symétri(iuos éb'mon- taircs et ]>,• jh, ■■ , Pn les coefficients du polynôme f{x) et invor- somonl. il sullil ([uo ces relations soieni vériliées par les symboles j,, .r., ...,.r„ pour que f[x) s'annule pour .r = j;i, .r = .r., .. , X — .r„. On est ainsi amené à recbercher toutes les conséquences do cos rolations on iiarlani drs propriétés attribuées à nos symboles et c'est dans cette subslitution dos relations -ij à la relation [\ } (pie réside, ainsi que l'a fait remarquer Kronecker, la dillo ronce essentielle entre le point de vue de (ialois et celui au(iuel s'est toujours placé Aboi. La recberche de toutes les conséquences de relations plus géné- rales : Fi = 0, F, = 0. . . . , F,„ = 0, entre des symboles a?,, .Xo, . . ., x„ possédant les modes de compo- sition indiiiu.'-s. nous conduit ;i parlagor dans le cas où elles sont 334 ALGEEIIE SUPERIEURE « compatiblos » (*) les systèmes de telles relations en réducAihles ou irréductibles^ suivant (juil existe ou non de nouvelles relations entre les mêmes symboles qui ne sont point des conséquences nécessaires des premières ; c'est là qu'il faudra chercher la raison de la différenca signalée plus loin entre les équations générales et les équations spé- ciales. Il r(''siillo d'ailleurs de la considération do la résolvante générale, dont l'introduction est due à Liouville, que toutes les hypothèses faites sur j,, .1-2, ...,x„, lorsqu'elles sont « compatibles », équi- valent à supposer qu'un symbole l possédant les mêmes modes de composition v<''rilie une relation de la forme H(^ = 0. où R(:) désigne un polynôme irréductible déterminé. Le calcul de tels sym- boles est simplement un calcul de polynômes en Ç, [mod. R (Cm c'est-à-dire un calcul où l'on néglige les multiples de R (C), et à ce titre il est visible qu'il ne peut renfermer de contradiction, ce qui établit la possibilité logique de définir -rj, a-,, ...,a-„ comme nous l'avons lait. Il suflit (l'i'Iablir que les relations (2) ^1 = 7^1, S. = P2, . . . , S„ = p,„ sont toujours >< compatibles » au sens attribué à ce mot, pour en conclure la i)ossibilil('' logique de définir les nombres algébriques, et Ion parvient ainsi en même tenii)S aux propositions essentielles duos à Galois et relatives à la symétrie de l'ensemble des relations rationnelles ([ui existent entre les racines x,, .r^, . . . , a„ de l'équation m = 0. Signalons en passant l'importance, plusieurs fois mise en évidence, du fait qu'il existe pour représenter toute fonction symétrique de a,-,, a-j, ... Xn une forme unique ne dépondant (luo des fonctions symétriques élémentaires. Tue étude g(''nérale des divers genres de symétrie qui peuvent se présenter — théorie des groupes de substitutions (**) — montre de quelle nature sont les relations qui lient entre elles les diverses fonc- tions rationnelles de n indéterminées, et les théorèmes de Lagrange donnent le moyen de former effectivement ces relations ; il est aisé (•) Le mot « compatihlf's » ,1 ici \m s.'n< parfiiitement déllnl, pour lequel nous renvo3'ons au § 42. (") Nous avoiLS naturellement luioiUé dans cette tliéorie les notations introduites dans la tliéorie iilns f^énérale des (îroupes de Transformations par son rréatenr, le (•l'IMtre géomètre norwéj^icn Soplms Lie. CONCLÎSION 335 (rimlii|iiri' ■A\i>i-> l'iiimiii'iil ces n'siillals dnivi'iil l'Iic mndiiics htr.s- (lii"«>n flmi-^it |intir Ic-^ ; . les raciin's (!<• rc(|iialiuii (Iclfiiiiinéc f{x) = 0. La considi'ralioii (|ui vicul tMisiiilr de rcnst'inldc des irlalioii-. iali(»nnollos onlre les racines u-,, .to .'",1 do l\''(juali(.»ii f{x) = 0 et les racines y,, jy. 7^, d'une aulic (''(|iiali(iii i|iirlr(iii(|U(' perniel d'i'laljiir (iii\>n ne parvient de celle manière à aucnne espèce de svniétiic ([ui ne soil anssi obtenue en prenant j)our //,, //.,, . . ., i/j, des l'ourtious ralionncdles convenablement choisies des ./• ; cpiol- ques propositions sur les groupes de substitutionsmontrent comment on parvient à la symétrie la plus générale en partant de symétries particulières données par des groupes sim/iles, et Tinlerprétation de ces propositions à l'aide des nombres algébricpics conslilu(^ la IIk-o- rie de la ré'solution algebri([ue des équations. Nous av(tns donné ensuite queUiues exemples de synuHries parti- culièriMntMit faciles à saisir hdlesijue celles données par des produits de groui)es cycliques, qui correspondent aux équations dites 7'éso- lubles et celles relatives aux équations du quatrième et du cinquième degré ; nous avons montré en passant que l'équation générale d'ordre supérieur à quatre n est pas résoluble, proposilion (pii a occupt'' lung- temi)S les géomètres et dont la pieniiére diMuonsIralion enlièrenient rigoureuse est due à Abel. Un dernier chapitre est consacré à l'élude directe d'une classe importante de nombres alg(''brifiues au moyen desquels tous les autres s'expriment rationnellement : les nombres algébriques nor- maux. Parmi ceux-là on peut encore signaler ceux qui sont définis par une équation dont le groupe est abélien^ c'est-à-dire dont le groupe a ses substitutions échangeables, et l'on établit que tout groupe de cette nature est résoluble, c'est-à-dire est un pr(xluit de groupes cycliques. Nous avons sans doute laissé dans l'ombre une foule de questions intéressantes ; nous espérons néanmoins que ce que nous avons fait suffira i)our inspirer au lecteur le di'sir d'une étude plus approfondie et nous le renverrons en particulier pour cela aux divers ouvrages que nous avons consultés et dont nous donnons ici la liste : :VM) AI.dKHHI-, Sri'KHIKtJRI': E. GALOIS : Œuvres mafhématiques, Journal do Liouvillo, 1846. J. LIOU VILLE : Mémoire sur la théorie de Véliminalion dans les équations aUjéhriques. Journal de Liouvillo, 18U. C. JOllDAN : Traité des substitutions, 1870. L. KROrsECKER : Grundzûge einer arithmetischen Théorie der alge- hraischen Grœssen. Journal de Crolle, t. 92, 1880. J. A. SEURET : Cours d'Algèbre supérieure^ o" édition 1885. E. NETTO : Substitutioncntheorie, 1882. J. MOLK : Sur une notion qui comprend celle de la divisibilité et sur la théorie générale de Vélimination^ Acta Mathenialica, t. (>. 0. BOLZA : On the Theory of Substitution-Groups and its Appli- cations lo Algeùraic Equations^ American Journal ot" Mathenialics, t. XIIL NOTES THEORIE DES NOMBRES. NOTE 1 SUR LK rilKORÈME DE FERMAT Comme nous l'avons remarqué i§ 5), \c théorème de Fermai nous fiiuinil un exemjil»' dune cungruence suivant un module premier ;) qui, sans être identique, est vérifiée pour toute valeur entière de la variable. En d'autres termes, /e po/j/nome x'' — x est divisiOle par le nombre premier p, quel que soit l'entier x, sans que les coefficients de ce polynôme soient divisibles par p. 11 est clair d'ailleurs que les polynômes divisibles (*) par x'' — x jouissent de cette même pro- priété, à l'exclusion de tous les autres. Le théorème de Fermât apparaît ainsi, comme un exemple unique de ce qu'on peut appeler la divisibilité d'un polynôme par un nombre premier, le sens de cette expression étant sullisamment clair d'après ce qui précède. Pour trouver dans cet ordre d'idées une généralisation du théorème de Fermât, on doit rechercher s'il existe de même des polynômes di- visibles par un nombre composé quelconque m ; ou, si l'on veut, des congruences dont le premier membre n'est pas identiquement nul (mod. m) et ([ui sont cependani vérifiées pour toute valeur entière de la variable. Nous pouvons évidemment nous borner au cas où m est une puis- sance d'un nombre premier, car pour (piun polynôme soit divisible par m = p^qh-'', il faut et il sullit qu'il soit divisible séparément par p^, 9^ r\ En désignant par P(.r), Q{x), R{x) les expressions les plus générales des polynômes respectivement divisibles par p^, q% >••', l'expression générale des polynômes divisibles par m sera visi- (,') liien cnteiulu, il s"agiL île la divisibilité suivant le module \i. 340 NOTE I blcincnt [P(a^) + p'f(xm{x) + q°^9{x)][R{x) 4- r^A(a;)], f{x), g{x)^ h{x) désignant des i)olynomos quelconques. Nous sommes ainsi amenés à rechercher les polynômes divisibles par //', p étant un nombre premier. Il est clair qu'il en est ainsi des a polynômes o,{x) = p'~Kxr —xf, [h =r 1, 2, 3, . . , a), et par suite en désignant par fiJ.x) des polynômes arbitraires, du polynôme 2 fk{x)ok{x). Nous allons montrer, en sujjposant a inférieur à p-i-i, que le polynôme ainsi obtenu (et ceux qui lui sont congrus suivant le mo- dule p"^) est le plus général des polynômes divisibles par p"". Sup- posons cette proposition vraie jusqu "à une certaine valeur de a ; nous allons voir quelle subsiste pour la valeur ot-i-1. Soit, en ell'et, a-f-l élanl au plus égal à p, cp(.r) = 0, (mod. 7;^^') une congruence vérifiée quel que soit x ; on a aussi, quel que soit X, o[x) ^ 0, (^mod. p^) et i)ar suite ?(^) = 2 A(^)?^(^) + P^f oi^) Soit .X(, une valeur ([uelconque de x; on a X^ Xq = p îg , Çg étant un culier dctei'miné ; on en conclut aisément {Xo -+- /J>>)'' — (^'ft +7J>-) = P{^o — ^0 (i"od. p' . Un calcul facile donne ensuite cf' EA(-'-o+7/a)^?„ ->.)'• (mod. /;^ ] SIR I.K TIIKoKKMH I»K FEltMAT 341 Or f^{X^-\rpl) = fk{x^) ,111. .(!./)). Donc u I)i»imonsH 0*0 iiiir \;iliur fixo ot faisons varier 1: on vorra quo \o polynôme en 5^ — X = À, 0 esl divisible par le nombre premier /) ; on a donc, puiscjne a est inférieur à ;;, f„{x,) = 0 (mod. p). Comme j,, esl arbitraire, il en résulte f,,ix) = (a:'' — x]g,lx), (mod. /)), k = (0, 1, 2, .. ., a), d'oîi l'on conclut aisi'nKMil la proixisilion énoncée. Si a dépassait j), il faudrait ajiniter aux a polynômes o,.(a;), les a — p polynômes '!^,{x) = .{x,, — xV' - p>'-\x, — x)\{Xj, — xf-'p--r-\ (/c=: 1.2, :{, ..., a— ;>), car l'expression entre crochets esl manifestement divisible par p^"^\ quel que soit .r, comme on le voit en posant .r'' — x —- p'^. On démontrerait, en suivant une marche tout à fait analogue, que si a esl inférieur à 2p -4- 2, le polynôme le plus général divisible par p"" est congru à 2 'f A(a?)///a^) -+- 2 •^,,(a?)(7/,(a^). les /■ et les g étant des polynômes arbitraires. On aperçoit aisément comment on continuerait et on voit que le théorème de Fermai suffira toujours pour résoudre ces questions de divisibilité ; il n'y a pas lieu d'en chercher de généralisalion à ce point de vue, à moins de considérer comme une généralisalion le fait que l'expression o[x) = {x'' — x)'' — p''~\x^' — x). 342 NOTE I est divisible par p^"^^ ; ou de même que [, il divise '>~a^ \i.b ; 2° Si les nombres a et ^ divisent respectivement a et h, a_3 divise ab ; 3° Un nombre divisible par deux autres premiers entre eux est divisible par leur produit, on peut toujours arriver à reconnaître si un polynôme donné est divisible par un nombre quelconque, et inversement, trouver tous les polynômes divisibles par un nombre donné. NOTE II SUR LES IMAGINAIRES DE GALOIS 1. Nous avons riiilontion d'osquissor rapidement ici les principes (Ip la lliéorio dos imag:inaircs de Galois, on nous plaçant au point de vue qui nous semble avoir été adopté par ce grand géomètre. Il est essentiel dans ce but de préciser les propriétés caractéristi- ques des entiers positifs lorsqu'on les envisage (mod.;?^ p étant un nombre premier, c'est-à-dire lorsqu'on néglige dans leur calcul les multiples de p ; c'est là ce qu'il est facile de faire. Nous savons en effet, qu'à ce point do vue : Il existe p nombres distincts 0, 1 , :2, . . ., p — 1 ; Un mode de composition de ces nombres, appelé addition, permet de passer de deux d'entre eux à un troisième bien déterminé, appelé leur somme, et cette composition possède les propriétés suivantes : l°Ellc est associative, c'est-à-dire que si le signe (a -h b) représente la somme des nombres a et b, Ton a, quels que soient les nombres a, b, c, (a -h {b + c)) = ((«+/>)+ f); 2° Elle est commutative, c'est-à-dire que Ton a, quels que soient les nombres a et b, (rt -h é) = (b + a) ; 3° Si l'on compose un nombre a avec des nombres h et c différant entre eux, on obtient des résultats différant entre eux ; on peut donc conclure des égalités a -\- c = d l'égalité b = c. Les propriétés qui précèdent sont caractéristiques, c'est-à-dire définissent complètement les entiers positifs (mod. p) ; nous allons Mi NOTE II en effet établir que p symboles auxquels on attribue ces propriétés et celles-là seulement posséderont toutes les propriétés des entiers positifs (mod. p). Soient a, b, . . . . / ces p symboles ; la suite : a-i-J, b-hj, •••, l-i-j^ où j désigne également un de ces symboles renfermera tous les éléments de la suite a, b, ..., l, puisqu'elle renferme p éléments distincts d'après la troisième propriété de l'addition. Il existe donc dans cette suite un élément, c ~-j par exemple, qui est identique à j, et Ton conclut de là : ((c +.;■) + A-) = (c + (.;• -^ k)) = (j + kj, quel que soit le symbole /.-, c'est-à-dire {c+ h) = h quel que soit h. Le symbole c est donc sans effet dans Taddition à gaucbe. On montre do même quMl existe un symbole c' qui est sans effet dans l'addition à droite, c'est-à-dire tel que Ton ait [h -h (f) = h quel que soit le symbole h. Les deux relations (c H- c') = c, {c -\- c') — c' établissent alors que c est identique à c'. On parvient d'ailleurs à celte même conclusion en invoquant la propriété commutative de l'addition : {c-\-h) = (h -h c) = h, et ensuite la troisième propriété de l'addition pour établir qu'il n'existe qu'un symbole c tel que l'on ait (/« -i- c) = h. Nous désignerons par Af, le symbole c auquel nous sommes ainsi parvenus. Considérons maintenant un symbole quelconque a diflërent de c et la suite (1) o, (a-ha), ((a-i-a) + a), ...; les éléments de cette suite sont des symboles de la suite «, A. . . ., / et par conséquent le nombre des symboles distincts qui sont ainsi obtenus est limité. Soit 7 h- 1 le rang du premier élément qui reproduit l'un des précédents ; l'élément reproduit est visiblement a et la suite (1) est périodique, ses termes se reproduisant de 7 en 7. Nous allons montrer que 7 est nécessairement divisi'ur du nombre p dos symboles distincts, ce qui exigera p =z g, puisque p est premier et que l'élément (a h- a) est différent de a qui est égal à [a + c). SUR LKS IMAr,INAII{KS DK CAI.olS Sio Si Ton n'a jnis i-n i-llft dans la suilo (1) les p syniluilcs ilduni's ot si A (lésijj'iie un symbole non ohloini, les symboles (a 4-^), ( (a H- r;) H- //), i((a-\-a)-ira)-\-hV . . . , fiui font parlio dos a, h, . . ., /, sont Ions dillorents cl sont aussi dillùronts des précé- dents ; on déduirait par exenii»le de {n-\-b) = {a -h a) -ho l'égalité y^a -{- h) = a -{- [n -h a) , c'est-à-dire h — [a-\-n). On obtient donc ainsi 2^ symboles de la suite a, h, . . ., /. Un raison- nement analogue montrerait, si l'on n'a pas épuisé ainsi cclh» suite, que d désignant un nouveau symbole, les symboles (a-hrf), ((a-t-a)-t-rf), (^((a + a) -+- n) -+- rf j , sont encore dillérents et dill'èrenl do ceux déjà obtenus, ot ainsi do suite. Il est clair ([u'on épuise de cette manière tous les symboles a, h, . . , / c'est-à-dire que p est multiple de q. Dans lo cas qui nous occupe où p est premier, on aura donc p = g. Il résulte de là que si Von pose A| = a, A2 = (a4-a), Aj = ((a H- a)-+- a), ..,, les symholes A^, Ai, Ao, . . . , A^,_i se composeront entre eux de la même manière que leurs indices et par conséquent qu'à toutes les propriétés des entiers 0, 1, 2, . . ., p — 1 correspondront les pro- priétés analogues pour les A dont les indices sont ces mémos en- tiers. A' ans n entendons pas autre chose en disant que les A sont ces entiers eux-mêmes, regardant ainsi les entiers comme des signes ou symboles dont nous ne connaissons que les propriétés signalées plus haut. Lorsque pour des éléments en nombre limité, Ton peut délinir un mode de composition qui possède les propriétés suivantes : 1° De deux éléments quelconques on passe par la composition considérée à un troisième élément bien déterminé ; 2" La composition est associative ; 3" Un même élément composé avec des éléments difï'érant entre eux donne des éléments dillerant entre eux, on dit que les éléments composés par ce mode de composition forment un (jroupe limité. :uc> NOTE II Lorsqu'on oulro la composition est commutatlve, lo groupe est dit abélhin. Nous venons donc d'établir que les entiers 0, 1, 2, ...,;> — 1 forment par addition un groupe abélien. Si Ton pose maintenant, a étant l'un de ces entiers : a = I .a, (rt H- a) = 2. a, [a -\- a)-^ a = "i.a, . . . , on définit ainsi un certain mode de composition des entiers 1 et r/, 2 et OF, 3 et a, etc., qu'on appelle multiplication et les propriétés de l'addition permettent d'établir les propriétés de c<' nouveau mode qu'on peut résumer en disant : Les entiers 1,2, ...,p — 1 forment par multiplication un groupe abélien ; L'entier 0 joue un rôle singulier et se reproduit dans la multipli- cation par un entier quelconque de la suite 0, 1, 2, ..., p — 1. Enfin la multiplication est distributivc par rapport à l'addition, c'est- à-dire que l'on a a.{b -^ c) = a.h -\-a.c. Les relations (\\\\ donnent, lorsqu'on connaît deux éléments d'un groupe, le résultat de leur composition, s'appellent relations fonda- mentales du groupe ; il est clair que les propriétés des entiers posi- tifs (mod. p) peuvent toutes se déduire de la connaissance de ces relations fondamentales pour l'addition : l'existence de la multipli- cation et ses propriétés en sont par exemple des conséquences. Ainsi pour définir le calcul des entiers (mod. 5) il suffit de donner la premiér(^ des deux tables de composition suivantes : 0 1 2 3 4 0 0 1 2 3 4 1 1 2 3 4 0 2 2 3 4 0 1 3 3 4 0 1 2 4 4 0 1 2 3 0 1 2 3 4 0 0 0 0 0 0 1 0 1 2 3 4 2 0 2 4 1 3 3 0 3 1 4 2 4 0 4 3 2 1 Ces tables peuvent être appelées tables de structure des groupes formés par nos symboles pour les doux modes do composition : addition et multiplication. SfR I.KS IMA.'iINAiRES DE GAL<~)IS ;{.',7 2. Nous sommos maintcnanl en inosuro (1(> montror coiiiiin'iii jicuf se faire rinlniiliiclinn dans !•• calcul «les iina^'inairos congniiniicllrs de Galois. Soit /'(.r) z^ l) iiiod. ji une cnngrucncc irréduilildc i\^' di^gré »; nous savons (ju'il n'exislo aucun ùléniont de la suite 0, 1, 2, ..., p — 1 qui vt'M'ilie cette congruence. Kn (l'autros lernios, lors«iu'on astreint ./• ;i figurer parmi l(^s symboles 0, 1, ^, ..., p — 1, la congruence f{x)^0 inod. //) n'a aucune racine. Il esl naturel de penser qu'en restreignant convenablement le nondire des condi- tions imposées au symbole a-, il pourra exister dans l'ensemble des symboles satisfaisant à ces conditions des racines de cette con- gruence. Les conditions à imposer au symbole x peuvent d'ailleurs (Hre quelconques, pourvu que le polynôme f{x) soit par là entière- ment défini lorsqu'on donne x puisque le second membre 0 est un symbole bien déterminé. Parmi les divers systèmes de conditions que l'on peut adopter, Galois a choisi l'un des plus simples qui consiste à supposer que le sijin/jole x se compose avec lui-même et avec les entiers 0, 1,2, ...,p — 1 suivant deux modes différents qui possèdent les propriélés respcclives de l'addition et de la vudiipli- cation de ces entiers. Il résulte de là que si x vérifie la congruence f[x) ^ 0 (mod. p), les fonctions entières de a?, fonctions qui sont définies d'une manière précise par les hypothèses, sont toutes représentées et une fois seulement dans la suite des polynômes «o + a\X -\- •••-+- a„_\X"'~'^, où les a sont des éléments quelconques de la suite 0, 1, 2, ..., p — 1. On montre alors ({u'il est possible de définir pour ces élé- ments parmi lesquels figurent les entiers 0, 1,2, . . . , p — 1 , deux modes de composition qui possèdent les propriétés respectives de l'addition et de la multiplication des entiers, c'est-à-dire que l'on peut construire les tables de structure des groupes abéliens corres- pondants. Considérons par exemple la congruence irréductible a-^ -t- 1 ^ 0 (mod. 3) et désignons par i un symbole assujetti à posséder les modes de composition indiqués et à vérifier cette congruence : ^2-^^=0 (mod. 3). Les seules fonctions qui peuvent résulter de la composition de i avec lui-même et avec les entiers par les deux modes supposés sont les fonctions entières de i à coefficients entiers ; chacune d'elles est 34« NOTE II (lailleurs identique ù un polynôme du premier degré de la forme ni-^ b, où a et h sont pris dans les entiers 0, 1, 2, ainsi qu'il résulte de la relation i^-hl^iO (mod. 3) ; il suffit donc d'étudier ces derniers éléments. On peut d'ailleurs établir facilement que d'une manière générale si X est un symbole qui se compose avec lui-même et avec les en- tiers suivant deux modes qui possèdent les propriété respectives de l'addition et do la iiiulfiplication, les polynômes entiers en x se composent entre eux par deux modes qui possèdent ces mêmes propriétés. 11 sullit de poser ici (a -H bx) -+- {a' -h b'x) = {a-\- a') + {b -h h' x, [a -+- bx){a! -h Ux) = aa' -h [ba' -\- ab')x-\- bb'x- pour le vérifier immédiatement. Si l'on a égard à l'hypothèse faite sur le symbole i : «^ 4- 1 e^ 0 (mod. 3), on en conclut que les deux tables d'addition et de multi- plication des symboles ai-\-b peuvent être construites sans qu'il se présente de contradiction. Si nous posons, par exemple, ai-\-b = A;j„_^t, ces tables de structure sont les suivantes : Addition : Ao A. A, A3 A. As Ae A, As Ao A„ A. A, A3 A, As As A, As A. A. A. Ao A, As A3 A, As As A, A, Ao A, A5 A, A. A, As A, A3 A, A. As A. A, Ag Ao A. A, A. A, A5 A3 A, A, As A. A. Ao A, A, A3 A. A« As A, A, Ao A. K Ae A, A, A„ A, A, A3 A» As A, A, A, Ae A, A, Ao A. As A3 Ah A« Ao A, A, A„ A. As A3 A. SUK LKS IMAiilNAlHKS DK «iAl.UlS Mnltipliratioit : 3'.".» A„ A. A, A3 Av Ao Ae A: A. Ao Ao Ao Ao Ao A„ A„ Ao Ao Ao A. Ao A. A, A3 A. \ Ac A, As A, A„ A, A. As Ae A, As Ae A, A3 Ao A3 Ae A, Ae A, A. A. A, A. Ao A* As A5 Ae A. A, A, A. A, Ao A5 A, A» A. A3 A, Ae A, Ae Ao Ac A3 A. A, A, A, Ae A5 A, Ao A, A5 A* A, Ae A, A3 A. As Ao A, A. A, A3 A, As A. Ae La construclion tlo ces tables qui su/fiscnl à définir /es élénienls ai-\-h^ au même litre que la table d'addition définit les entiers, montre d'une manière évidente qu'il existe cfTcctivement un sym- bole i possédant toutes les propriétés requises et qui vérifie la congruence l' + l^O (mod. 3). Ajoutons (ju'en rangeant les symboles dans un autre ordre on peut d(jnnor à la table de multiplication la forme suivante : Ao A, A, A3 A„ A, A7 K A. Ao A„ Ao Ao Ao Ao A„ Ao A„ Ao A. Ao A. As A3 As A. A, As A. A5 Ao As A3 As A, A. Ae A. A. A3 Ao A3 As A. A, As A. A. As As Ao As A. A, Ae A. A. As A3 A, Ao A. A, Ae A, A. As A3 A, A. Ao A, Ae A. A, As A3 As A, As Ao Ae A. A. As A3 A, A, A, A. Ao A. A. As A3 As A, A, Ae 350 NOTE II On en verrait lacilement la raison. La possibilité de définir logiquement les imaginaires de Galois étant ainsi établie, il serait facile de développer leur étude en mettant en évidence les analogies qu'eUe présente d'une part avec l'étude des entiers (niod. p) et d'autre part avec la théorie des entiers algé- briques dans un domaine [^]. Notre dessein n'étant pas de reprendre à ce nouveau point de vue des résultats déjà connus, nous renver- rons le lecteur à ce qui a été dit sur cet objet dans la Théorie des nombres. UAU-LE-UUC. — IMPniMEHlE C'.OMTE-JACQUET 0 eiNDlNG SECT. QEC 6 ^979 PLEASE DO NOT REMOVE CARDS OR SLIPS FROM THIS POCKET UNIVERSITY OF TORONTO LIBRARY QA 2U1 B6U P&ASci. Borel, SMle Félix Edouard Justin Introduction a l'étude de la théorie des nombres ,